WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 26 |

m При m =1 O( f ) – множество организаций, содержащих группу f, а множество O(N) – множество любых организаций над N. Буква N всегда будет использоваться для обозначения всего множества элементов, а f – для обозначения группы, чтобы избежать путаницы в случае f = N.

(i) ( (1 ) (s) f = { f1(i),, fmi)}, i = 1, s, то O() = O(f ) O(f ) и i задача об оптимальной организации на O() решается с помощью (i) решения s задач на множествах O(f ).

Сужать множество O(f ) могут дополнительные ограничения на организации G O(f ). Некоторые из таких ограничений описаны ниже (см. опр. 1.23-1.25). С помощью объединений множеств O(f ) или их сужений для различных наборов групп f можно представить достаточно широкий класс множеств O() O(N). Ниже в работе рассматриваются методы решения задачи об оптимальной организации на O(f ) и его сужениях. В некоторых случаях результаты могут модифицироваться для решения задач на других вариантах O().Если некоторая организация групп f1,, fm содержит терминальные вершины, отличные от f1,, fm, то они могут быть удалены вместе с инцидентными ребрами без увеличения стоимости. Если терминальная вершина fi повторяется несколько раз, то повторяющиеся экземпляры также могут быть удалены.

Далее при решении задачи об оптимальной организации считаем, что множество O(f ) содержит только организации с неповторяющимися терминальными вершинами из набора f = { f1,, fm} (следовательно все рассматриваемые организации содержат не более m терминальных вершин). Решение задачи об оптимальной организации на таком множестве будет решением и на исходном множестве.

Утверждение 1.1. Для любого графа G = (V, E) O(f ) выполнено NG = f1 fm.

Доказательство. Все терминальные вершины G содержатся среди групп набора f = { f1,, fm}. Любая вершина {a} NG подчинена по крайней мере одной из терминальных вершин fi, следовательно по лемме 1.1 {a} fi. В то же время для a fi выполнено {a} fi NG. То есть NG = f1 fm.

Утверждение доказано.

См. пункт 4 §1 главы II, сноски в главе III по поводу алгоритмов поиска деревьев с определенным числом уровней.

Так как задача об оптимальной организации решается на O(f ) или его подмножествах, то по утверждению 1.1 для всех исследуемых графов G выполнено NG = f1 fm. Таким образом, далее считаем, что N = f1 fm = {a1,,an}, где n = f1 fm. Это не ограничивает общности, так как все остальные элементы и содержащие их группы не входят ни в один из рассматриваемых графов.

3. Виды организаций.

Определение 1.23. Для r 2 r -организацией назовем граф G = (V, E) O(N), для любой вершины g V которого выполнено QG (g) r. Через Or (f ) обозначим множество r -организаций, входящих в O(f ).

Определение 1.24. Последовательной организацией назовем граф G = (V, E) O(N), для любой вершины g V \ NG которого выполнено либо QG (g) = 1, либо QG (g) = {g1, g2} и по крайней мере одна из групп g1, g2 элементарна. Через Op (f ) обозначим множество последовательных организаций, входящих в O(f ).

Определение 1.25. Организацией без пересечений назовем граф G = (V, E) O(N), для любой вершины g V \ NG которого выполнено gi g =, где QG (g) = {g1,, gk }, 1 i < j k.

j ~ ~ Через O(f ) и Or (f ) обозначим соответственно множество организаций без пересечений, входящих в O(f ) и в Or (f ).

Определение 1.26. Веерной организацией групп f1,, fm назовем организацию, которая содержит только группы f1,, fm и неповторяющиеся элементарные группы {a} f1 fm, причем каждая группа f1,, fm организуется из элементарных подгрупп.

Таким образом, в r -организации любая группа организуется не более чем из r подгрупп. В последовательной организации в каждую неначальную вершину входит либо одно ребро, либо два, причем одно из них из элементарной группы. Любая последовательная организация является 2-организацией, поэтому выполнено Op (f ) O2 (f ). В организации без пересечений каждая группа организуется из непересекающихся подгрупп.

Соответственно, в r -организации без пересечений каждая группа организуется не более, чем из r непересекающихся подгрупп.

Веерная организация единственна, в ней каждая группа f1,, fm организуется непосредственно из элементов, входящих в группу.

{a1, a2, a3, a4} {a1, a2, a3} {a2,a3,a4} {a1, a2, a3} {a2,a3,a4} {a1, a2, a3} {a2,a3,a4} {a2,a3} {a2, a3} {a1} {a2} {a3} {a4} {a1} {a2} {a3} {a4} {a1} {a2} {a3} {a4} Рис. 1.4. Примеры графов организации.

Примеры организаций приведены на рис. 1.4. Слева изображена веерная организация групп f1 = {a1,a2,a3} и f2 = {a2,a3,a4}, при которой элементы организуются в группы fи f2 без промежуточных групп. В центре приведен пример последовательной организации групп f1 и f2. Элементы a2 и aорганизуются в промежуточную группу {a2, a3}, которая используется как для организации f1, так и для организации f2.

Справа приведен пример 2-организации группы f = {a1, a2, a3,a4}.

Здесь f организуется из двух пересекающихся промежуточных подгрупп.

Согласно замечанию, сделанному в пункте 2, O(f ) содержит только организации с неповторяющимися терминальными вершинами из набора f. Соответственно, подмножества Or (f ), ~ ~ Op (f ), O(f ), Or (f ) также содержат только такие графы.

Аналогично пункту 2 можно показать, что решение задачи об ~ ~ оптимальной организации на Or (f ), Op (f ), O(f ), Or (f ) будет решением и на соответствующих множествах с “лишними” терминальными вершинами.

4. Деревья организации.

Определение 1.27. Деревом организации группы f назовем организацию G O( f ), в которой из корня f не выходит ребер, из прочих вершин выходит ровно одно ребро1. Множество деревьев организации группы f обозначим через D( f ), множество r деревьев2 организации группы f – через Dr ( f ).

Утверждение 1.2. Организация одной группы f представляет собой дерево тогда и только тогда, когда f – единственная терминальная вершина и отсутствуют пересечения.

Доказательство. Пусть G = (V, E) D( f ). По определению дерева только из f не выходит ребер, следовательно f – единственная терминальная вершина. Предположим, что найдется группа g V \ NG и пересекающиеся подгруппы g1, g2 QG (g).

Рассмотрим начальную вершину {a} g1 g2. Вершина {a} подчинена вершинам g1 и g2, следовательно существуют два различных пути из {a} в g (один проходит через g1, второй – через g2). В некоторой вершине h эти пути расходятся, то есть из h выходит более одного ребра. Противоречие с определением дерева, следовательно G не содержит пересечений.

Обратное утверждение докажем индукцией по мощности f.

Если f = 1, то есть f = {a}, то организация G = (V, E) группы f состоит из некоторой цепи одинаковых групп {a}, поскольку иначе существовала бы отличная от f терминальная вершина. То есть G – дерево. Предположим, что утверждение доказано для всех групп f, мощность которых меньше q : f < q.

Пусть f = q и f организуется в G из подгрупп QG ( f ) = {g1,, gk }, gi g = при i j. Пусть Gi – подграф j G, состоящий из gi и подчиненных ей вершин (подмножеств gi При рассмотрении ребер как неориентированных дерево представляет собой связный ациклический граф.

Под r -деревом, r 2 подразумевается дерево, в каждую вершину которого входит не более r ребер.

согласно лемме 1.1). Любая вершина h f принадлежит одному из подграфов Gi, так как f – единственная терминальная вершина. Если g Gi, h G,, то (g,h) E, так как иначе i j j g gi g =. В Gi имеется единственная терминальная j вершина gi. По индуктивному предположению Gi – дерево с корнем в gi. Следовательно, G состоит из вершины f, в которую идут ребра из корней k независимых деревьев, то есть G – дерево с корнем в f. Утверждение доказано.

~ Из утверждения 1.2 следует, что D( f ) = O( f ) и ~ Dr ( f ) = Or ( f ), то есть множество организаций одной группы f без пересечений и множество деревьев организации f совпадают.

Таким образом, деревья представляют собой один из видов организации, определенных в пункте 3.

§3. Вид оптимальной организации для различных классов структурного функционала.

В данном параграфе определяются различные классы структурного функционала и доказываются теоремы о видах оптимальной организации. Выводы из доказанных теорем сделаны в конце главы I. Примеры функционалов, принадлежащих различным классам, приведены в главе II.

1. Монотонные функционалы.

Определение 1.28. Будем говорить, что набор групп Qрасширяет набор групп Q1,1 и писать Q1 Q2, если Q2 получается из Q1 после добавления новых групп и/или расширения имеющихся2.

В наборах могут быть повторяющиеся группы.

Под расширением подразумевается добавление в группу элементов, которые в ней не содержатся.

Определение 1.29. Структурный функционал стоимости назовем монотонным, если для любых наборов Q1 Q2 выполнено неравенство P(Q1) P(Q2 ) (см. опр. 1.21).

Таким образом, если Q1 Q2, то группы из Q1 вложены в некоторые группы из Q2. При монотонном функционале расширение набора групп не уменьшает стоимость.

Теорема 1.4. При монотонном функционале для любой организации G = (V, E) O( f ) группы f существует дерево D D( f ) не большей стоимости: P(D) P(G).

Доказательство. Если из всех вершин G, кроме f, выходит одно ребро, то искомое дерево найдено. Пусть g V, RG (g) > 1, h1 RG (g), l1 RG (g), причем g не подчинена никакой вершине h, для которой RG (h) > 1. Из h1 и l1 существуют пути в f (других терминальных вершин нет), то есть из g существуют два пути в f. Обозначим их отрезки до первого пересечения через g - h1 - h2 - - hn1, g - l1 - l2 - - ln2, где вершины hn1 и lnсовпадают. По определению g из вершин h1,, hn1-1, l1,,ln2-выходит ровно одно ребро в следующую вершину пути.

Рассмотрим два варианта перестроения графа G.

a) Выполнено g = l1, то есть группа g = l1 повторяется.

Удалим вершину l1 и входящие в нее ребра, заменив ребро (l1,l2 ) ребром (g,l2 ). В результате получим организацию G группы f, P(G ) P(G).

b) Выполнено g l1 ( g l1). В этом случае в l1 входят не менее двух ребер. Удалим ребро (g,l1). Группа l1 изменится на l1 = l, где Q (l1) = Q(l1) \ {g}.1 Выполнено l1 l1 и lQ (l1) (l1 \ l1) g. Из l1 выходило только одно ребро в l2. Изменение l приведет к появлению в Q(l2 ) группы l1 вместо l1. То есть l изменится на l2 = l, где Q (l2 ) = (Q(l2 ) \ {l1}) {l1}, lQ (l2 ) причем выполнено l2 l2 и (l2 \ l2 ) g. Аналогично группа li Новая группа может уже присутствовать в графе. В этом случае одинаковые группы не отождествляются, а во множестве вершин появляется повторение.

изменится на li, li li, (li \ li ) g, i = 3, n2 -1. Q(ln2 ) изменится на Q (ln2 ) = (Q(ln2 ) \ {ln2 -1}) {ln2-1}. По лемме 1.1, так как g подчинена вершине hn1-1, выполнено (ln2 -1 \ ln2 -1) g hn1 - Q (ln2 ). Следовательно, ln2 = l = l = ln2, то есть lQ(ln2 ) l Q (ln2 ) группа ln2 не изменится. В итоге удаление ребра (g,l1) могло повлиять только на группы l1,,ln2, причем Q (li ) Q(li ), i = 1,n2. В результате получили организацию G группы f. В силу монотонности функционала P(Q (li )) P(Q(li )), следовательно P(G ) P(G).

Если выполнено условие b) и l1 = l1, то G отличается от G лишь удаленным ребром (g,l1). В этом случае, удалив при необходимости отличные от f терминальные вершины без увеличения стоимости, можно продолжить аналогичные удаления ребер. Если при этом не придем к искомому дереву, то либо выполнится условие a), либо условие b), в котором l1 l1. В обоих случаях сумма мощностей всех вершин G меньше, чем аналогичная сумма для G, так как в случае а) удаляется l1, а в случае b) l1 < l1, li li для i = 2,n2. При необходимости, не увеличивая стоимости, удалим из G “лишние” терминальные вершины так, чтобы осталась одна терминальная вершина f.

Если G – не дерево, то проделаем вышеуказанные действия с G вместо G. В результате либо получим искомое дерево, либо снова уменьшим сумму мощностей вершин в организации группы f. Данная сумма конечна, следовательно после конечного числа перестроений получим дерево организации группы f, стоимость которого не больше, чем стоимость исходной организации G.

Теорема доказана.

Следствие. При монотонном функционале для любой r -организации G Or ( f ) группы f существует r -дерево D Dr ( f ) не большей стоимости: P(D) P(G).

Доказательство. В каждую вершину r -организации G входит не более r ребер. При перестроениях в доказательстве теоремы 1.4 удаление ребер может лишь уменьшить число входящих в вершину ребер. Удаление вершин не изменяет количество ребер, входящих в оставшиеся вершины. В результате придем к r -дереву. Следствие доказано.

2. Выпуклые и вогнутые функционалы.

Определение 1.30. Структурный функционал стоимости назовем выпуклым1, если для любого набора групп {g1,, gk }, k 3 существует разбиение на поднаборы {h1,,hi} и {hi+1,,hk },2 1 < i < k, для которого выполнено неравенство:

a) P(g1,, gk ) P(h1,,hi ) + P(h,hi+1,,hk ), где h = h1 hi. Структурный функционал назовем вогнутым, если не существует разбиения, для которого неравенство а) выполнено строго, то есть для любого разбиения выполнено обратное неравенство:

b) P(g1,, gk ) P(h1,,hi ) + P(h, hi+1,, hk ).

При выпуклом функционале вместо организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk можно, не увеличивая стоимость, сначала организовать некоторые подгруппы из g1,, gk, а затем полученную группу h организовать с оставшимися подгруппами из g1,, gk. При вогнутом функционале уменьшить стоимость таким образом нельзя.

Определим выпуклость/вогнутость на некотором множестве наборов (частичную выпуклость/вогнутость) следующим образом.

Определение 1.31. Пусть задано некоторое множество наборов групп. Если для любого набора множества выполнено неравенство a) определения 1.30, то функционал P назовем выпуклым на данном множестве наборов, если неравенство b) – вогнутым.

Пример соответствия выпуклости и вогнутости функционала “классическому” определению выпуклой и вогнутой функции приведен в пункте 1 §1 главы II.

То есть каждая из групп набора {g1,, gk } принадлежит либо поднабору {h1,, hi}, либо поднабору {hi+1,, hk }. В наборе {g1,, gk } могут присутствовать повторяющиеся группы.

В дальнейшем будет использовано понятие выпуклости и вогнутости на наборах попарно непересекающихся групп.

Теорема 1.5. При выпуклом функционале для любой организации G = (V, E) O(f ) набора групп f существует 2-организация G2 O2 (f ) не большей стоимости: P(G2 ) P(G).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.