WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 26 |

Доказательство. Очевидно, что из G1 = G2 следует (G1,G2 ) = 0, докажем обратное. Пусть (G1,G2 ) = 0. При вычислении (G1,G2 ), добавив изолированные вершины, получим множества вершин V1 и V2 такие, что V1 = V2 = k. Тогда (G1,G2 ) = i=1,k (QG1 (gi ),QG2 (hi )), где (gi, hi ), i = 1,k – некото рое разбиение на пары множеств V1 и V2. Из (G1,G2 ) = 0 следует (QG1 (gi ),QG2 (hi )) = 0. Так как G1 и G2 – графы организации, то V1 и V2 содержат только непустые группы. Следовательно, QG1 (gi ) и QG2 (hi ) являются наборами непустых групп, поэтому QG1 (gi ) = QG2 (hi ). Для каждой неначальной вершины g V \ NG любого графа организации G выполнено g = h. В силу hQG (g ) QG1 (gi ) = QG2 (hi ) неначальные вершины из V1 и V2 разбиваются на пары gi = hi, причем в gi входят в графе G1 ребра из тех же вершин, что и в hi в графе G2. Начальные вершины G1 не могут соответствовать неначальным вершинам G2 в силу QG1 (gi ) = QG2 (hi ). Следовательно, множества неначальных вершин из G1 и из G2 совпадают. Из любой начальной вершины {a}V1 в графе G1 выходит хотя бы одно ребро (она не изолирована) в неначальную вершину g V1 \ NG1. Следовательно, g V2 и в G2 также имеется ребро ({a}, g). То есть {a}V2.

Обратное также верно. Имеем V1 = V2. Условие (g, h) Eэквивалентно условию (g, h) E2 в силу того, что ребра G1, входящие в h, совпадают с ребрами G2, входящими в h. Таким образом, E1 = E2, из чего следует G1 = G2. Лемма доказана.

Лемма 5.10. Если для любых наборов групп выполнена вторая аксиома метрики, то и для любых графов G1 и G2 также выполнена вторая аксиома метрики (симметричность):

(G1,G2 ) = (G2,G1).

Доказательство. Добавим изолированные вершины так, чтобы графы G1 и G2 содержали одинаковое количество k вершин. Тогда имеем (G1,G2) = min i=1,k (QG1 (gi ),QG2 (hi )) = = min i=1,k (QG2 (hi ),QG1 (gi)) = (G2,G1). Лемма доказана.

Лемма 5.11. Для произвольных графов G1 = (V1, E1), G2 = (V2, E2 ), G3 = (V3, E3) выполнено неравенство треугольника:

(G1,G3) (G1,G2 ) + (G2,G3).

Доказательство. Обозначим k = max(V1, V2, V3 ). Добавим к V1, V2, V3 изолированные вершины так, чтобы k = V1 = V2 = V3.

По лемме 5.8 это не изменит величин (G1,G3), (G1,G2 ), (G2,G3). Пусть ( fi, gi ), i = 1,k – разбиение множеств V1 и V2 на пары, которое соответствует значению (G1,G2 ), а (gi, hi ), i = 1,k – разбиение множеств V2 и V3 на пары, которое соответствует значению (G2,G3). Тогда (G1,G2)+ (G2,G3) = i=1,k[ (QG1( fi),QG2 (gi))+ + (QG2 (gi ),QG3 (hi ))] i=1,k (QG1 ( fi ),QG3 (hi )). Последняя сумма больше или равна (G1,G3) в силу того, что (G1,G3) соответствует разбиению на пары с минимальной суммарной стоимостью реорганизации. Лемма доказана.

Утверждение 5.3. Если для всех a N выполнено (a) = (a) = (a) > 0, то стоимость реорганизации является метрикой на множестве графов организации без изолированных вершин.

Доказательство. По утверждению 5.2 стоимость реорганизации наборов непустых групп удовлетворяет первой и второй аксиомам метрики и неравенству треугольника. По леммам 5.9-5.11 этого достаточно для того, чтобы те же свойства выполнялись для любых графов организации без изолированных вершин. Утверждение доказано.

4. Некоторые свойства стоимости реорганизации.

Лемма 5.12. Для любых наборов групп Q и Q выполнено (g, g ) (Q,Q ), где g = h и g = h – группы, hQ hQ образующиеся в результате объединения групп каждого из наборов. Если наборы Q и Q содержат только неповторяющиеся элементарные группы, то вышеуказанное неравенство выполнено как равенство.

Доказательство. (g, g ) = ag\g (a) + ag\g (a).

Пусть a g \ g. Тогда существует группа h Q, для которой a h, и не существует группы h Q, для которой a h. При вычислении (Q,Q ) множество h входит в некоторую пару (h, h), где h Q или h =. В обоих случаях a h. Таким образом, слагаемое (a) входит в (h, h), которое, в свою оче редь, входит в (Q,Q ). Аналогично, если a g \ g, то слага емое (a) входит в (Q,Q ). То есть (g, g ) (Q,Q ).

Пусть Q = {{a} : a g } и Q = {{a}: a g }. Рассмотрим следующее разбиение наборов Q и Q на пары. Для каждого a g g включим в разбиение пару ({a},{a}). Остальные пары имеют один из трех видов: ({a },{a }), ({a },), (,{a }), где a g, a g. Рассмотрим a g \ g. Группа {a} войдет ровно в одну из пар указанного вида, следовательно величина (a) войдет в (Q,Q ) ровно один раз. Аналогично, для a g \ g величина (a) войдет в (Q,Q ) ровно один раз. Итак, при указанном разбиении наборов Q и Q на пары выполнено (g, g ) = = (Q,Q ). В силу доказанного выше неравенства величина (Q,Q ) не может быть меньше (g, g ). Следовательно, построенное разбиение является оптимальным. Лемма доказана.

Итак, для любых разбиений групп g и g на подгруппы стоимость (Q,Q ) реорганизации набора подгрупп Q в набор Q не меньше, чем стоимость (g, g ) реорганизации группы g в группу g. Причем равенство имеет место, если разбиение веерное, то есть каждая группа разбивается на входящие в нее элементарные подгруппы.

Утверждение 5.4. Для любой организации G = (V, E) O(f ) набора групп f = { f1,, fm} выполнено (,Gвеер ) (,G) и (Gвеер,) (G,), где Gвеер – веерная организация набора групп f (см. опр. 1.26).

Доказательство. (,G) = gV (,QG(g)) i=1,m (,QG( fi )).

Неравенство выполнено, так как группы f1,, fm входят в G (см.

опр. 1.22). По лемме 5.i=1,m (,QG ( fi )) i=1,m (, fi ).

Множество вершин графа Gвеер состоит из f1,, fm и неповторяющихся элементарных вершин. В элементарную вершину {a} ребер не входит. Поэтому (,QGвеер ({a})) = (,) = 0 и для величины (,Gвеер ) имеем (,Gвеер) = i=1,m (,QGвеер ( fi )) = = i=1,m (, fi ), где последнее равенство выполнено в силу леммы 5.12, так как набор QGвеер ( fi ) содержит только неповторяющиеся элементарные группы, входящие в fi.

Неравенство (Gвеер,) (G,) доказывается аналогично с точностью до изменения порядка аргументов. Утверждение доказано.

Таким образом, среди всех организаций G O(f ) заданного набора групп f стоимость деорганизации и организации “с нуля” минимальна для веерной организации. Интуитивно ясно, что веерная организация “самая простая” и “дешевле всего” организуется и разрушается. Утверждение 5.4 показывает, что введенная стоимость реорганизации согласуется с этим интуитивным представлением.

§2. Динамика структуры организационной системы.

1. Определение структуры.

Не конкретизируя понятие организационной системы (см.

введение к главе), будем рассматривать ее на протяжении T единиц времени.

Определение 5.4. Множество конечных исполнителей (множество элементов) организационной системы обозначим через N = {a1,, an} и будем считать неизменным на протяжении рассматриваемого интервала времени.

t t Определение 5.5. Через f = { f1t,, fmt }, t = 1,T обозначим набор групп исполнителей, которые должны быть организованы на протяжении единицы времени t для выполнения организационной системой своих функций.

Определение 5.6. Структурой организационной системы на протяжении единицы времени t назовем любой граф организации t t Gt O(f ) набора групп f.

Содержательно определения 5.5 и 5.6 можно пояснить следующим образом. Функция системы (выпуск изделия, оказание услуги и т. п.) может быть реализована с помощью совместной работы некоторой группы конечных исполнителей. Считаем, что внешняя среда (например, конъюнктура рынка) определяет, что в течение единицы времени t система должна выполнить некоторое количество mt функций, причем их выполнение требует t t t организации набора групп f = { f1t,, fmt }. Граф Gt O(f ) t организации групп набора f определяет структуру управления исполнителями для координации их взаимодействия в нужных группах. Набор организуемых групп (выполняемых функций) может изменяться при изменении t, что влечет необходимость изменения структуры организационной системы Gt.

2. Пример содержательной интерпретации понятия “внешняя среда”.

В данном пункте приводятся неформальные рассуждения, которые дают содержательные интерпретации “внешней среды”, никак не влияя на дальнейшее изложение. Пункт поясняет разграничение тех параметров системы, которые мы относим к управляемым, и тех, которые заданы “извне”.

Как правило, выполнение тех или иных функций с течением времени становится более или менее выгодным, что и влечет t изменение набора организуемых групп f. Кроме того, одну и ту же функцию, вообще говоря, могут реализовать различные группы в силу взаимозаменяемости исполнителей. Таким образом, решение о прекращении реализации одних функций и начале реализации других, а также о том, какая группа исполнителей будет реализовывать новую функцию, принимает некоторый “управляющий орган”, который зачастую находится внутри организационной системы (руководит ей). Однако предмет исследования данной работы – структура. Поэтому решение “управляющего органа” мы относим к “внешним условиям”, считая что выбор структуры осуществляется по некоторым образом заданному набору групп. То есть задача оптимизации структуры решается отдельно от остальных задач управления организационной системой. Такой поход позволяет исследовать структурные явления “сами по себе” и возможно будет в какой-то мере способствовать построению общей модели оптимального управления организационной системой.

Приведем пример принятия “управляющим органом” решения о выполнении функций и создании соответствующих групп. Предположим, что система получает доход, выпуская некоторые изделия из заданного набора I1,, Iq, определяющего отрасль. В течение единицы времени t считаем неизменным t t вектор цен на реализуемые изделия pt = ( p1,, pq ). Набор операций (элементарных работ), необходимых для выпуска всех изделий, обозначим через e1,,er. Считаем заданной матрицу технологических коэффициентов W = {wk, j}, где wk, j 0 – количество единиц элементарной работы e, необходимое для j выпуска единицы изделия Ik, k = 1,q, j = 1,r. Обозначим через s (a) количество элементарной работы e, которое исполнитель j j a N способен выполнить за единицу времени. Вектор производительности исполнителя a обозначим через s(a) = (s1(a),, sr (a)).

Предположим, что “управляющий орган” принимает решение о выпуске изделий в объемах, определяемых вектором t t yt = (y1,, yq ). Тогда он должен определить, какую работу выполняет каждый исполнитель, причем суммарный объем выполненных работ должен быть достаточным для выпуска всех изделий. Для этого определяется доля 0 xtj (a) 1 единицы времени t, которую исполнитель a уделяет выполнению элементарной работы e, j=1,r xtj (a) 1. Вектор плана работ j t t исполнителя обозначим через xt (a) = (x1 (a),, xr (a)). Должны t выполняться неравенства k=1,q yk wk, aN s (a)xtj (a), j =1,r j j для выполнения работ в требуемых объемах.

“Управляющий орган” может поставить перед собой задачу максимизации полученной за единицу времени t выручки, то есть максимизировать величину y1 p1 + + yq pq при вышеуказанных t t ограничениях. Тогда планы выпуска yt = (y1,, yq ) и планы t t работ xt (a) = (x1 (a),, xr (a)) каждого исполнителя a N определяются в результате решения задачи линейного программирования. Обеспечив максимально возможную выручку, “управляющий орган” распределяет выполненный объем работ по t изделиям, определяя тем самым группы исполнителей f1t,, fmt, участвующие в выпуске каждого из изделий.

Возможно построение и более сложных моделей работы “управляющего органа”, в которых он может также некоторым образом изменять набор конечных исполнителей N (выбирать “кадровую политику”), учитывая не только выручку, но и затраты на содержание исполнителей, и максимизируя валовую прибыль.

Возможно подобные модели (см. [15]) при достаточно детальном исследовании смогут описать структурные изменения совместно с другими аспектами управления организационной системой. В данной работе моделируется только изменение набора t t организуемых групп f = { f1t,, fmt }. Приведенный пример t работы “управляющего органа” показывает, что изменение f может интерпретироваться как результат изменения вектора цен t t pt = ( p1,, pq ) (снижения цен на одни изделия и повышения цен на другие), в результате которого “управляющий орган” принимает решение о прекращении выпуска одних изделий и начале выпуска других.

3. Управление структурой.

Определение 5.7. Множество всевозможных наборов групп из F обозначим через F. Информацией о внешней среде, известной к началу единицы времени t, считаем наборы групп 1 t 1 T f,,f. Динамикой внешней среды назовем наборы f,,f.

Таким образом, к началу единицы времени t известно, какой t набор групп f нужно организовать, и какие наборы групп нужно было организовать на протяжении предыдущих единиц времени.

То есть известна “история” изменения внешней среды.

Определение 5.8. Управлением структурой организационной системы в момент времени t назовем отображение t-1 t t : F F O(f ) O(f ), первые t аргументов которого t представляют собой информацию о внешней среде, а последний – структуру системы на протяжении единицы времени t -1, t = 2,T.

Управлением в первый момент времени назовем отображение 1 : F O(f1). Совокупность управлений t на изучаемом отрезке времени обозначим через = (1,, T ) и назовем управлением структурой.

Определение 5.9. Управление структурой назовем t простейшим, если для любого t = 1,T выполнено t : F O(f ).

Управление структурой в момент времени t определяет t Gt O(f ) – граф организации заданного внешней средой набора t групп f, то есть структуру организационной системы на протяжении единицы времени t, исходя из известной информации о внешней среде и “текущей” структуры системы, то есть структуры на протяжении единицы времени t -1. Структура в первый момент времени выбирается из множества O(f ) без учета какой-либо информации, так как к этому моменту известен лишь набор групп f. Простейшее управление структурой выбирает Gt t из множества O(f ) без учета информации о состоянии внешней среды в предыдущие единицы времени и без учета “текущей” структуры системы.

Определение 5.10. Результатом управления структурой T назовем следующую величину1 R(f1, f, ) = = t =1,T [P(Gt ) + (Gt -1,Gt )], где Gt = t (f 1,,f t,Gt-1) для T t = 2, n, G0 = G1 = 1(f ). Первую и вторую часть результата 1 T обозначим соответственно через P(f, f, ) = t=1,T P(Gt ) и T 1 T (f, f, ) = t=1,T (Gt-1,Gt ). Если ясно, о какой динамике T внешней среды идет речь, то первые аргументы будем опускать, используя запись R(), P(), ().

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.