WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 26 |

Второй эвристический алгоритм, несмотря на увеличение сложности, дает в худшем случае большую погрешность, чем первый. На рис. 3.8 слева приведен график роста погрешности первого эвристического алгоритма при параметрах худшего случая ( ; ), (dmax ; gmax ) для n от 2 до 10. График позволяет max max предположить, что погрешность при увеличении n нарастает. На рис. 3.8 справа приведен аналогичный график для второго эвристического алгоритма. Исходя из графика, можно предположить, что погрешность при увеличении n не нарастает. В протестированном случае это существенное преимущество второго эвристического алгоритма.

4 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 3.8. Относительная погрешность эвристических алгоритмов при возрастании n, %.

Кратко подведем итоги данной главы. Рассмотрены методы поиска оптимальных на D( f ) и Dr ( f ) деревьев организации одной группы f, f = n для структурного функционала общего вида. В общем случае не существует полиномиальных по n алгоритмов, дающих точное решение на D( f ) и Dr ( f ) (см.

следствия к утв. 3.1 и 3.3). Причем погрешность любого полиномиального алгоритма может быть сколь угодно велика. В то же время построены переборные алгоритмы (см. утв. 3.2 и 3.4), сложность которых не намного превышает нижнюю оценку сложности точного алгоритма (при тех n, для которых точные алгоритмы остаются реализуемыми, см. табл. 3.2, 3.4).

Как показывает пункт 2 §1 главы II, существуют функционалы стоимости, для которых задача об оптимальном дереве на Dr ( f ) решается полиномиальным по n алгоритмом (см.

функционал (2.1), функционалы (II) и (IV) при = 1, = 1). В связи с этим интересна задача поиска классов функционалов, для которых задача на Dr ( f ) решается полиномиальным алгоритмом.

Как показано в пункте 4 §1, таким классом являются, например, функционалы вида P( g1,, gk, g ), для которых построен ~(n,r) < nr алгоритм решения задачи на Dr ( f ) со сложностью s (см. утв. 3.9). Построен алгоритм и проанализирована сложность решения задачи на D( f ) для функционалов такого вида. Однако вопрос о полиномиальности алгоритма остается открытым (см.

п.3 §1).

На рис. 3.2, 3.4, 3.5 приведены примеры результатов работы алгоритмов для функционалов (II)-(IV) в тех областях, в которых они не являются ни выпуклыми, ни вогнутыми (см. рис. 2.6-2.гл. II).

В связи с достаточно высокой сложностью точных алгоритмов представляет интерес построение эвристических алгоритмов меньшей сложности. В общем случае такие алгоритмы могут давать сколь угодно большую погрешность (см. утв. 3.1, 3.3, 3.5, 3.7), однако их можно использовать для конкретного функционала после предварительного тестирования. В §построены эвристические алгоритмы решения задачи на D( f ). Как отмечено в сноске к названию §2, эвристические алгоритмы решения задачи на Dr ( f ) строятся почти дословным повторением.

Для функционала общего вида построены два эвристических алгоритма. Сложность первого (см. п.3 §2) превышает s(n,2) не более, чем в три раза (см. утв. 3.14), что гораздо ниже сложности s(n) переборного алгоритма поиска оптимального дерева (см.

таблицы 3.2 и 3.3). Сложность второго эвристического алгоритма (см. п.4 §2) превышает s(n,2) не более чем в 2n раз (см. утв. 3.16), что также значительно эффективнее переборного алгоритма. Для функционала вида P( g1,, gk, g ) построены эвристические алгоритмы со сложностью порядка n2 (см. п.1 §2) и n2 log n (см.

п.2 §2).

Доказано, что для определенных классов функционалов (выпуклых и вогнутых) эвристические алгоритмы дают точное решение (см. утв. 3.11, 3.13, 3.15, 3.17). Вне этих классов необходимо тестирование “качества работы” алгоритма. Приведен пример такого тестирования для функционала (II) (см. §2 гл. II) в той области, в которой он не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Сделаны эмпирические выводы о величине средней и максимальной погрешности, о нарастании погрешности при росте n (см. таблицы 3.7, 3.8, 3.9, рис. 3.7, 3.8). В результате тестирования можно сделать выводы о том, какой алгоритм предпочтительнее использовать для конкретного функционала.

Еще раз подчеркнем, что проведенный эмпирический анализ относится к функционалу (II). Аналогичным образом эвристические алгоритмы могут тестироваться и для других функционалов, но выводы могут отличаться от полученных для (II).

Кроме того, в таблице 3.9 приведен пример эмпирического анализа самого функционала на классе деревьев D( f ). Из таблицы можно сделать вывод о том, насколько отличается стоимость деревьев, оптимальных на D2 ( f ) и Op ( f ), от стоимости оптимального на D( f ) дерева. Отличие стоимости веерной организации от стоимости оптимального на D( f ) дерева иллюстрирует, насколько организация “наиболее простого вида” может быть дороже оптимальной. То есть приведен пример разброса стоимости различных деревьев для конкретного функционала. Аналогичные численные эксперименты могут проводиться и на более сложных классах организаций.

Полученные с помощью такого анализа результаты могут помочь в выявлении некоторых закономерностей функционала (например, выпуклости или вогнутости).

Глава IV. Алгоритмы поиска оптимальной последовательной организации.

В данной главе рассматриваются методы решения задачи об оптимальной на Op(f ) последовательной организации произвольного набора групп f = { f1,, fm}.

Согласно теореме 1.7 существует оптимальная на Op (f ) организация, которая не содержит повторяющихся групп. Ниже считаем, что в Op (f ) входят только такие организации. Найденные графы будут оптимальными и на первоначальном множестве Op (f ). Таким образом, для любой вершины g V \ NG произвольной организации G = (V, E) Op (f ) выполнено QG (g) = {h,{a}}, где h = g \ {a}, {a} – некоторая элементарная подгруппа (см. лемму 1.4). В последовательной организации одной группы элементы “присоединяются друг к другу” в некотором порядке (см. опр. 1.33, рис. 1.8).

Рассматриваемые последовательные организации (без повторяющихся групп) не содержат пересечений, следовательно по теореме 1.8 для существенно выпуклых функционалов найденное алгоритмами решение будет оптимальной организацией ~ ~ и на множествах O(f ), Or (f ), O(f ), Or (f ).

В §1 оценивается сложность и строятся алгоритмы решения задачи об оптимальной последовательной организации для функционала общего вида. В конце параграфа приводится пример, поясняющий изложенный материал. В §2 построенные алгоритмы модифицируются для решения задачи c функционалом вида P( g1,, gk, g ), который зависит не от состава подгрупп g1,, gk, организуемых в группу g, а лишь от их мощностей g1,, gk, g. Например, для определенного в §2 главы II анонимного функционала с функцией сложности вида (2.2) требование P(C(g1),,C(gk ),C(g)) = P( g1,, gk, g ) эквивалентно условию равенства сложностей элементов: C(a1) = = C(an ).

Также в §2 оценивается сложность задачи об оптимальной последовательной организации с функционалом вида P( g1,, gk, g ) (доказывается NP -полнота).

§1. Алгоритм решения общей задачи.

1. Эквивалентность задач о поддереве минимального веса и об оптимальной на Op (f ) организации.

Напомним, что вершинами графов G Op (f ) могут быть произвольные группы элементов. Все множество групп обозначается через F (см. опр. 1.13). Выполнено F = 2N \ {}, где N = {a1,, an} = f1 fm, f = { f1,, fm} – набор групп, которые обязательно должны присутствовать в каждом графе G Op (f ). Определим вспомогательный граф.

Определение 4.1. Графом задачи об оптимальной на Op (f ) последовательной организации назовем ориентированный граф H = (VH, EH ) : VH = F {}, EH = EH EH EH, где EH = {(,{ai}) : i = 1,n}, EH = {({ai},{ai, a }) :1 i < j n}, j EH = {(g, g {ai}) : g V, g 2,ai g,i = 1,n}.

Определение 4.2. Назовем весом ребер графа H = (VH, EH ) функцию : EH R+, которая определяется следующим образом.

Для ребер из EH положим вес равным нулю. Для любого ребра из EH EH вида e = {g, g {ai}} положим (e) = P(g,{ai}).

На рис. 4.1 приведена схема графа задачи. Рассмотрим некоторое ребро e = (g, h) EH EH, то есть любое ребро, кроме n нижних ребер. Тогда ребро e ведет из группы g в группу h = g {a}, где {a} – некоторая элементарная группа, не входящая в g. То есть ребро e соответствует организации подгрупп {a} и g в группу h. Вес (e) ребра e равен стоимости P({g},{a}) такой организации. Любой путь из вершины в некоторую группу g в графе задачи соответствует некоторой последовательной организации одной группы g (определяет последовательность элементов, см. опр. 1.33). Причем суммарный вес ребер пути равен стоимости организации.

{a1, a2,, an-1,an} P({a1,a2,, an-2, an-1},{an}) P({a1, a3,, an-1, an},{a2}) P({a1, a2,, an-2, an},{an-1}) P({a2, a3,, an-1, an},{a1}) {a1, a2,, an-2, an-1} {a1, a2,, an-2, an} … {a1, a3,, an-1, an} {a2, a3,,an-1, an} … … … … … … … … … … … … {a1, a2} {a1, a3} {a1, a4} … {an-2, an-1} {an-2,an} {an-1, an} P({a1},{a2}) P({a1},{a4}) P({an-2},{an})......................................................................................

P({a1},{a3})....................................................................................................

..................................................................................

P({an-2},{an-1}) P({an-1},{an}) {a1} {a2} {a3} … {an-2} {an-1} {an} 0 0 0 0 0 Рис. 4.1. Граф H = (VH, EH ) задачи об оптимальной последовательной организации.

Рассмотрим поддерево D графа задачи H с корнем в,содержащее неэлементарные группы из f1,, fm, листья которого содержатся среди неэлементарных групп из f1,, fm.2 Далее, если не оговорено противное, под поддеревом понимаем поддерево указанного вида, не оговаривая каждый раз требования к поддереву.

Определение 4.3. Задачу поиска поддерева минимального веса назовем задачей об оптимальном поддереве в H. Под весом (D) поддерева D будем понимать сумму весов ребер D.

Под поддеревом H с корнем в понимается подграф, в каждую вершину которого, кроме корня, входит ровно одно ребро.

Считаем, что в наборе f1,, f есть хотя бы одна неэлементарная группа, иначе m оптимальна вырожденная организация, состоящая из изолированных элементарных групп.

Теорема 4.1. Для структурного функционала общего вида задача об оптимальной последовательной организации эквивалентна1 задаче об оптимальном поддереве в графе задачи H.

Доказательство. Пусть G = (V, E) Op (f ) – последовательная организация набора групп f = { f1,, fm}. Построим поддерево D = (VD, ED ) графа H.

Определим множество вершин VD следующим образом VD = VD VD {}, где VD = {g V, g 2}, VD = {{ai}: j > i, {ai, a }V}. То есть включим в VD все группы графа G, мощность j которых больше или равна двум. В G каждая группа {ai, a } j мощности два организуется из подгрупп {ai} и {a }, i < j. Тогда j для каждой группы {ai,a } в VD включаем только подгруппу {ai} j с меньшим номером элемента.

Определим множество ребер ED следующим образом.

Рассмотрим g V, g 3, тогда QG (g) = {h,{ai}}, g, h VD.

Включим ребро e = (h, g) в ED, при этом имеем P(QG (g)) = (e).

Рассмотрим g = {ai, a }V, i < j, тогда g,{ai}VD. Включим j ребро e = ({ai}, g) в ED. Снова имеем P(QG (g)) = (e). Для {ai}VD включим ребро e = (,{ai}) в ED, (e) = 0. По построению в каждую вершину D, кроме корня, входит ровно одно ребро. Все неэлементарные группы из набора f = { f1,, fm} входят в D. Все терминальные вершины G содержатся среди набора групп f = { f1,, fm}. Следовательно, все листья D также содержатся среди f1,, fm. В итоге получим поддерево D графа H, причем выполнено P(G) = (D) (см. опр. 4.3).

Обратно, пусть D = (VD, ED ) – поддерево H. Построим последовательную организацию G = (V, E) Op (f ) набора групп Под эквивалентностью задач подразумевается, что решение одной задачи можно преобразовать в решение другой и наоборот, причем сложность процедуры преобразования “несущественна” по сравнению со сложностью решения самих задач. Например, сложность построенных в доказательстве теоремы преобразований линейно зависит от числа вершин графа организации G или поддерева D.

f ={ f1,, fm} следующим образом. Определим множество вершин V = (VD {{a1}, {an}}) \ {}. В вершину g V, g 2 в дереве D входит одно ребро e = (h,g). Добавим к E ребра (h, g), (g \ h, g).

Вершина g \ h элементарна, то есть входит в V. Выполнено P(QG (g)) = (e). Очевидно, что получим последовательную организацию набора групп f = { f1,, fm}, причем P(G) = (D).

Итак, каждому поддереву D графа задачи H соответствует одна и только одна последовательная организация G Op (f ), причем стоимость организации равна весу соответствующего дерева. То есть задачи о последовательной организации минимальной стоимости о поддереве минимального веса эквивалентны. Теорема доказана.

Следствие 1. Задача об оптимальной на Op ( f ) последовательной организации одной группы f эквивалентна задаче поиска кратчайшего пути из в f в графе H.

Доказательство. Поддерево H с корнем в, содержащее f, единственным листом которого является f, есть путь из в f в графе H. Следствие доказано.

Следствие 2. Алгоритм, решающий задачу об оптимальной на Op ( f ) последовательной организации одной группы f, f = n 3, для структурного функционала P общего вида должен проанализировать n(2n-1 - (n +1) / 2) значений P.

Доказательство. Выполнено f = N, так как организуется только одна группа. По следствию 1 задача эквивалентна задаче о кратчайшем пути из в f в графе H. Вес каждого ребра соответствует значению функционала, причем вес каждого ребра может быть выбран независимо от других, так же как и функционал может быть определен на наборе подгрупп независимо от значений на других наборах. Докажем, что алгоритм должен в общем случае проанализировать веса всех ребер H, кроме ребер вида (,{a}).

Предположим, что существует алгоритм, решающий задачу и не анализирующий веса всех вышеуказанных ребер. Положим их стоимости равными 1. Любой путь из в f в H содержит ровно n ребер, вес любого пути равен n -1 (вес первого ребра вида (,{a}) нулевой). Алгоритм найдет некоторый путь, не проанализировав хотя бы одного ребра e. Если e не принадлежит пути, изменим его стоимость на 0, иначе на 2. В измененном графе будет найден тот же путь, что и в первом случае, так как измененное значение не анализировалось. Но он не будет оптимален. Условие n 3 необходимо для того, чтобы существовали как минимум два пути из в f.

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.