WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 26 |

Если функционал выпуклый на наборах непересекающихся * групп, то существует оптимальное на D(gi ) 2-дерево D* организации gi (см. следствие 1 к теор. 1.5). В D2 группа gi организуется из двух подгрупп с мощностями s и i - s для некоторого 1 s i / 2. При j = 1 согласно пункту d) описания алгоритма будет проанализирован вариант организации gi, который не существенно отличается от QD* (gi ). По предположению для подгрупп мощности s и i - s известны стоимости оптимальных деревьев организации. Следовательно, для найденной алгоритмом стоимости P(Di,1) дерева Di,1 D(gi ) * выполнено равенство P(Di,1) = P(D2 ). В результате алгоритм найдет оптимальное дерево организации группы gi.

Если функционал вогнутый на наборах непересекающихся групп, то веерная организация группы gi оптимальна. При j = 1 и k = i будет выполнено l = 0. Следовательно, согласно пункту a) описания алгоритма будет проанализирован вариант организации gi из i элементарных подгрупп, то есть веерная организация gi.

Найденная алгоритмом стоимость P(Di,1) дерева Di,1 D(gi ) будет, таким образом, равна стоимости веерной организации. В При этом найденное для выпуклого или вогнутого функционала оптимальное дерево может не быть соответственно 2-деревом и веерной организацией, так как в общем случае могут существовать и оптимальные деревья другого вида.

результате алгоритм найдет оптимальное дерево организации группы gi. Утверждение доказано.

Как и для алгоритма пункта 1, погрешность построенного алгоритма в общем случае сколь угодно велика. Поэтому при его использовании необходимо тестирование для конкретного функционала. Для выпуклого или вогнутого функционала алгоритм находит точное решение (см. утв. 3.13). Таким образом, тестирование алгоритма целесообразно проводить для функционала, который не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Как и в пункте 1 проведем тестирование для функционала (II) с функцией сложности вида (2.2) в области < 1, > 1 (см. §2 гл.

II). Параметры тестирования алгоритма аналогичны описанным в пункте 1. Аналогичные таблице 3.7 результаты приведены в таблице 3.8.

max, %, % ( ; ), % max max 1,159 0,0142 0,0670 (0,556; 1,8) Таблица 3.8. Относительная погрешность алгоритма для функционала (II).

Как видно из таблицы, построенный алгоритм дает много лучшие результаты, чем алгоритм пункта 1 (максимальная погрешность снижается на порядок), несмотря на незначительное увеличение порядка сложности (n2 log n по сравнению с n2). При этом, в отличие от алгоритма пункта 1, максимальная погрешность достигается не на границе исследованной области параметров, а внутри ее ( = 0,556, = 1,8). При ( ; ) max max max max погрешность отлична от 0 лишь при n = 7, 19, 22, 23, 25 в диапазоне изменения n от 2 до 50. То есть можно аналогично пункту предположить невозрастание максимальной погрешности при дальнейшем росте n.

3. Первый эвристический алгоритм решения общей задачи.

В данном пункте описывается эвристический алгоритм для функционала общего вида, аналогичный алгоритму пункта 1 для функционала вида P( g1,, gk, g ). Отличия состоят в том, что для каждой подгруппы строится дерево ее организации (а не для одной подгруппы на каждую мощность), кроме того анализируются произвольные варианты разбиения группы, а не только существенно различные.

Описание алгоритма. Последовательно рассмотрим значения i = 2, n. Предположим, что при каждом t = 1,i -11 для всех групп h мощности t известно некоторое дерево Dh D(h) организации h и его стоимость P(Dh ). Рассмотрим группу g мощности i и все варианты нетривиального2 разбиения g на две непересекающиеся подгруппы g1 и g2. Мощность g1 и g2 меньше i, следовательно для них известны деревья Dg1 и Dg2 и их стоимости P(Dg1 ) и P(Dg2 ). Проанализируем следующие варианты разбиения g :

a) Рассмотрим Q (g) = {g1, g2}. Этому разбиению соответствует дерево организации g со стоимостью P = P(Q (g)) + P(Dg1 ) + P(Dg2 ).

b) Если g1 > 1, то рассмотрим Q (g) = {g2} QDg1 (g1).

Этому разбиению соответствует дерево организации g со стоимостью P = P(Q (g)) + hQ(g ) P(Dh ).

c) Если g2 > 1, то рассмотрим Q (g) = {g1} QDg2 (g2 ).

Этому разбиению соответствует дерево организации g со стоимостью P = P(Q (g)) + hQ(g) P(Dh ).

Для каждой пары подгрупп g1 и g2 сравним значения P, P, P, для которых реализуются соответствующие случаи a), b), с), и выберем минимальное по всем парам значение Pmin. В результате найдем дерево Dg D(g), стоимость которого P(Dg ) = Pmin.

Проделав вышеуказанные действия для всех групп мощности i, перейдем к следующему значению i. И так далее. В итоге последовательно решим задачу для всех i = 2, n. После этого При минимальном i = 2 предположение верно, так как дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

То есть группа разбивается на две или более подгруппы.

дерево D считаем решением задачи об оптимальном дереве f организации f, f = n. Алгоритм построен (назовем его первым эвристическим).

Утверждение 3.14. Количество sэвр1(n) вычислений функционала стоимости первым эвристическим алгоритмом оценивается величиной sэвр1(n) i=2,nCi q(i,2) = 3s(n,2).

n i Доказательство. При каждом i алгоритм анализирует Cn групп g мощности i. Существует q(i,2) вариантов нетривиального разбиения g на две подгруппы. Для каждого варианта вычислим функционал стоимости не более 3 раз.

Утверждение доказано.

Таким образом, сложность первого эвристического алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ) не более чем в три раза превосходит сложность переборного алгоритма поиска оптимального 2-дерева на D2 ( f ) (см. таблицу 3.3).

Утверждение 3.15. Первый эвристический алгоритм находит оптимальное дерево для выпуклого на наборах непересекающихся групп функционала стоимости1.

Доказательство проведем индукцией по мощности организуемой группы. Если мощность равна двум, то алгоритм найдет оптимальное дерево, так как оно единственно.

Предположим, что для любой группы мощности t < i алгоритм находит оптимальное дерево организации. Рассмотрим группу g мощности i.

Функционал выпуклый на наборах непересекающихся групп, * то есть существует оптимальное на D(g) 2-дерево D* организации g (см. следствие 1 к теор. 1.5). В D2 группа g организуется из некоторой пары подгрупп g1 и g2. В силу пункта a) описания алгоритма будет проанализирован вариант организации g из g1 и g2. По предположению для g1 и g При этом найденное оптимальное дерево может не быть 2-деревом, так как в общем случае могут существовать и оптимальные деревья другого вида.

известны оптимальные деревья организации и их стоимость.

Следовательно, найденное алгоритмом дерево Dg D(g) оптима* льно: P(Dg ) = P(D2 ). В итоге алгоритм найдет оптимальное дерево организации группы f. Утверждение доказано.

Построим еще один эвристический алгоритм, после чего совместно протестируем работу обоих алгоритмов (см. таблицу 3.9).

4. Второй эвристический алгоритм решения общей задачи.

В данном пункте описывается эвристический алгоритм для функционала общего вида, в некотором смысле аналогичный алгоритму пункта 2 для функционала вида P( g1,, gk, g ).

Описание алгоритма. Последовательно рассмотрим значения i = 2,n. Предположим, что при каждом t = 1,i -1 для каждой группы h мощности t известны некоторые деревья Dh, j D(h), j = 1,t -1 организации h и их стоимости P(Dh, j ).Таким образом, для каждой группы мощности t известно t -дерево организации2. Рассмотрим группу g мощности i.

Последовательно выберем j от i -1 до 1. При каждом j рассмотрим всевозможные подгруппы g1 g мощности j.

Обозначим оставшуюся подгруппу через g2 = g \ g1.

Проанализируем следующие варианты разбиения g :

a) Положим Q (g) = {g1, g2}. Этому разбиению поставим в соответствие дерево организации g со стоимостью:

P = P(Q (g)) + P(Dg1,1) + P(Dg2,1).

b) Если g2 > 1, то для всех s = 1, g2 -1 положим Qs (g) ={g1}QDg2,s (g2). Этим разбиениям поставим в соответствие При минимальном i = 2 считаем известным дерево Dh,1 нулевой стоимости, состоящее из одной изолированной элементарной вершины h.

Способ построения деревьев конкретизируется ниже при описании алгоритма.

деревья организации g стоимости Ps = P(Qs (g)) + hQ(g) P(Dh,1).

s Для всевозможных подгрупп g1 g мощности j сравним значения P, Ps при s = 1, g2 -1 и выберем минимальное по всем подгруппам g1 g значение. При j < i -1 сравним его со стоимостью найденного на предыдущем шаге дерева Dg, j+1 и выберем минимальную стоимость Pmin. Соответствующее дерево и примем в качестве дерева Dg, j D(g), P(Dg, j ) = Pmin. Проделав вышеуказанные действия последовательно для всех j от i -1 до 1, найдем деревья Dg,i-1, Dg,i-2,…, Dg,1. После этого находим аналогичные деревья для следующей группы мощности i. И так далее. Построив деревья для всех групп мощности i, перейдем к следующему значению i. В итоге последовательно решим задачу для всех i = 2, n. После этого дерево D считаем решением f,задачи об оптимальном дереве организации f, f = n. Алгоритм построен (назовем его вторым эвристическим).

Утверждение 3.16. Количество sэвр2 (n) вычислений функционала стоимости вторым эвристическим алгоритмом i оценивается величиной sэвр2 (n) i=2,n Cnq(i,2)i.

i Доказательство. При каждом i алгоритм анализирует Cn групп g мощности i. Для каждой группы g при всех j от i -1 до 1 последовательно выберем всевозможные подгруппы g1 g мощности j. Общее количество таких подгрупп 2i - 2 = 2q(i,2).

Для каждой выбранной подгруппы рассмотрим не более i вариантов разбиения g, то есть вычислим функционал стоимости не более i раз. Утверждение доказано.

Таким образом, выполнено sэвр2 (n) < 2ns(n,2). То есть сложность второго эвристического алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ) не более чем в 2n раз превосходит сложность переборного алгоритма поиска оптимального 2-дерева на D2 ( f ) (см. таблицу 3.3). При n 20 выполнено sэвр2 (n) < 10sэвр1(n). То есть в том диапазоне, где сложность алгоритмов остается приемлемой, второй эвристический алгоритм не более чем на порядок сложнее первого.

Утверждение 3.17. Второй эвристический алгоритм находит оптимальное дерево для выпуклого на наборах непересекающихся групп функционала стоимости1.

Доказательство. Второй эвристический алгоритм, также как и первый, анализирует все варианты организации группы из двух подгрупп. Следовательно, доказательство полностью аналогично доказательству утверждения 3.15. Утверждение доказано.

Первый и второй эвристические алгоритмы вычисляют меньше значений функционала стоимости, чем минимально возможное количество q(n) вычислений точным алгоритмом (см.

утв. 3.1). Следовательно, в общем случае погрешность алгоритмов сколь угодно велика. Поэтому при их использовании необходимо тестирование для конкретного функционала. Для выпуклого функционала алгоритмы находят точное решение (см. утв. 3.15, 3.17). Для вогнутого функционала веерная организация оптимальна на D( f ) (см. следствие к теор. 1.6). Таким образом, тестирование алгоритма целесообразно проводить для функционала, который не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Как и в пунктах 1 и 2, протестируем алгоритмы для функционала (II) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II) в области параметров (, ) [0,5; 1) (1; 2]. Разобьем диапазон сеткой с узлами (, ) = ( 1/(1 + 0,1i); 1 + 0,1 j ), i, j = 1,10.2 Для тестирования используем значение n = 8.

Величины C(a1),,C(an ) (см. формулу (2.2)) выбираем следующим образом. Рассмотрим четыре отрезка: [1; 2], [1; 10], [1; 100], [1; 1000]. На каждом отрезке исследуем: равномерное распределение сложностей элементов; группировку в пары C(a1) = C(a2), C(a3) = C(a4),,C(an-1) = C(an), значения сложностей При этом найденное оптимальное дерево может не быть 2-деревом, так как в общем случае могут существовать и оптимальные деревья другого вида.

При описании некоторой реальной задачи параметры функционала определяются с некоторой погрешностью. Следовательно, значения параметров можно привязать к узлам некоторой сетки, что оправдывает тестирование алгоритма без оценки колебаний погрешности между узлами.

пар распределим равномерно на отрезке; группировку в тройки; и так далее до n -1 (если n не делится целиком на нужное число, то оставшиеся значения сложности считаем неполной группой).

Соответствующие максимальной погрешности значения параметров обозначим через ( ; ) и (dmax ; gmax ), где dmax max max обозначает номер диапазона (1 – [1; 2], 2 – [1; 10], 3 – [1; 100], 4 – [1; 1000]), а gmax – число группируемых сложностей (1 для равномерного распределения).

Обозначим стоимость найденного эвристическим алгоритмом дерева через Pэвр (n), стоимость оптимального дерева через Pопт(n), погрешность алгоритма через (n) =100 %(Pэвр(n) - Pопт(n))/ Pопт(n).

Среднюю по всем тестируемым вариантам погрешность обозначим через, среднеквадратичное отклонение – через, максимальную погрешность – через max, минимальную погрешность – через min. Результаты тестирования приведены в таблице 3.9.

min,% max,%, % ( ; ) (dmax ; gmax ), % max max Веерная организация 4,368 104787,77 2638,5 8458,599 (0,50; 2,00) (4; 5) Последовательная организация 12,546 240,253 78,369 43,175 (0,91; 1,10) (1; 5) 2-организация 3,418 162,068 54,939 35,559 (0,91; 1,10) (1; 2) 1-й эвристический 0,000 3,293 0,079 0,305 (0,67; 2,00) (1; 5) 2-й эвристический 0,000 3,817 0,165 0,474 (0,59; 2,00) (1; 1) Таблица 3.9. Относительная погрешность алгоритмов для функционала (II).

Для иллюстрации разброса стоимости различных деревьев в таблице приведена информация об отличии стоимости оптимального на D( f ) дерева от стоимости веерной организации и от стоимости деревьев, оптимальных на Op ( f ) и D2 ( f ). Для представления этих результатов в виде погрешности считаем, что первый “алгоритм” в таблице выдает веерную организацию в качестве решения, второй – оптимальную последовательную организацию1, третий – оптимальную 2-организацию. Видно, что оптимальное на D2 ( f ) дерево может иметь значительно большую Для поиска оптимальной последовательной организации одной группы использовался алгоритм, описанный в главе IV.

стоимость, чем оптимальное на D( f ) дерево. Тем более это относится к последовательной организации. Веерная организация в большинстве случаев будет неприемлема.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.