WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 26 |

s ~ Доказательство. q(n,r) – количество способов нетривиального разбиения группы из n элементов на существенно различные наборы из r или менее подгрупп. Выбирая всевозможным образом мощности подгрупп i1,,ir, переберем все существенно различные наборы из r или менее подгрупп. При ~(n,r) этом i1 + + ir = n, 0 i < n для j = 1, r. Тогда оценим q j следующим образом: имеется n вариантов выбора i1, n вариантов выбора i2, и так далее, n вариантов выбора ir-1. После этого вычислим ir = n - i1 - - ir-1. Всего имеем nr-1 вариантов. При этом очевидно, что многие их них не будут допустимы (может быть ir < 0 ), варианты с одними и теми же, но переставленными местами мощностями, считаются разными. Таким образом, nr-1 – ~(n,r) верхняя оценка величины q. Далее имеем ~(n, r) = ~ ~ s i=2,n q(i, r) (n -1)q(n, r) < nr. Утверждение доказано.

Из утверждений 3.8 и 3.9 можно сделать вывод, что при каждом r существует полиномиальный по n алгоритм поиска оптимального r -дерева на Dr ( f ) с функционалом стоимости вида P( g1,, gk, g ). Однако при большом r степень полинома может быть высокой.

§2. Приближенное решение задачи об оптимальном дереве на D( f ).1. Эвристический алгоритм со сложностью порядка nпри функционале вида P( g1,, gk, g ).

Описание алгоритма. Последовательно рассмотрим значения i = 2, n. Предположим, что при каждом t = 1,i -12 для некоторой группы gt мощности t известно ее разбиение Q(gt ) в некотором дереве Dt D(gt ) организации gt и стоимость этого дерева P(Dt ). Рассмотрим группу gi = {a1,,ai} мощности i. Для l = 1,i -1 через h обозначим подгруппу h = {a1,,al} мощности l, а через h обозначим подгруппу h = {al+1,,ai} мощности i - l. Проанализируем следующие существенно различные варианты разбиения gi на подгруппы:

a) Если l < i -1, то известно разбиение Q(gi-l ) группы gi-l мощности i - l в дереве Di-l. Построим разбиение {h1,,hs} группы h, которое несущественно отличается от Q(gi-l ). Рассмот рим вариант разбиения gi на подгруппы Q (gi ) = {h, h1,,hs}.

Мощность всех подгрупп h, h1,, hs меньше i. Для всех групп такой мощности известны стоимости некоторых деревьев Все алгоритмы данного параграфа можно использовать для решения задачи на Dr ( f ), рассматривая в процессе поиска решения лишь разбиения группы на r или менее подгрупп и игнорируя остальные варианты. Описание таких алгоритмов повторяет настоящий параграф почти дословно.

При минимальном i = 2 предположение выполнено, так как дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

организации P(D ), P(D ),, P(D ).1 Тогда можно вычислить h h1 hs стоимость P = P(Q (gi )) + P(D ) + P(D ) + + P(D ) дерева h h1 ht организации gi, в котором gi разбивается на подгруппы Q (gi ).

b) Если l i / 2, то рассмотрим вариант разбиения gi на подгруппы Q (gi ) = {h, h }2 и вычислим стоимость соответству ющего дерева P = P(Q (gi )) + P(D ) + P(D ).

h h При каждом возможном l сравним значения P, P, для которых реализуются соответствующие случаи a), b), и выберем минимальное по всем l значение Pmin. Положим Pk = Pmin и запомним соответствующее разбиение Q(gi ) группы gi.

Проделав вышеуказанные действия последовательно для всех i = 2, n, найдем разбиения Q(g2 ),,Q(gn ) групп g2,, gn в некоторых деревьях D2,, Dn и стоимости P(D2 ),, P(Dn ) этих деревьев. После этого по аналогии с доказательством леммы 3.можно, не вычисляя функционала стоимости, построить дерево организации f, f = n со стоимостью P(Dn ). Это дерево и считаем решением задачи. Алгоритм построен.

{a1,,ai} {a1,,ai} {a1,,al} {al +1,,ai} {a1,,al} h1 h2 … hs Рис. 3.6. Варианты разбиения, анализируемые эвристическим алгоритмом.

Рис. 3.6 поясняет построенный алгоритм и его отличия от точного алгоритма (см. утв. 3.6), в котором анализируются все существенно различные варианты разбиения группы gi = {a1,,ai}. Эвристический алгоритм анализирует все существенно различные варианты разбиения {a1,, ai} на две подгруппы (см. п. b в описании алгоритма и рис. 3.6 слева). Кроме того, для каждого l < i -1 известно разбиение h1,,hs группы {al+1,, ai} мощности i - l на подгруппы в некотором дереве Di-l, Если P(Dt ) – стоимость некоторого дерева организации группы мощности t, то для всех остальных групп такой же мощности существуют деревья их организации со стоимостью P(Dt ) в силу вида функционала.

Не рассмотрев такие случаи, мы проанализируем лишь варианты организации g из трех и более подгрупп.

найденном на предыдущих шагах. Эвристический алгоритм анализирует вариант разбиения {a1,, ai} на {a1,, al} и h1,,hs (см. п. a в описании алгоритма и рис. 3.6 справа).

Утверждение 3.10. Построенный алгоритм требует не более (n -1)(3n - 2) / 4 вычислений функционала стоимости.

Доказательство. Для каждого i алгоритм требует не более (3i / 2) - 2 вычислений функционала P. Просуммируем по i :

3( i=2,ni)/ 2 - 2(n -1) = (n -1)(3(n + 2)/ 4 - 2). Утверждение доказано.

Утверждение 3.11. Построенный алгоритм находит оптимальное дерево для выпуклого на наборах непересекающихся групп функционала стоимости1.

Доказательство проведем индукцией по мощности организуемой группы. Если мощность равна двум, то алгоритм найдет оптимальное дерево, так как оно единственно.

Предположим, что для любой группы мощности t < i алгоритм находит оптимальное дерево организации. Рассмотрим группу gi мощности i.

Если функционал выпуклый на наборах непересекающихся * групп, то существует оптимальное на D(gi ) 2-дерево D* организации gi (см. следствие 1 к теор. 1.5). В D2 группа gi организуется из двух подгрупп с мощностями s и i - s для некоторого 1 s i / 2. Алгоритм проанализирует вариант организации gi, который не существенно отличается от QD* (gi ) (см. описание алгоритма). По предположению для подгрупп мощности s и i - s известны оптимальные деревья организации и их стоимость. Следовательно, будет найдена стоимость P(Di ) * некоторого дерева Di D(gi ), причем P(Di ) = P(D2 ). То есть алгоритм в итоге найдет оптимальное дерево организации группы gi. Утверждение доказано.

Построенный алгоритм вычисляет меньше значений функционала стоимости, чем минимально возможное количество При этом найденное оптимальное дерево может не быть 2-деревом, так как в общем случае могут существовать и оптимальные деревья другого вида.

~(n) q вычислений точным алгоритмом (см. утв. 3.5).

Следовательно, в общем случае погрешность алгоритма сколь угодно велика. Поэтому при его использовании необходимо тестирование алгоритма для конкретного функционала. Для выпуклого функционала алгоритм находит точное решение (см.

утв. 3.11). Для вогнутого функционала веерная организация оптимальна на D( f ) (см. следствие к теор. 1.6). Таким образом, тестирование алгоритма целесообразно проводить для функционала, который не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Например, это функционал (II) с функцией сложности вида (2.2) в области параметров < 1, > 1 (см. §2 гл. II). Ниже приведем пример тестирования алгоритма в этой области.

Ограничимся значениями n = 5, 6,, 30 и диапазоном (, ) [0,5; 1) (1; 2], разбив его сеткой с узлами (, ) = ( 1/(1+ 0,1i); 1 + 0,1j ), i, j = 1,10.1 Для того, чтобы функционал имел вид P( g1,, gk, g ), должно выполняться C(a1) = = C(an ) (см. §2 гл. II). Функционал (II) однороден, поэтому при изменении масштаба сложностей стоимости всех деревьев умножаются на константу (см. опр. 2.3), что не меняет относительной погрешности. Поэтому считаем сложности всех элементов равными единице.

Обозначим стоимость найденного эвристическим алгоритмом дерева через Pэвр (n), стоимость оптимального дерева через Pопт(n), погрешность алгоритма через (n) =100 %(Pэвр(n) - Pопт(n))/ Pопт(n).

Среднюю по всем тестируемым вариантам погрешность обозначим через, среднеквадратичное отклонение – через, максимальную погрешность – через max. Через ( ; ) max max обозначим значения параметров, при которых погрешность максимальна. Результаты приведены в таблице 3.7.

На рис. 3.7 приведен график изменения погрешности при n = 2,50 для параметров ( ; ). Как видно из рисунка, при max max росте n погрешность, достигнув своего максимума, уменьшается, что позволяет предположить такое же поведение при дальнейшем При описании некоторой реальной задачи параметры функционала определяются с некоторой погрешностью. Следовательно, значения параметров можно привязать к узлам некоторой сетки, что оправдывает тестирование алгоритма без оценки колебаний погрешности между узлами.

росте n. Максимальная погрешность алгоритма в тестируемой области не превосходит 10%. В то же время максимум погрешности достигается на границе области при = 2. При увеличении погрешность нарастает. Допустимость использования эвристического алгоритма определяется в каждом конкретном случае, исходя из максимально допустимой погрешности.

max, %, % ( ; ), % max max 9,696 1,449 2,250 (0,714; 2) Таблица 3.7. Относительная погрешность алгоритма для функционала (II).

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 Рис. 3.7. Относительная погрешность алгоритма при возрастании n, %.

2. Эвристический алгоритм со сложностью порядка n2 log n при функционале вида P( g1,, gk, g ).

Описание алгоритма. Последовательно рассмотрим значения i = 2,n. Предположим, что при каждом t = 1,i -11 и каждом j = 1, / t для некоторой группы gt мощности t известно ее разбиение Qt, j на подгруппы мощности не менее j в некотором дереве Dt, j D(gt ) организации gt, а также стоимость этого дерева P(Dt, j ).

Рассмотрим группу gi = {a1,,ai} мощности i и последовательно для всех j от / i до 1 построим разбиения Q i, j При минимальном i = 2 предположение выполнено, так как дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

следующим образом. При разбиении gi на подгруппы мощности не менее j используется некоторое количество k подгрупп с мощностью, равной j. Возможные значения k определяются соотношением (3.8) (см. п.3 §1). Выбрав k, обозначим через l = i - kj мощность оставшейся подгруппы и проанализируем следующие существенно различные варианты разбиения gi на подгруппы:

a) Если l = 0, то рассмотрим разбиение Q (gi ) группы gi на k подгрупп с одинаковой мощностью j. Каждая из подгрупп Q (gi ) имеет мощность j < i, следовательно ее можно организовать с помощью дерева D, стоимость которого по предположеj,нию нам известна. Тогда существует дерево организации gi со стоимостью P = P(Q (gi )) + kP(D ).

j, b) Если 0 < l < i, то рассмотрим разбиение Q (gi ) группы gi на k подгрупп с одинаковой мощностью j и подгруппу мощности l. Тогда существует дерево организации gi со стоимостью P = P(Q (gi )) + kP(D ) + P(Dl,1) (мощность подгрупп из Q (gi ) j,менее i ).

c) Если j +1 / l, то рассмотрим разбиение Q (gi ) = {h1,, hk } Ql, j+1 группы gi на k подгрупп h1,,hk мощности j и подгруппы Ql, j+1 мощности j +1 или более, из которых организуется группа мощности l в дереве Dl, j+1. Тогда существует дерево организации gi со стоимостью P = P(Q (gi )) + + kP(Dj,1) + hQ P(Dh ) (мощность подгрупп из Q(gi ) менее i ).

,l, j+ d) При j = 1 также рассмотрим разбиение Q (gi ) группы gi на две подгруппы с мощностями s и i - s для s = 1, / 2 Тогда i.

существует дерево организации gi со стоимостью P = P(Q (gi))+ + P(Ds,1) + P(Di-s,1) (мощность подгрупп из Q (gi ) менее i ).

При каждом возможном k сравним значения P, P, P, для которых реализуются соответствующие случаи a), b), с), и выберем минимальное по всем k. В случае j = 1 сравним найденное значение со значениями P. Выберем минимальное значение Pmin. Набором Qi, j считаем набор, соответствующий значению Pmin. Тогда существует дерево Di, j организации группы gi, в котором gi разбивается на подгруппы Qi, j, причем стоимость дерева P(Di, j ) = Pmin нам известна.

Проделав вышеуказанные действия последовательно для всех j = / 2 и для всех i = 2, n, найдем разбиения Q2,1,Q3,1,,Qn,i,групп g2, g3,, gn в некоторых деревьях D2,1, D3,1,, Dn,1 и стоимости P(D2,1), P(D3,1),, P(Dn,1) этих деревьев. После этого по аналогии с доказательством леммы 3.3 можно, не вычисляя функционала стоимости, построить дерево организации f, f = n со стоимостью P(Dn,1). Это дерево и считаем решением задачи.

Алгоритм построен.

Построенный алгоритм анализирует большее количество вариантов, чем алгоритм пункта 1. Кроме всевозможных вариантов существенно различного разбиения группы мощности i на две подгруппы (см. рис. 3.6 слева и п. d описания), алгоритмом при каждом j от / 2 до 1 выбирается допустимое число k i подгрупп мощности j, а оставшаяся часть мощности l разбивается на подгруппы мощности j +1 и более. При этом используется разбиение в дереве Dl, j+1, найденном на предыдущих шагах (см. п. с описания алгоритма). Также анализируется вариант разбиения на k подгрупп мощности j и оставшуюся подгруппу мощности l (см. п.п. a и b описания алгоритма).

Утверждение 3.12. Порядок сложности1 построенного алгоритма не превосходит n2 log(n).

Доказательство. Для фиксированных i, j > 1 алгоритм вычисляет не более 2(i / j) значений функционала. При j = функционал вычисляет не более 3i = i + 2(i / j) значений функционала. Суммируя по j, имеем i + 2i 1/ j j =1, / i. Тогда, суммируя по i от 2 до n, получим, i(1 + 2j =1, / 2 1/ j) n что общее количество вычислений функционала не превосходит (1+ j=1,n/ 21/ j)(n + 2)(n -1)/2. Учитывая логарифмический порядок Под сложностью алгоритма подразумевается количество вычислений функционала стоимости.

роста суммы гармонического ряда при увеличении n, оценим порядок сложности алгоритма величиной n2 log(n). Утверждение доказано.

Утверждение 3.13. Построенный алгоритм находит оптимальное дерево для выпуклого или вогнутого на наборах непересекающихся групп функционала стоимости1.

Доказательство проведем индукцией по мощности организуемой группы. Если мощность равна двум, то алгоритм найдет оптимальное дерево, так как оно единственно.

Предположим, что для любой группы gt мощности t < i стоимость найденного алгоритмом дерева Dt,1 D(gt ) равна стоимости оптимального дерева на D(gt ). Рассмотрим группу gi мощности i.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.