WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 26 |

Утверждение 3.6. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве организации на D( f ), f = n с Аналогичным образом строится алгоритм поиска оптимального на Dr ( f ) дерева с уровнем не более L (см. сноску перед утв. 3.2).

~(n) ~ функционалом вида P( g1,, gk, g ) за s = i=2,n q(i) вычислений P.

Доказательство. Предположим, что для фиксированного 2 i n при каждом j = 1,i -1 для некоторой группы g j мощности j известно ее разбиение Q(g ) в некотором оптимальj ном дереве Dg j D(g ) организации g и стоимость этого дерева j j P(Dg j ).1 Рассмотрим некоторую группу gi мощности i и ~ проанализируем все q(i) вариантов существенно различного разбиения gi на подгруппы.

Пусть в очередном варианте группа gi разбивается на подгруппы Q (gi ). Мощность подгрупп из Q (gi ) не более i -1. По предположению для подгрупп такой мощности известна стоимость оптимального дерева организации (стоимость оптимальных деревьев организации всех подгрупп одинаковой мощности одинакова в силу вида функционала). Вычислим P(Q (gi )), прибавим стоимости оптимальных деревьев организации подгрупп из Q (gi ). Получим стоимость некоторого дерева организации gi.

В оптимальном дереве D* D(gi ) группа gi организуется из некоторых подгрупп h1,, hk. Будет проанализировано разбиение Q (gi ) группы gi, которое несущественно отличается от h1,, hk.

Тогда P(h1,,hk ) = P(Q (gi )), соответствующие подгруппы в наборах Q(gi ) и h1,,hk имеют одинаковую мощность.

Следовательно, стоимость оптимального на D(gi ) дерева и соответствующее ей разбиение Q (gi ) будут найдены алгоритмом.

Что позволяет перейти к следующему значению i.

~ Для каждого i = 2, n вычислим функционал стоимости q(i) ~(n) раз. В итоге, вычислив s значений P, при каждом i = 2, n для некоторой группы gi мощности i найдем ее разбиение Q(gi ) в некотором оптимальном дереве Dgi D(gi ). После этого по лемме 3.3 построим оптимальное дерево организации f без При минимальном i = 2 предположение очевидно выполнено, так как оптимальное дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

дополнительных вычислений функционала стоимости.

Утверждение доказано.

Поясним определения 3.1 и 3.2, утверждения 3.5 и 3.6 на примере (см. рис. 3.1). Три варианта разбиения f = {a1,a2,a3}, изображенные слева, не являются существенно различными, так как в них f разбивается на подгруппу мощности 1 и подгруппу мощности 2 (всем вариантам соответствует один и тот же вектор длин (1,1)). Стоимости соответствующих деревьев равны. Поэтому все три варианта анализировать не нужно, достаточно выбрать любой из них. Кроме того, необходимо вычислить стоимость организации f при разбиении, изображенном справа (см. рис. 3.1).

Ему соответствует вектор (3,0), и этот вариант существенно отличается от всех остальных. Всего при анализе разбиений f ~(3) вычислим q = 2 значения функционала. Согласно утверждению 3.5 это минимально возможное количество вычислений точным ~(2) алгоритмом. Еще q = 1 раз вычислим функционал для нахождения стоимости дерева организации группы мощности 2.

~(2) ~ Всего потребуется ~(3) = q + q(3) = 3 вычисления.

s ~(n) ~ Алгоритм вычисления величины q. Через qi, j обозначим количество способов нетривиального разбиения группы мощности i на существенно различные наборы подгрупп ~ мощности j или более, i = 1, n, j = 1,i, qi,i = 0. Предположим, что ~ ~ ~ для всех допустимых j известны величины q1, j, q2, j,…, qi-1, j. И, ~ ~ ~ кроме того, известны величины qi,i, qi,i-1,…, qi, j+1. То есть известны те элементы матрицы (3.7), которые расположены выше ~ или правее элемента qi, j (все элементы на главной диагонали равны нулю).

~ q1,~ ~ q2,1 q2,~ ~ ~ q3,1 q3,2 q3,(3.7)....

~ ~ ~ qn,1 qn,2.. qn,n ~ Тогда найдем qi, j следующим образом. Обозначим через k количество подгрупп мощности j, которое может содержать группа мощности i, чтобы мощность оставшейся части была нулевой или большей, чем j. Тогда имеем:

0,, / j -1, при i mod j i (3.8) k = 0,,i / j - 2,i / j, при i mod j = Поясним формулу (3.8). Если i не делится нацело на j, то в группе мощности i может содержаться не более / j подгрупп i мощности j. Но если содержится ровно / j подгрупп, то i мощность оставшейся части больше нуля и меньше j, что недопустимо. Таким образом, в первой строке (3.8) вычитаем 1 из i / j. Если i делится нацело на j, то в группе мощности i может содержаться от 0 до i / j подгрупп мощности j. Но если содержится i / j -1 подгруппа, то мощность оставшейся части равна j, что недопустимо.

По формуле (3.8) выберем некоторое количество k подгрупп мощности j. При k = 0 ни одной подгруппы мощности j не выбрано, следовательно “оставшуюся часть” мощности i необходимо разбивать на подгруппы мощности j +1 или более.

~ Количество таких вариантов обозначим через w(0) = qi, j+1. При k > 0 оставшуюся часть мощности i - kj можно вообще не разбивать или разбить на подгруппы мощности j +1 или более.

~ Количество вариантов w(k) = qi-kj, j+1 +1. Тогда можно записать ~ (3.9) qi, j = w(k), где сумма берется по всем возможным k значениям k из соотношения (3.8). Равенство справедливо, так как любые наборы, содержащие разное количество подгрупп мощности j, существенно различны, и рассмотренными вариантами исчерпываются все возможности разбиения группы мощности i на существенно различные наборы подгрупп мощности j или более.

Таким образом, в матрице (3.7) можно последовательно вычислить строки сверху вниз, вычисляя каждую из строк справа налево по формуле (3.9). Проведя вычисления в таком порядке, ~ ~ ~ найдем все qi, j. Тогда выполнено q(n) = qn,1. Алгоритм построен.

~ Значения q(n) приведены в таблице 3.5. Из таблицы можно ~(n) ~ сделать вывод, что при увеличении n отношение q / q(n -1) уменьшается. Этот факт позволяет предположить, что порядок минимальной сложности точного алгоритма меньше an для ~(n) любого a > 1. То же самое можно сказать и про сложность s построенного алгоритма. Вопрос теоретического доказательства приведенной гипотезы остается открытым. Также открыт вопрос о ~ существовании полиномиальной по n оценки величин q(n), ~(n).

s ~ ~ ~ ~ ~ ~ n q(n) q(n) q(n) q(n) q(n) q(n) n n ~ ~ ~ q(n -1) q(n -1) q(n -1) 20 626 1.28 50 204 225 1.18 80 15 796 475 1.30 5 603 1.23 60 966 466 1.16 90 56 634 172 1.40 37 337 1.20 70 4 087 967 1.15 100 190 569 291 1.~(n) Таблица 3.5. Минимальная сложность q точного алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ) при функционале вида P( g1,, gk, g ).

~(n) s ~(n) ~(n) n ~(n) ~(n) ~(n) n s n s s s s ~ ~ ~ q(n) q(n) q(n) 20 2 693 4,30 50 1 295 920 6,35 80 123 223 558 7,30 28 598 5,10 60 6 639 288 6,87 90 465 672 458 8,40 215 267 5,76 70 30 053 883 7,35 100 1 642 992 467 8,~(n) Таблица 3.6. Сложность s алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ) при функционале вида P( g1,, gk, g ).

~(n) Значения s приведены в таблице 3.6. Из таблицы видно, что построенный алгоритм имеет приемлемую сложность для n 100. Кроме того, сложность алгоритма превосходит минимально возможную сложность точного алгоритма не более, ~(100) < 10).

чем на порядок (~(100) / q С другой стороны, нижняя s ~(n) оценка q сложности точного алгоритма неприемлемо высока при n существенно большем 100. Таким образом, имеет смысл построение эвристических алгоритмов, которые решают задачу с приемлемой погрешностью для некоторых функционалов стоимости (см. §2).

Приведем пример найденного алгоритмом оптимального на D( f ) дерева организации группы f = {a1,, a70} из семидесяти элементов (n = 70) для функционала (II) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II). Для примера положим = 0.5 и = 1.5, то есть точку из области, в которой функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым (см. рис. 2.6). Для того, чтобы функционал имел вид P( g1,, gk, g ), то есть зависел только от мощностей подгрупп, сложности элементов должны быть равны:

C(a1) = = C(a70 ). В силу однородности функционала масштаб сложности не влияет на оптимальность организации. Положим сложности элементов равными единице: C(a1) = = C(a70 ) = 1.

f a21 a22 a23 a24 a29 a30 a31 a32 a56 a57 a58 a59 a60 a66 a67 68 a69 aa25 a26 a27 a28 a51 a52 a53 a54 a55 a61 a62 a63 a64 aa17 a18 a19 aa37 a38 a39 a40 a46 a47 48 a49 aa5 a6 a7 a8 a13 a14 a15 aa41 a42 a43 a44 aa9 a10 a11 a12 a33 a34 a35 aa1 a2 a3 aРис. 3.5. Оптимальное на D( f ) дерево организации группы f = {a1,, a70}.

Оптимальное дерево изображено на рис. 3.5. При n = 25, n = 125 и n = 6251 оптимально симметричное 5-дерево, в котором каждая управляющая вершина имеет 5 подчиненных. При рассмотренном значении n = 70 элементы a1,,a40 группируются в четверки, элементы a41,, a70 группируются в пятерки. То есть все элементы подчиняются шестнадцати управляющим вершинам нижнего уровня, которые затем группируются в f с помощью симметричного 4-дерева.

При приближении к единице функционал “приближается” к вогнутому и становится оптимальной веерная организация. При увеличении становится оптимальной 2-организация (в При n = 125 и n = 625 решение найдено эвристическим алгоритмом пункта 2 §2.

рассматриваемом примере при 3). Следовательно, численные эксперименты позволяют предположить, что для любого r можно подобрать такое, при котором будет оптимальна симметричная r -организация (для n = ri, то есть для соответствующего количества элементов).

Таким образом, построенные алгоритмы позволяют анализировать закономерности поведения оптимального дерева организации в зависимости от параметров функционала.

4. Оценка сложности задачи на Dr ( f ) при функционале вида P( g1,, gk, g ). Алгоритм решения.

Следующее утверждение представляет собой аналог утверждения 3.5 для Dr ( f ).

Утверждение 3.7. Алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), f = n 4 с функционалом вида ~(n,r) P( g1,, gk, g ), должен проанализировать не менее q значений функционала P. Любой алгоритм, анализирующий менее ~(n,r) q значений P, может выдать решение, стоимость которого сколь угодно больше стоимости оптимального r -дерева.

Доказательство. Зададим функционал P (g1,, gk ) стоимости организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk в соответствии с формулой (3.4) (см. утв. 3.5). Тогда любое r -дерево D Dr ( f ) имеет стоимость y. Предположим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), ~(n,r) анализирует менее q значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P. Обозначим полученное r -дерево через D Dr ( f ). Найдется такой набор подгрупп h1,,hj, f = h1 hj, j r, что все варианты организации f, стоимость которых проанализирует алгоритм, будут существенно отличаться от h1,, h. Если в D набор QD ( f ) существенно отличается от j h1,, h, то зададим функционал P в соответствии с формулой j (3.5), иначе, выбрав произвольное z > y, зададим функционал P в соответствии с формулой (3.6) (см. утв. 3.5).

Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P.

Мы изменили значения функционала только для тех вариантов организации f, которые несущественно отличаются от h1,, h.

j Эти значения алгоритм не анализировал. Следовательно, в качестве решения опять будет выдано r -дерево D. При первом варианте выбора P r -деревья из Dr ( f ), в которых группа f организуется из подгрупп h1,,h, имеют нулевую стоимость, а j P(D ) = y. При втором варианте выбора P в силу n 41 в Dr ( f ) существует по крайней мере одно r -дерево, в котором группа f организуется из набора подгрупп, существенно отличающегося от h1,, h. Стоимость такого r -дерева равна y, а P(D ) = z. В j обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального r -дерева.

Утверждение доказано.

Лемма 3.4. Если функционал имеет вид P( g1,, gk, g ) и при каждом i = 2,n для некоторой группы g мощности i известно ее разбиение Q(g) в некотором оптимальном r -дереве Dg Dr (g) организации g, то можно построить оптимальное на Dr ( f ) r -дерево организации f, f = n, не вычисляя значений функционала стоимости.

Доказательство проводится повторением доказательства леммы 3.3 с точностью до замены слов “дерево” на “r -дерево” и множества D( f ) на Dr ( f ). Лемма доказана.

Доказательство следующего утверждения дает алгоритм поиска оптимального r -дерева на Dr ( f )2 с функционалом вида P( g1,, gk, g ) и его сложность.

Утверждение 3.8. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве организации на Dr ( f ), f = n с При n = 3 и r = 2 все варианты разбиения группы мощности три на две подгруппы не являются существенно различными, так как одна подгруппа имеет мощность один, другая – мощность два (см. рис. 3.1).

Аналогичным образом строится алгоритм поиска оптимального на Dr ( f ) дерева с уровнем не более L (см. сноску перед утв. 3.2).

~(n, ~ функционалом вида P( g1,, gk, g ) за s r) = i=2,n q(i,r) вычислений P.

Доказательство. Проводится повторением доказательства утверждения 3.6 с точностью до замены слов “дерево” на ~(i) ~(n) “r -дерево”, множества D( f ) на Dr ( f ), величин q и s ~(i,r) ~(n, соответственно на q и s r), ссылки на лемму 3.3 ссылкой на лемму 3.4. Утверждение доказано.

Поясним утверждения 3.7 и 3.8 на примере (см. рис. 3.1).

Предположим, что необходимо найти оптимальное 2-дерево. Тогда подходят только три варианта разбиения f = {a1, a2, a3}, изображенные слева. Все эти три варианта имеют одинаковую стоимость, поэтому функционал можно не вычислять вообще, а выбрать любое дерево в качестве оптимального. По этой причине в утверждении 3.7 введено условие f = n 4, которое гарантирует, что при разбиении f найдутся по крайней мере два существенно различных варианта. Построенный алгоритм (см. утв. 3.8) ~(3,2) = q + q(2,2) = ~(3,2) ~ вычислит s значения функционала и найдет стоимость оптимального дерева.

Утверждение 3.9. Выполнено неравенство ~(n, r) < nr.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.