WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 26 |

Приведем пример найденного алгоритмом оптимального на D( f ) дерева организации группы f = {a1,, a12} из двенадцати элементов (n = 12) для функционала (III) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II). Для примера положим = 1 и = 0.8, то есть рассмотрим точку из области, в которой функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым (см. рис. 2.7). Сложности элементов: C(a1) = 1,C(a2 ) = 2,,C(a12 ) = 12.

f a1 a2 a3 a4 a5 a6 a9 a8 a10 a11 a7 aРис. 3.2. Оптимальное на D( f ) дерево организации группы f = {a1,, a12}.

Оптимальное дерево изображено на рис. 3.2. Оно содержит три промежуточные группы. Группа f организуется из подгруппы {a7, a8, a10,a11, a12} и семи элементарных подгрупп. Таким образом, в отличие от случая 1, не только последовательная организация, но и 2-дерево не будет оптимальным. При приближении к нулю значение функционала стремится к единице, то есть стоимость графа стремится к количеству неэлементарных групп. Следовательно, при достаточно малом будет оптимальна веерная организация, содержащая единственную неэлементарную группу. В вышеуказанном примере при 0.оптимальна веерная организация, но при другом выборе сложностей элементов могут требоваться все меньшие для оптимальности веерной организации. В результате можно сделать вывод, что разработанных аналитических методов недостаточно для поиска оптимальных деревьев при функционале (III) с < 1, но можно использовать алгоритмические методы, изложенные в настоящей главе.

2. Оценка сложности общей задачи на Dr ( f ). Переборный алгоритм.

Следующее утверждение представляет собой аналог утверждения 3.1 для Dr ( f ).

Утверждение 3.3. Алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), r 2, f = n 3 для структурного функционала P общего вида, должен проанализировать не менее q(n, r) значений P. Любой алгоритм, анализирующий менее q(n, r) значений P, может выдать решение, стоимость которого сколь угодно больше стоимости оптимального r -дерева.

Доказательство. Зададим функционал P (g1,, gk ) стоимости организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk в соответствии с формулой (3.1) (см. утв. 3.1). Тогда любое r -дерево D Dr ( f ) имеет стоимость y. Предположим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), анализирует менее q(n, r) значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P. Обозначим полученное r -дерево через D Dr ( f ). Алгоритм не проанализирует хотя бы одного варианта организации f из j непересекающихся подгрупп, 2 j r.

Обозначим их через h1,, h, f = h1 hj. Если j QD ( f ) {h1,,h }, то зададим функционал g в соответствии с j формулой (3.2), иначе, выбрав произвольное z > y, зададим P в соответствии с формулой (3.3) (см. утв. 3.1).

Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P.

Мы изменили значение функционала только на наборе подгрупп h1,, h. Это значение алгоритм не анализировал. Следовательно, j в качестве решения опять будет выдано r -дерево D. При первом варианте выбора P r -деревья из Dr ( f ), в которых группа f организуется из подгрупп h1,,h, имеют нулевую стоимость, а j P(D ) = y. При втором варианте выбора P в силу n 3 в Dr ( f ) существует по крайней мере одно r -дерево, в котором группа f организуется не из подгрупп h1,, h. Стоимость такого r -дерева j равна y, а P(D ) = z. В обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального r -дерева. Утверждение доказано.

Следствие. Для любого r 2 не существует полиномиального по n алгоритма решения задачи об оптимальном на Dr ( f ) r-дереве организации со структурным функционалом общего вида.

Доказательство. Выполнено q(n, r) q(n,2) = 2n-1 -1.

Следствие доказано.

Доказательство следующего утверждения дает алгоритм поиска оптимального r -дерева на Dr ( f )1 и его сложность. Будем называть построенный алгоритм переборным.

Утверждение 3.4. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве организации на Dr ( f ), r 2, f = n для структурного функционала P общего вида за s(n, r) = = i=2,nCi q(i, r) вычислений P.

n Доказательство. Предположим, что для некоторого 2 i n известны оптимальные r -деревья организации всех групп мощности менее i и их стоимость. Разобьем группу g мощности i на r или менее непересекающихся подгрупп всевозможными способами, их q(i, r). Пусть в очередном варианте группа g разбивается на подгруппы g1,, gk, 2 k r. Мощность подгрупп не превосходит i -1. Следовательно, для них известны оптимальные r -деревья организации. Сложим их стоимости, Аналогичным образом строится алгоритм поиска оптимального на Dr ( f ) дерева с уровнем не более L (см. сноску перед утв. 3.2).

прибавим P(g1,, gk ). Получим стоимость некоторого r -дерева организации g. В оптимальном r -дереве g организуется из некоторых подгрупп g1,, gk, 2 k r. Вариант с такой стоимостью будет найден, следовательно найдем оптимальное i r -дерево организации g. Всего имеется Cn групп мощности i.

Вычислив для каждой из них функционал стоимости q(i, r) раз, перейдем к группам большей мощности. В итоге, вычислив s(n, r) значений P, решим задачу для f. Утверждение доказано.

В примере на рис. 3.1 только три дерева, изображенные слева, будут 2-деревьями. Рассматриваем q(3,2) = 3 варианта разбиения группы f = {a1,a2, a3} на две подгруппы. В остальном переборный алгоритм на Dr ( f ) полностью аналогичен алгоритму на D( f ) (см. утв. 3.2). В итоге вычислим s(3,2) = 6 значений функционала.

Способ вычисления q(n, r) приведен выше (см. леммы 3.1 и 3.2). По этим величинам можно вычислить s(n, r). Итак, сложность наилучшего алгоритма, решающего задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), лежит между q(n, r) и s(n, r). Примеры значений q(n, r) и s(n, r) для r = 2 приведены в таблице 3.3.

n q(n,2) s(n,2) n q(n,2) s(n,2) n q(n,2) s(n,2) 1 - - 8 127 3 025 15 16 383 7 141 2 1 1 9 255 9 330 16 32 767 21 457 3 3 6 10 511 28 501 17 65 535 64 439 4 7 25 11 1 023 86 526 18 131 071 193 448 5 15 90 12 2 047 261 625 19 262 143 580 606 6 31 301 13 4 095 788 970 20 524 287 1 742 343 7 63 966 14 8 191 2 375 101 21 1 048 575 5 228 079 Таблица 3.3. Минимальная сложность q(n,2) точного алгоритма поиска оптимального 2-дерева на D2 ( f ) и сложность переборного алгоритма.

s(n,2) Видно, что при n 20 сложность переборного алгоритма поиска оптимального 2-дерева остается приемлемой. В то же время она существенно превосходит нижнюю оценку сложности алгоритма. С другой стороны, как показывает таблица 3.4, при увеличении r нижняя оценка довольно быстро приближается к сложности переборного алгоритма. Видно, что при n = 15 и r сложность переборного алгоритма превосходит нижнюю оценку не более чем на порядок.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 r s(15,r) / q(15,r) 435 74 28 15 10 8.7 7.9 7.6 7.6 7.6 7.6 7.6 7.6 7.Таблица 3.4. Отношение сложности переборного алгоритма поиска r -дерева s(n,r) к минимально возможной сложности точного алгоритма q(n, r) при n =15.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Рис. 3.3. Сложность s(15, r) переборного алгоритма поиска r -дерева при 2 r 15.

Рис. 3.3 показывает, что при росте r от 2 до n сложность переборного алгоритма поиска оптимального r -дерева быстро возрастает примерно до r = n / 2, после чего остается практически неизменной, близкой к s(n) (см. таблицу 3.2). То есть сложность s(n / 2,n) переборного алгоритма при n > 20 неприемлемо высока.

f a10 a11 a1 a2 a3 a6 a12 a13 a14 a7 a8 a15 a16 a17 a4 a5 a9 aРис. 3.4. Оптимальное на D2 ( f ) 2-дерево организации группы f = {a1,,a18}.

Приведем пример найденного алгоритмом оптимального на D2 ( f ) 2-дерева организации группы f = {a1,,a18} из восемнадцати элементов (n = 18) для функционала (IV) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II). Для примера положим = 1 и = 0.5, то есть рассмотрим точку из области, в которой функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым (см.

рис. 2.8). Сложности элементов определим следующим образом C(a1) = 1,C(a2 ) = 2,,C(a18 ) = 18. Оптимальное 2-дерево изображено на рис. 3.4.

3. Оценка сложности задачи на D( f ) при функционале вида P( g1,, gk, g ). Алгоритм решения.

Как было отмечено в начале главы, если функционал имеет вид P( g1,, gk, g ), то стоимость организации подгрупп в группу зависит только от их мощностей, но не от состава. То есть варианты разбиения g на подгруппы одинаковой мощности имеют одинаковую стоимость. Приведем формальные определения.

Определение 3.1. Для любого нетривиального1 разбиения группы g на непересекающиеся подгруппы Q = {g1,, gk }, k 2, g = g1 gk вектором длин, соответствующим набору Q, назовем вектор v = (v1,,v ), i -я компонента vi которого равна g -количеству подгрупп мощности i, входящих в Q, i = 1, g -1.

Определение 3.2. Два нетривиальных разбиения Q1 и Qгруппы g назовем существенно различными, если различаются векторы длин, соответствующие Q1 и Q2.

Если наборы Q1 = {g1,, gk } и Q2 = {h1,,hk }, g = g1 gk = h1 hk не являются существенно различными, то очевидно, что наборы чисел g1,, gk и h1,, hk одинаковы с точностью до перестановки, следовательно выполнено соотношение P(Q1) = P( g1,, gk, g ) = P( h1,, hk, g ) = P(Q2 ).

Таким образом, при поиске оптимального дерева переборными алгоритмами (см. утв. 3.2 и 3.4) можно анализировать не все То есть группа разбивается на две или более подгруппы.

разбиения, а лишь те, которые существенно различны. Переформулируем пункт 1 для функционала вида P( g1,, gk, g ).

~(n,r) Через q обозначим количество способов нетривиального разбиения группы из n элементов на существенно различные ~(n) ~(n, наборы из r или менее подгрупп, n 2, r 2. Через q = q n) обозначим общее число способов нетривиального разбиения группы из n элементов на существенно различные наборы подгрупп. Очевидно, что для любого r > n выполнено ~(n, ~ ~(n) q r) = q(n, n) = q, так как нельзя разбить группу из n элементов более чем на n непересекающихся подгрупп.

Утверждение 3.5. Алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на D( f ), f = n 3 с функционалом вида ~(n) P( g1,, gk, g ), должен проанализировать не менее q значений функционала P. Любой алгоритм, анализирующий менее ~(n) q значений P, может выдать решение, стоимость которого сколь угодно больше стоимости оптимального дерева.

Доказательство. Зададим функционал P (g1,, gk ) стоимости организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk следующим образом:

0, при g f (3.4), P ( g1,, g ) = k y, при g = f где y > 0 – произвольное число.

Тогда любое дерево D D( f ) имеет стоимость y. Предположим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на ~ D( f ), анализирует менее q(n) значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P. Обозначим полученное дерево через D D( f ). Найдется такой набор подгрупп h1,,h, j f = h1 hj, что все варианты организации f, стоимость которых проанализирует алгоритм, будут существенно отличаться от h1,, h. Если в D набор QD ( f ) существенно отличается от j h1,, h, то зададим функционал P следующим образом:

j 0, при g f или при k = j и несуществе нном (3.5) P (g1,, gk ) = различии g1,, gk и h1,,h j y, в противном случае Если в D набор QD ( f ) не отличается существенно от h1,,h, j то, выбрав произвольное z > y, зададим функционал P следующим образом:

0, при g f z, при k = j и несуществе нном (3.6) P (g1,, gk ) = различии g,, gk и h1,,hj y, в остальных случаях Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P.

Мы изменили значения функционала только для тех вариантов организации f, которые несущественно отличаются от h1,, h.

j Эти значения алгоритм не анализировал. Следовательно, в качестве решения опять будет выдано дерево D.

При первом варианте выбора P деревья из D( f ), в которых группа f организуется из подгрупп h1,,h, имеют нулевую j стоимость, а P(D ) = y.

При втором варианте выбора P в силу n 3 в D( f ) существует по крайней мере одно дерево, в котором группа f организуется из набора подгрупп, существенно отличающегося от h1,, h. Стоимость такого дерева равна y, а P(D ) = z.

j В обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального дерева.

Утверждение доказано.

Лемма 3.3. Если функционал имеет вид P( g1,, gk, g ) и при каждом i = 2,n для некоторой группы g мощности i известно ее разбиение Q(g) в некотором оптимальном дереве Dg D(g) организации g, то можно построить оптимальное на D( f ) дерево организации f, f = n, не вычисляя значений функционала стоимости.

Доказательство. Для группы мощности два существует единственное дерево организации, построить которое можно, не Изменить значение функционала только на наборе подгрупп h1,, h нельзя, так j как P имеет вид P( g1,, gk, g ) и при изменении стоимости P(h1,, h ) j автоматически изменится стоимость всех вариантов, которые несущественно отличаются от h1,, h.

j вычисляя P. Введем индуктивное предположение, что для всех групп мощности меньше s можно построить оптимальные деревья их организации без вычисления P (2 < s n).

Рассмотрим произвольную группу h = {al1,, als } мощности s. Известно некоторое разбиение Q1 = {g1,, gk } группы g мощности s в оптимальном дереве Dg D(g). Обозначим мощности групп g1,, gk через j1,, jk, j1 + + jk = s. Построим разбиение группы h на подгруппы Q2 = {h1,, hk } следующим образом: h1 ={al1,,alj1},h2 ={alj1+1,,alj1+ j2},…,hk ={alj1+ + jk-1+1,,als}.

То есть отнесем к подгруппе h1 первые j1 элементов h, ко второй – следующие j2 элементов h, и т. д. Наборы Q1 и Q2 не являются существенно различными, следовательно P(Q1) = P(Q2 ).

Мощность групп h1,, hk меньше s, следовательно по индуктивному предположению для каждой h, j = 1, k можем j построить оптимальное дерево организации h, не вычисляя P.

j Стоимость такого дерева будет равна стоимости оптимального дерева организации g в силу g = h. Тогда можно построить j j j дерево Dh D(h) организации h, проведя в h ребра из корней оптимальных деревьев организации групп h1,,hk. Имеем P(Dh ) = P(Dg ) в силу равенства стоимостей поддеревьев и условия P(Q1) = P(Q2 ). То есть, опираясь на индуктивное предположение, построили оптимальное дерево организации группы h, не вычисляя P. В итоге по индукции доказана возможность такого построения для группы мощности n, то есть для f. Лемма доказана.

Доказательство следующего утверждения дает алгоритм поиска оптимального дерева на D( f )1 с функционалом вида P( g1,, gk, g ) и его сложность.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.