WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 26 |

Функционалы (I), (III) корректны в нуле, функционалы (II), (IV) – нет. Далее в §2 исследуется выпуклость, вогнутость, существенная выпуклость функционалов (I)-(IV) и из общих теорем 1.4-1.делаются соответствующие выводы по поводу вида оптимальной организации. Полученные результаты схематично представлены на рис. 2.5-2.8. Для ряда наборов параметров функционалы не являются ни выпуклыми, ни вогнутыми. Аналитическое решение задачи в этих областях на данный момент отсутствует. На рис. 3.2, 3.4, 3.5 приведены примеры использования алгоритмических методов решения, из которых можно сделать вывод, что в указанных областях оптимальная организация ведет себя сложным образом.

Глава III. Алгоритмы поиска оптимального дерева.

В данной главе рассматриваются методы решения задачи об оптимальных на D( f ) и Dr ( f ) деревьях организации одной группы f = N = {a1,, an} для структурного функционала стоимости. Для монотонных функционалов по теореме 1.4 и следствию найденные деревья также будут и оптимальными организациями одной группы на O( f ) и Or ( f ).

Согласно теореме 1.7 существуют оптимальные на D( f ) и Dr ( f )1 деревья организации, которые не содержат повторяющихся групп. Ниже в данной главе считаем, что во множества D( f ) и Dr ( f ) входят только такие деревья. Найденные графы будут оптимальными и на первоначальных множествах D( f ) и Dr ( f ). Таким образом, для любой вершины g V \ ND произвольного дерева D = (V, E) D( f ) выполнено QD (g) 2 и любая подгруппа h QD (g) строго вложена в g : h g (см. лемму 1.4). То же считаем выполненным и для D Dr ( f ). Ниже эти свойства специально не оговариваются.

В §1 оценивается сложность и строятся алгоритмы точного решения задачи об оптимальном дереве. При этом пункты 1 и посвящены структурному функционалу общего вида, а пункты 3 и 4 – функционалу вида P( g1,, gk, g ), зависящему не от состава подгрупп g1,, gk, организуемых в группу g, а лишь от их мощностей g1,, gk, g. Например, для определенного в главе II анонимного функционала с функцией сложности вида (2.2) требование P(C(g1),,C(gk ),C(g)) = P( g1,, gk, g ) эквивалентно условию равенства сложностей элементов: C(a1) = = C(an ).

Очевидно, что если функционал имеет вид P( g1,, gk, g ) и группы g и h равномощны – g = h, то стоимости оптимальных на D(g) и D(h) деревьев организации g и h будут равны. То же верно и для множеств Dr (g) и Dr (h). Ниже при разработке 1 ~ Напомним, что для одной группы f множество O( f ) организаций без пересечений и множество D( f ) деревьев организации совпадают (см. утв. 1.2). То ~ же верно и для множеств Or ( f ) и Dr ( f ).

методов решения подразумеваем этот факт, не оговаривая его каждый раз специально.

В §2 строятся эвристические алгоритмы решения задачи для функционала общего вида (см. п.3 и п.4) и для функционала вида P( g1,, gk, g ) (см. п.1 и п.2)1. Сложность эвристических алгоритмов ниже минимально возможной сложности точных алгоритмов. Как показано в §1, в худшем случае погрешность таких алгоритмов сколь угодно велика. Поэтому необходимо тестировать “качество работы” эвристических алгоритмов для конкретных функционалов. В §2 приведены примеры тестирования.

Все построенные в данной главе алгоритмы основаны на следующем принципе динамического программирования. Пусть дерево D = (V, E) D( f ) оптимально на D( f ). Обозначим через Dg поддерево D с корнем в некоторой промежуточной группе g V / ND. Тогда очевидно, что Dg – оптимальное на D(g) дерево (в противном случае при замене поддерева Dg на поддерево меньшей стоимости уменьшилась бы стоимость D, что невозможно). То есть любое поддерево оптимального дерева оптимально. Ниже при построении алгоритмов этот факт специально не оговаривается.

§1. Точное решение задачи об оптимальном дереве.

1. Оценка сложности общей задачи на D( f ). Переборный алгоритм.

Через q(n, r) обозначим количество способов нетривиальногоразбиения группы из n элементов не более чем на r непересекающихся подгрупп, n 2, r 2. Через q(n) = q(n, n) обозначим общее число способов нетривиального разбиения группы из n элементов.

Очевидно, что для любого r > n выполнено q(n, r) = q(n, n) = q(n), так как нельзя разбить группу из n Такой порядок пунктов определяется удобством изложения эвристических алгоритмов.

То есть группа разбивается на две или более подгруппы.

элементов более чем на n непересекающихся подгрупп. Ниже (см.

леммы 3.1 и 3.2) при вычислении q(n, r) ограничимся величинами 2 r n, так как после их вычисления величина q(n, r) для больших r получается тривиально.

Следующее утверждение дает нижнюю оценку количества вычислений функционала стоимости любым точным алгоритмом.

Утверждение 3.1. Алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на D( f ), f = n 3 для структурного функционала P общего вида, должен проанализировать не менее q(n) значений P. Любой алгоритм, анализирующий менее q(n) значений P, может выдать решение, стоимость которого сколь угодно больше стоимости оптимального дерева.

Доказательство. Зададим функционал P (g1,, gk ) стоимости организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk следующим образом:

0, при g f (3.1), P (g1,, gk ) = y, при g = f где y > 0 – произвольное число.

Тогда любое дерево D D( f ) имеет стоимость y.

Предположим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на D( f ), анализирует менее q(n) значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P. Обозначим полученное дерево через D D( f ). Алгоритм не проанализирует хотя бы одного варианта организации f из непересекающихся подгрупп. Обозначим их через h1,, h, f = h1 hj. Если j QD ( f ) {h1,,h }, то зададим функционал P следующим j образом:

0, при g f или при k = j, g1 = h1,,g = hj j (3.2).

P (g1,, gk ) = y, в противном случае Если QD ( f ) = {h1,, h }, то, выбрав произвольное z > y, зададим j P следующим образом:

0, при g f z, при k = j, g1 = h1,, g = hj (3.3).

P (g1,, gk ) = j y, в остальных случаях Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P.

Мы изменили значение функционала только на наборе подгрупп h1,, h. Это значение алгоритм не анализировал. Следовательно, j в качестве решения опять будет выдано дерево D.

При первом варианте выбора P деревья из D( f ), в которых группа f организуется из подгрупп h1,,h, имеют нулевую j стоимость, а P(D ) = y. При втором варианте выбора P в силу n 3 в D( f ) существует по крайней мере одно дерево, в котором группа f организуется не из подгрупп h1,,h. Стоимость такого j дерева равна y, а P(D ) = z. В обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального дерева. Утверждение доказано.

Следствие. Не существует полиномиального по n алгоритма решения задачи об оптимальном на D( f ) дереве организации со структурным функционалом общего вида.

Доказательство. Выполнено q(n) q(n,2) = 2n-1 -1.

Следствие доказано.

Доказательство следующего утверждения дает алгоритм поиска оптимального дерева на D( f )1 и его сложность. Будем называть построенный алгоритм переборным.

Утверждение 3.2. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве организации на D( f ), f = n для структурного функционала P общего вида за s(n) = i=2,nC i q(i) n вычислений P.

Если стоит задача поиска оптимального на D( f ) дерева с уровнем, не превышающим L (максимальная длина пути из начальной вершины в f не более L ), то алгоритм может быть очевидным образом модифицирован. Пусть для некоторого 2 i n и для всех 1 l L известны оптимальные деревья организации всех групп мощности менее i с уровнем не более l. Если ищем такое же дерево для группы g мощности i, то уровень оптимальных деревьев организации всех подгрупп не должен превосходить l -1. Оптимальное дерево с такими характеристиками нам известно. Следовательно решим задачу для g.

Сложность такого алгоритма превосходит сложность аналогичного алгоритма утв.

3.2 не более, чем в L раз.

Доказательство. Предположим, что для некоторого 2 i n известны оптимальные деревья организации всех групп мощности менее i и их стоимость. Разобьем группу g мощности i на подгруппы всевозможными способами, их q(i).

Пусть в очередном варианте группа g разбивается на подгруппы g1,, gk. Мощность подгрупп не превосходит i -1.

Следовательно, для них известны оптимальные деревья организации. Сложим их стоимости, прибавим P(g1,, gk ).

Получим стоимость некоторого дерева организации g. В оптимальном дереве g организуется из некоторых подгрупп g1,, gk. Вариант с такой стоимостью будет найден, следовательно найдем оптимальное дерево организации g. Всего i имеется Cn групп мощности i. Вычислив для каждой из них функционал стоимости q(i) раз, перейдем к группам большей мощности. В итоге, вычислив s(n) значений P, решим задачу для f. Утверждение доказано.

f f f {a1,a2} {a2,a3} {a1,a3} f {a1} {a2} {a3} {a1} {a2} {a3} {a1} {a3} {a2} {a1} {a2} {a3} Рис. 3.1. Множество D( f ) деревьев организации группы f = {a1,a2,a3}.

Приведем пример. Пусть f = {a1, a2, a3}. Существует один способ разбиения f на три подгруппы и три способа разбиения f на две подгруппы. То есть q(3,2) = 3, q(3,3) = q(3) = 4.

Неэлементарные подгруппы f имеют мощность два, следовательно разбиваются на подгруппы единственным способом. Следовательно, имеем 4 варианта дерева организации f, изображенные на рис. 3.1.

Суть утверждения 3.1 состоит в том, что если хотя бы один из четырех вариантов разбиения f не будет проанализирован, то как раз этот вариант может оказаться оптимальным, а алгоритмом будет найдено дерево большей стоимости.

Поясним переборный алгоритм (см. док-во утв. 3.2). Сначала найдем оптимальные деревья организации всех групп мощности 2.

Таких групп три: {a1, a2}, {a2, a3}, {a1,a3}. Дерево организации каждой такой группы единственно. Вычислим его стоимость. Это потребует 3q(2) = 3 вычислений функционала. Разобьем f на всевозможные подгруппы. Например, рассмотрим рис. 3.1 слева.

Вычислим значение P({a1, a2},{a3}), прибавим известную стоимость P({a1},{a2}) дерева организации {a1, a2}. Результатом будет стоимость дерева организации f при разбиении на {a1, a2} и {a3}. Таким образом, вычислив еще q(3) = 4 значения функционала, найдем стоимости четырех деревьев организации f.

Дерево минимальной стоимости и будет оптимально. Всего вычислим s(3) = 3q(2) + q(3) = 7 значений функционала.

Для вычисления q(n, r) введем следующие вспомогательные величины. Через A(n, r) обозначим количество способов разбиения группы из n элементов ровно на r непересекающихся подгрупп с учетом их порядка, n 1, 1 r n. Учет порядка означает, что разными считаются варианты с одними и теми же, но переставленными местами подгруппами.

Лемма 3.1. Для n 1 и 1 r n выполнено равенство n 1 2 r-A(n, r) = r - Cr A(n, r -1) - Cr A(n, r - 2) - - Cr A(n,1).

Доказательство. При разбиении группы g = {a1,, an} на r подгрупп элемент a1 можно поместить в первую, вторую, и так далее, в r -ю подгруппу. Так как порядок подгрупп учитывается, то получим r вариантов размещения a1. Элемент a2 также можно разместить r вариантами, независимо от размещения a1. И так n далее, все n элементов можно разместить по r подгруппам r способами. В эту величину входят и те варианты, в которых некоторые подгруппы остаются пустыми. Подсчитаем число вариантов с одной пустой подгруппой. Выбрать пустую подгруппу можно Cr = r способами. Число вариантов разбиения g на r -оставшихся подгрупп равно A(n, r -1). Всего получаем Cr A(n, r -1) вариантов с одной пустой подгруппой. Аналогично, число вариантов с двумя пустыми подгруппами равно Cr A(n, r - 2). И так далее, число вариантов с r -1 пустой r-подгруппой будет равно Cr A(n,1). Вычтя “лишние” варианты из n r, докажем лемму.

Лемма 3.2. Для n 2 и 2 r n выполнено равенство q(n, r) = A(n, r) / r!+A(n, r -1) /(r -1)!+ + A(n,2) / 2!.

Доказательство. q(n, r) – количество способов нетривиального разбиения группы g = {a1,, an} на r или менее подгрупп без учета порядка. Число вариантов разбиения ровно на r подгрупп равно A(n, r) / r!, так как отождествляются варианты с одними и теми же, но переставленными местами подгруппами.

Аналогично, число вариантов разбиения ровно на r -1 подгруппу равно A(n, r -1) /(r -1)!. И так далее, число вариантов разбиения на две подгруппы (минимальное количество подгрупп в нетривиальном разбиении) равно A(n,2) / 2!. Просуммировав все варианты, получим q(n, r). Лемма доказана.

Выполнено A(n,1) = 1. Далее можно по формуле леммы 3.последовательно вычислить величины A(n,2),, A(n, n). После этого по формуле леммы 3.2 вычисляются величины q(n, r). В силу q(n) = q(n, n) вычислим и величину q(n).

n q(n) n q(n) n q(n) 1 - 8 4 139 15 1 382 958 2 1 9 21 146 16 10 480 142 3 4 10 115 974 17 82 864 869 4 14 11 678 569 18 682 076 806 5 51 12 4 213 596 19 5 832 742 205 6 202 13 27 644 436 20 51 724 158 235 7 876 14 190 899 321 21 474 869 816 156 Таблица 3.1. Минимальная сложность q(n) точного алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ).

Итак, сложность наилучшего алгоритма, решающего задачу об оптимальном дереве на D( f ), лежит между q(n) и s(n).

Значения q(n) приведены в таблице 3.1. Значения s(n) и их отношение к q(n) приведены в таблице 3.2. Решать переборным алгоритмом задачи с размерностью больше 20 не представляется возможным. С другой стороны, если некоторый алгоритм решает задачу хотя бы с ограниченной погрешностью, то его сложность может быть ниже не более, чем на порядок (так как s(20) / q(20) < 10). Таким образом, имеет смысл построение эвристических алгоритмов, которые решают задачу с приемлемой погрешностью для некоторых функционалов стоимости (см. §2).

s(n) / q(n) n s(n) s(n) / q(n) n s(n) s(n) / q(n) n s(n) 1 - - 8 20 891 5.05 15 10 480 109 379 7.2 1 1 9 115 463 5.46 16 82 864 804 268 7.3 7 1.75 10 677 546 5.84 17 682 076 675 087 8.4 36 2.57 11 4 211 549 6.21 18 5 832 741 942 913 8.5 171 3.35 12 27 640 341 6.56 19 51 724 157 711 084 8.6 813 4.02 13 190 891 130 6.91 20 474 869 815 108 175 9.7 4 012 4.58 14 1 382 942 161 7.24 21 4 506 715 736 350 170 9.Таблица 3.2. Сложность s(n) переборного алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ).

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.