WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 26 |

Утверждение 2.5. Если для однородной задачи функция K() вогнута и не убывает, K(0) = 0, то функционал стоимости P вогнут.

Доказательство. Рассмотрим набор групп {g1,, gk } и его произвольное разбиение на поднаборы {h1,,hi} и {hi+1,,hk }, k 3, 1 < i < k. Обозначим h = h1 hi. Тогда P(g1,, gk ) = K(k), P(h1,,hi ) = K (i), P(h,hi+1,,hk ) = = K(k - i +1). Тогда неравенство b) определения 1.30 перепишется в виде K(k) K(i) + K (k - i +1). Из вогнутости и условия K(0) = по лемме 2.1 имеем K(x + y) K (x) + K(y), то есть K (k +1) K(i) + K (k - i +1), а в силу неубывания K (k) K (k +1).

Утверждение доказано.

Из следствия к теореме 1.6 вытекает, что при условиях утверждения веерная организация оптимальна на множестве D( f ), а следовательно и на множествах DL ( f ) и D ( f ). Таким образом, L из теоремы 1.6 следует один из результатов, полученных в [21].

5. Задачи с неструктурным функционалом и сложными ограничениями.

В предыдущем пункте приведен пример задачи, в которой лишь при определенных условиях функционал структурен и множество графов сводится к исследованным в данной работе вариантам множеств. Таким образом, необходима разработка общих методов решения для неструктурных функционалов и множеств различного типа. Приведем еще несколько примеров известных задач, в которых нарушается структурность или исследуется множество графов сложной конфигурации.

В [37] поставлена задача оптимизации на множестве K Гn D( f ) деревьев над n элементами (n = f ), которые имеют K уровней иерархии (максимальный путь из листа в корень имеет длину K ). Кроме того, допускаются прочие ограничения произвольного вида, то есть задача решается на множестве K Г Гn. При этом функционал стоимости дерева D = (V, E) Г имеет очень простой вид: P(D) = V \ ND = V \ND1. То есть минимизируется количество управляющих центров (неначальных вершин). На множестве D( f ) задача решается тривиально – оптимальна веерная организация (один центр). Для различных частных случаев множества Г методы решения предложены в [37]. Также в [37] поставлена в некотором смысле обратная задача – на подмножестве деревьев с A управляющими центрами ищется дерево с минимальным количеством уровней иерархии.

В [39] рассмотрена задача надстройки структуры управления над технологическим графом, но вид функционала стоимости отличен от описанного в пункте 1. Задана “сила взаимосвязи” d(a, a ) элементов a, a N. И рассматриваются m -уровневые деревья из D( f ), в которых все пути из начальных вершин в корень имеют одинаковую длину m. Обозначим такое дерево через D = (V, E). В нем все начальные вершины имеют уровень 1, подчинены управляющим вершинам уровня 2, те, в свою очередь, управляющим вершинам уровня 3, и так далее, вершины уровня m -1 подчинены корню f.

Для каждой группы h V \ ND уровня l, l = 2, m ее стоимость определяется следующим образом: ФD(h) = = hdg(g, g), где “сила взаимосвязи” D QD(h) (QD (h) -1) g,g QD ( ), g dD (g, g ) групп g и g рекурсивно определяется как средняя “сила взаимосвязи” групп, которые непосредственно подчинены группам g, g (и так далее, “сила взаимосвязи” групп первого уровня задана). Таким образом, стоимость ФD (h) зависит не только от групп из QD (h), которые непосредственно подчинены h, но и от всего поддерева с корнем h.

Общая стоимость дерева записывается как m 1 Ф(D) = Ф(lh), где kl – количество вершин уровня m -1l=2 kl hV уровня l. То есть Ф(D) – некоторая средняя сила взаимосвязи всех управляющих центров дерева. Задача об оптимальной иерархии представляет собой задачу поиска дерева вышеуказанного вида, для которого достигается максимум Ф(D), то есть задачу на определенном подмножестве D( f ) с неструктурным функционалом1. Как указано в [39], при m = 3 и фиксированном kэта задача сводится к широко известной задаче классификации, то есть разбиения множества объектов на заданное число классов по критерию “близости” объектов, оказывающихся внутри одного класса, и “удаленности” объектов, находящихся в разных классах (используется в теории распознавания образов). То есть даже в сугубо частном случае задача весьма сложна (см., например, [4, 22, 27, 28]). В общем случае в [39] построены лишь эвристические алгоритмы решения.

§2. Примеры структурных функционалов стоимости.

1. Сложность группы. Свойства функционала стоимости.

Примеры (функционалы (I)-(IV)).

Во многих практически важных случаях (см., например, §1) можно считать, что структурный функционал P(g1,, gk ) зависит не от самих подгрупп g1,, gk, а от некоторых числовых характеристик C(g1),,C(gk ) организуемых подгрупп и характеристики C(g) группы g = g1 gk. Приведем формальные определения.

Очевидно, что задача на максимум легко сводится к задаче на минимум с помощью рассмотрения функционала стоимости P(D) = C -Ф(D), где C – достаточно большая константа.

Определение 2.1. Сложностью группы назовем произвольную неотрицательную монотонную функцию группы C : F [0,+),1 C(g) C(h) при g h.

Определение 2.2. Структурный функционал стоимости назовем анонимным, если для любых подгрупп g1,, gk F его можно представить в виде P(C(g1),,C(gk ),C(g)),2 где g = g1 gk – организуемая группа.

Сложность монотонна, то есть не убывает при расширении группы3. Если функционал не зависит от C(g), то последний аргумент в определении 2.2 будем опускать. Далее в этом параграфе считаем функционал стоимости анонимным. Если при росте любого из аргументов анонимного функционала значение стоимости не убывает, то функционал монотонен (в силу монотонности сложности).

Можно привести следующий пример функции сложности.

Пусть для всех a N заданы произвольные величины C(a) 0, то есть сложности элементов. Тогда для произвольной группы g F определим ее сложность следующим образом:

(2.2) C(g) = ( ag C(a)1/ ), где (0,+) – параметр сложности. При = 1 сложность группы равна сумме сложностей составляющих ее элементов, при > 1 – больше этой суммы (усложняющий параметр), при < 1 – меньше (упрощающий параметр). Некоторые результаты этого параграфа будут касаться произвольной функции сложности, остальные справедливы для функции сложности вида (2.2).

F – множество групп, см. опр. 1.13.

Здесь и далее одной и той же буквой P обозначается функционал, зависящий от набора групп, и от набора сложностей, что не приводит к путанице в силу различия аргументов функционалов.

Такие функции множества обычно называют емкостью, однако, исходя из некоторых содержательных интерпретаций, в данной работе термин “сложность” более уместен.

Определение 2.3. Анонимный функционал стоимости назовем однородным, если для любых величин x, C1,,Ck, C 0, C max(C1,,Ck ) выполнено P(xC1,,xCk, xC) = (x)P(C1,,Ck,C), где () – произвольная функция, (0) = 0, (x) > 0 при x > 0.

Для функции сложности вида (2.2) однородность функционала гарантирует независимость оптимальных графов организации от масштаба сложностей элементов C(a), a N, то есть от того, в каких “единицах” выражена сложность. Другими словами, при умножении C(a) на константу x > 0, одинаковую для любого a N, стоимость всех иерархий умножится на (x) > 0.

Таким образом, требование однородности выглядит вполне разумным с содержательной точки зрения. Далее в этом параграфе приводятся примеры однородных функционалов.

Определение 2.4. Анонимный функционал стоимости назовем корректным в нуле, если для любых 0 C C выполнено P(C,0,,0,C ) = 0, то есть стоимость организации какой-либо группы с группами нулевой сложности равна нулю.

Если функционал не корректен в нуле, то стоимость “присоединения” подгрупп нулевой сложности может не равняться нулю. Содержательно это соответствует, например, некоторым начальным затратам, присутствующим при организации любой группы, независимо от ее сложности.

Рассмотрим следующие варианты функционала стоимости:

(I) P(C(g1),,C(gk )) = [C(g1) + + C(gk ) - max(C(g1),,C(gk ))] ;

(II) P(C(g1),,C(gk )) = [C(g1) + + C(gk )] ;

(III) P(C(g1),,C(gk ),C(g)) = [C(g) / max(C(g1),...,C(gk )) -1] ;(IV) P(C(g1),,C(gk ),C(g)) = [ i=1,k C(g) - C(gi )], где группа g = g1 gk организуется из подгрупп g1,, gk, (0;+) – параметр функционала.

Ниже считаем, что если max(C(g1),...,C(g )) = 0, то значение функционала (III) k равно + независимо от значения C(g). То есть расширим область значений функционала бесконечной точкой.

Функционалы (I)-(IV) были предложены, исходя из возможных содержательных интерпретаций1.

Очевидно, что функционалы (I)-(IV) однородны, то есть не зависят от масштаба сложности.

Функционал (I) корректен в нуле и монотонен. Стоимость организации определяется суммой сложностей подгрупп, организуемых с самой сложной.

Функционал (II) монотонен, но не корректен в нуле.

Стоимость организации определяется суммой сложностей организуемых подгрупп.

Функционал (III) корректен в нуле при функции сложности вида (2.2), но не монотонен. Стоимость организации – относительный показатель – определяется отношением сложности группы к максимальной сложности подгруппы.

Содержательно функционалы (I)-(IV) описывают затраты руководителя (менеджера) на управление группой. Основой для исчисления затрат служит "сложность" элемента группы, содержательно описывающая сложность или объем выполняемой им работы (ее также можно соотнести с квалификацией работника).

Различные виды функционалов соответствуют нескольким "типовым" видам внутригруппового взаимодействия и взаимодействия руководителя и управляемой им группы. Эти виды взаимодействия описаны во многих работах по менеджменту на качественном уровне (см., например, [47, 53, 55]). Введенные функционалы позволяют количественно измерять затраты руководителя на управление группой.

Так, функционал (I) соответствует группе с "полулидером" [50], который не требует затрат на руководство собой. Таким образом, затраты определяются суммой сложностей всех элементов группы, за исключением "полулидера", то есть максимально "сложного" элемента.

Функционал (II) соответствует группе без лидера, в которой все затраты на координацию берет на себя управляющий центр. То есть его затраты определяются суммой сложностей всех элементов группы.

Функционал (III) соответствует группе с лидером, конструктивная роль которого приводит к снижению затрат управляющего центра на координацию взаимодействия [49]. Чем больше сложность лидера, тем больше координирующих функций он может взять на себя, снизив тем самым затраты управляющего центра.

Функционал (IV) соответствует затратам в процессе индивидуальной работы руководителя с членами группы [54] (например, при обучении). Затраты определяются разностями между сложностью результата групповой деятельности (соизмеримой со "сложностью" руководителя) и сложностями элементов (подгрупп).

Функционал (IV) не корректен в нуле и не монотонен.

Стоимость организации – абсолютный показатель – определяется разностью между сложностью группы и сложностями подгрупп.

Разработанный в главе I аппарат далее в этом параграфе используется для поиска оптимальных организаций при функционалах (I)-(IV). Для доказательства соответствующих утверждений используются следующие неравенства:

(2.3) (x1 +...+ xn) x1 +...+ xn для любых x1 0,, xn 0 при 1, (2.4) (x1 +...+ xn) x1 +...+ xn для любых x1 0,, xn 0 при 1.

Неравенства (2.3) и (2.4) представляют собой частный случай неравенства Минковского (см., например, [40]).

2. Вид оптимальной организации для функционала (I).

Утверждение 2.6. Функционал (I) при 1 – вогнутый, при 1 – выпуклый, а при функции сложности вида (2.2) и 1, 1 – существенно выпуклый.

Доказательство. Рассмотрим произвольный набор групп {g1,, gk }. Обозначим через P1 левую, через P2 – правую часть в неравенствах определения 1.30.

Пусть 1. Рассмотрим произвольное разбиение набора {g1,, gk } на поднаборы {h1,, hi} и {hi+1,,hk }, 1 < i < k, h = h1 hi. Введем обозначения x = C(h ), x = max(x ), j j j j = 1,i, ys = C(hs ), y = max(ys ), s = i +1, k, X = x1 + + xi, Y = yi+1 + + yk. Тогда P1 = (X + Y - max(x, y)), P2 = (X - x) + + (C(h) + Y - max( y,C(h))). При 1 в силу (2.4) P2 (X + Y + C(h) - x - max( y,C(h))). Для доказательства неравенства P1 P2 осталось показать, что x + max(y,C(h)) C(h) + max(x, y). При y C(h) неравенство, очевидно, выполнено. При y > C(h) неравенство перепишется в виде x + y C(h) + max(x, y), что выполнено в силу x C(h) (сложность монотонна). Таким образом, при 1 выполнено P1 P2, то есть неравенство b) определения 1.30. Следовательно, функционал (I) – вогнутый.

Пусть 1. Обозначим xi = C(gi ), i = 1,k. Без ограничения общности считаем, что x1 = max(x1,, xk ).1 Положим {h1,h2} = = {g1, g2}, {h3,, hk } = {g3,, gk }. Имеем P1 = (x2 + + xk ), P2 = x2 + (x3 + + xk ). В силу (2.3) при 1 выполнено P1 P2, то есть неравенство a) определения 1.30. Следовательно, функционал (I) – выпуклый.

Пусть функция сложности имеет вид (2.2) и 1, 1.

Рассмотрим набор неэлементарных групп {g1, g2}. Пусть C(g1) C(g2 ). Обозначим через P1 левую, через P2 – правую часть в неравенстве a) определения 1.32: P1 = P(g1, g2 ), для a gP2 = P(g1 \ {a}, g2 ) + P((g1 \ {a}) g2,{a}). Обозначим x = C(g1), y = C(g1 \ {a}), z = C({a}). Имеем P1 = x, P2 = y + z.

Неравенство P1 P2 с учетом x = ( y1/ + z1/ ) имеет вид:

(y1/ + z1/ ) (y1/ ) + (z1/ ). Последнее выполнено в силу (2.3) при 1. В случае C(g1) C(g2 ) выполнение неравенства b) определения 1.32 доказывается аналогично с точностью до замены g1 на g2. Следовательно, функционал (I) – существенно выпуклый. Утверждение доказано.

Утверждение 2.7. Последовательные организации одной группы f, в которых на первом месте стоит2 элемент максимальной сложности, оптимальны на Op ( f ) при функционале (I).

Доказательство. Рассмотрим произвольную организацию G Op ( f ). Введем величину Pmin = C({a1}) + + C({an}) - - max(C({a1}),,C({an})) и покажем, что P(G) Pmin. В G элементы расположены в некотором порядке ai1,,ain (см. опр.

1.33). Обозначим g = {ai1,, ai j }, C = C({ai j }), j =1,n. Если для j j j = 1,n -1 выполнено C(g ) C, то P(G) = C2 + + Cn, то j j+есть P(G) Pmin. Иначе найдем минимальное k, для которого C(gk ) < Ck+1. Тогда C(g ) C при j = 1,k -1. Следовательно, в j j+ Иначе можно изменить нумерацию групп g1,, gk.

Cм. опр. 1.33.

P(G) входит величина P1 = j=2,k+1P(Q (g )) = C2 + +Ck +C(gk ).

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.