WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 23 |

mm1 m w5 w6 ww w2 w3 w4 Рисунок 13. Пример иерархии над симметричной производственной линией Пример иллюстрирует результат утверждения 3 – подчинение менеджеру группы исполнителей, которые идут в линии не подряд, увеличивает затраты всей иерархии. Содержательная интерпретация этого свойства очевидна. Каждый менеджер должен управлять одним участком производственной линии, то есть последовательно идущими исполнителями. Попытка подчинить менеджеру несвязанные части производства увеличит затраты иерархии и приведет к ее неоптимальности.

Рассмотрим рисунок 13. Менеджеру m1 подчинена группа {w1,w2,w3} из трех исполнителей. В группу {w1,w2,w3} входит поток f(wenv,w1) из внешней среды и выходит поток f(w3,w4). То есть после назначения менеджера m1 он с точки зрения затрат вышестоящих менеджеров ничем не отличается от исполнителя. Фактически, подчинив менеджеру m1 трех исполнителей, мы «сократим» длину производственной линии на два, поскольку три исполнителя заменятся на одного менеджера. Менеджер m2 снова «сократит» число звеньев производственной линии на два. При этом менеджеру mможно было бы подчинить менеджера m1 и двух исполнителей, что привело бы к тем же затратам. Однако подобное подчинение приведет к росту числа уровней иерархии, поэтому предпочтительнее вариант, изображенный на рисунке 13.

То есть этот поток станет для менеджера внешним.

Оптимальные иерархии управления в экономических системах Если в дереве H у менеджера m имеется k непосредственных подчиненных, то группа sH(m) разбивается на k подгрупп. Таким образом, некоторый участок производственной линии разбивается на k подучастков. Тогда менеджер m управляет k–1 внутренним потоком и участвует в управлении двумя внешними потоками.

Следовательно, если в дереве любой менеджер управляет исполнителями, идущими в линии подряд, то затраты менеджера с k непосредственными подчиненными определяются формулой:

((k + 1)). (6) Подчинив менеджеру m1 некоторое количество r1 исполнителей, мы фактически сократим число элементов производственной линии на r1 -1 (r1 исполнителей заменятся на одного менеджера).

Аналогично, можно назначить менеджера m2, подчинив ему r2 еще не подчиненных исполнителей или менеджеров, и т. д. В итоге должен остаться единственный неподчиненный менеджер mq.31 То есть n - (r1 -1) - (r2 -1) -...- (rq -1) = 1. Переписывая данное равенство, получим следующее ограничение на количество непосредственных подчиненных всех менеджеров дерева:

r1 ++ rq = n + q -1. (7) По формуле (6) затраты менеджеров равны ((r1 +1)),,((rq +1)). Для решения задачи об оптимальной иерархии осталось решить следующую задачу оптимизации:

((r1 +1)) + + ((rq +1)) min, (8) при условиях (7), r1,, rq 2, 1 q n - 1.

Итак, для симметричной производственной линии задача об оптимальной иерархии сводится к задаче (8) условной оптимизации функции, зависящей от q целочисленных переменных (такую задачу необходимо решить при каждом q). Для решения задачи (8) можно использовать классические методы дискретной оптимизации или предложенные в работе Воронина, Мишина Напомним, что q – общее количество менеджеров.

С.П. Мишин, (2001, 2003) алгоритмы поиска оптимальных деревьев для произвольной секционной функции32.

В соответствии с утверждением 3 для выпуклых функций задача (8) решается аналитически. В оптимальном дереве у различных менеджеров количество непосредственных подчиненных отличается не более чем на единицу, то есть величины r1,…,rq отличаются не более чем на единицу33. Пусть r – минимальное количество непосредственных подчиненных менеджера. Тогда у любого менеджера либо r, либо r+1 непосредственных подчиненный. Пусть q1>0 – количество менеджеров первого типа (с r непосредственными подчиненными). Тогда q2=q–q1 – количество менеджеров второго типа (с r+1 непосредственными подчиненными). Левая часть выражения (7) имеет вид q1r + q2 (r +1) = qr + q2. То есть выполнено:

qr + q2 = n + q -1, r = + q -1) / q.34 (9) (n Если n–1 делится на q нацело, то q2=0 и у всех менеджеров одинаковое количество r=(n+q–1)/q непосредственных подчиненных.

Иначе согласно (9) r – ближайшее снизу целое число, а q2 – остаток от деления n–1 на q.

Таким образом, в случае выпуклой функции при фиксированном q из формулы (9) определяются параметры r1,…,rq и по формуле (8) вычисляются затраты дерева. Поэтому для решения задачи об оптимальной иерархии остается лишь найти оптимальное количество менеджеров 1 q n -1. Это можно сделать с помощью сравнения n–1 варианта. Иначе говоря, для любой выпуклой функции можно найти оптимальною иерархию над симметричной производственной линией путем сравнения затрат n–1 дерева. Вариант q=1 соответствует двухуровневой иерархии с максимальным числом непосредственных подчиненных Кратко эти алгоритмы упоминаются в разделе 3.2.

Если имеются значения отличаются на два и более, то в соответствии с доказательством утверждения 3 одно можно уменьшить, а другое увеличить, без увеличения затрат дерева.

Символ -1) / q (n + q обозначает нижнюю целую часть, то есть максимальное целое число, не превышающее -1) / q.

(n + q Оптимальные иерархии управления в экономических системах r=n. Вариант q=n–1 соответствует 2-иерархии c минимальным числом непосредственных подчиненных r=2.

В следующем разделе рассмотрен важный частный случай – степенная функция затрат, для которой задача решена аналитически (для нее существует оптимальная норма управляемости, которая не зависит от n и ).

1.11. Оптимальная норма управляемости для степенной функции затрат и симметричной линии В экономико-математических моделях часто используются степенные функции затрат. Один из наиболее распространенных примеров – квадратичная функция. Ниже в данном разделе и в главе 2 подробно исследован вид оптимальной иерархии для степенной функции затрат, зависящей от потоков менеджера.

Рассмотрим симметричную производственную линию (см.

рисунок 1) с одномерными потоками. Интенсивность потоков в линии определяется неотрицательной величиной 0 (например, интенсивностью материального потока). Тогда можно рассмотреть степенную функцию затрат менеджера:

(x) = x, (10) где x – сумма потоков менеджера35, 0 – показатель степени.

Мы будем интерпретировать показатель степени как нестабильность внешней среды.

Приведем пример влияния нестабильности на затраты менеджера. Предположим, что в стабильной внешней среде организация выпускает единственную модификацию продукта36. При нестабильном спросе может потребоваться выпуск нескольких модификаций продукта, причем требования к выпускаемым модификациям могут постоянно изменяться. Пусть количество требуемых модификаций равно нестабильности внешней среды. Суммарный Например, если менеджер управляет и участвует в управлении k потоками, то x = k.

Например, для получения максимальной прибыли при ограниченной мощности производства.

С.П. Мишин, поток x менеджера может соответствовать количеству деталей, производством которых управляет менеджер. Менеджер должен решить, какое количество деталей использовать для выпуска каждой из модификаций, то есть определить, что для выпуска первой модификации используется 0 x1 x деталей, для выпуска второй – 0 x2 x деталей и т.д. Порядок роста общего количества вариантов выбора x1,, x равен x -1.37 Для анализа каждого варианта может потребоваться, например, расчет себестоимости выпуска каждой из х деталей с учетом технологических ограничений38.

Таким образом, трудоемкость выбора наилучшего варианта производства может возрастать39 как x, что и определяет затраты менеджера.

Приведенный пример иллюстрирует, что затраты менеджера можно моделировать с помощью зависимости (10), в которой показатель степени соответствует нестабильности внешней среды. В примере показатель равен числу модификаций, появляющихся из-за нестабильности спроса. В реальной ситуации показатель может быть меньше, поскольку с точки зрения затрат менеджера между большинством модификаций может не быть разницы.

Кроме того, на затраты менеджера могут влиять прочие факторы нестабильности («текучесть» кадров, изменение качества сырья, состава поставщиков и т.п.). Поэтому мы будем считать, что имеется некоторый обобщенный показатель нестабильности внешней среды – действительное число > 1, при котором затраты менед Например, при = имеется x+1 вариант выбора величины x1, после чего величина x2 определяется из соотношения x1+x2=x. При = количество вариантов равно x2 / 2 + 3x / 2 +1 x -, то есть порядок роста опять равен, и так далее.

Например, детали одной модификации могут выпускаться не по одиночке, а партиями. При выпуске количества деталей не кратного размеру партии себестоимость возрастает, что снижает прибыль. Поэтому на выбор «наилучшего» варианта могут влиять разнообразные технологические факторы.

При наступлении очередного периода планирования (например, месяца) от менеджера может потребоваться управление выпуском таких модификаций, с которыми он ранее не сталкивался. Поэтому менеджеру может быть неизвестен наилучший вариант или простые методы его поиска, что приводит к необходимости анализа всех вариантов.

Оптимальные иерархии управления в экономических системах жера определяются формулой (10).40 Значения 1 будут соответствовать ситуациям стабильной внешней среды.

Таким образом, в стабильной внешней среде при = 1 затраты менеджера растут линейно при росте управляемого им потока (каждая дополнительная единица потока требует одних и тех же затрат). При > 1 нестабильность приводит к тому, что функция затрат становится выпуклой (каждая дополнительная единица потока требует все больших затрат).

При 1 функция затрат (10) вогнута. Таким образом, по утверждению 2 и лемме 5 в стабильной внешней среде оптимальна двухуровневая иерархия (все исполнители непосредственно подчинены единственному менеджеру).

Найдем оптимальную иерархию, управляющую симметричной производственной линией в нестабильной внешней среде.

Будем рассматривать только деревья, в которых у всех менеджеров число непосредственных подчиненных отличается не более чем на единицу, и каждый менеджер управляет одним участком производственной линии. Степенная функция затрат выпукла при > 1, то есть в силу утверждения 3 среди таких деревьев найдется оптимальная иерархия.

Если у некоторого менеджера дерева имеется r непосредственных подчиненных, то в силу формулы (6) затраты этого менеджера, определяемые степенной функцией, равны:

((r +1)) = (r +1). (11) Если n–1 делится нацело на количество q менеджеров оптимального дерева, то согласно (9) у каждого менеджера будет ровно r =1+(n–1)/q непосредственных подчиненных. В этом случае затраты менеджеров дерева будут равны:

То есть будем считать, что повышение нестабильности приводит к росту и наоборот. На показатель степени может также влиять множество других факторов (например, личные качества менеджера или рассматриваемые в менеджменте факторы «сложности», «враждебности» внешней среды). Однако мы будем интерпретировать показатель как нестабильность внешней среды.

С.П. Мишин, (r +1) (n -1) /(r -1), (12) где (n–1)/(r–1) – количество менеджеров.

Вид формулы (12) позволяет предположить, что оптимальную иерархию можно найти с помощью выбора оптимальной нормы управляемости r*, которая минимизирует (r +1) /(r -1).

Следующее утверждение подтверждает это предположение.

Утверждение 4. Для симметричной производственной линии с одномерными потоками и степенной функции затрат при > оптимальная норма управляемости r* равна одному из двух целых чисел ближайших к ( +1) /( -1).

Если n -1 делится нацело на r* -1, то оптимально r* -дерево H*, в котором каждый менеджер управляет одним участком линии и имеет ровно r* непосредственных подчиненных.

Затраты H* определяются формулой (12) с r = r*. При произвольном n формула (12) дает нижнюю оценку затрат на управление всеми потоками линии.

В доказательстве утверждения показано, что норма управляемости r0 = ( +1) /( -1) доставляет минимум функции (r) = (r +1) /(r -1). Однако величина r0 может не быть целым числом. Поэтому r* равно ближайшему снизу целому значению r- = или ближайшему сверху целому значению r+ = в r r 0 зависимости от того, какое значение минимизирует функцию (r).Таким образом, утверждение 4 определяет оптимальную норму управляемости следующим образом:

r-, при (r- ) < (r+ ), r* = (13) r, при (r+ ) (r- ).

+ В силу утверждения 4 оптимальной иерархией, управляющей симметричной производственной линией, будет r* -дерево, в котором у каждого менеджера ровно r* непосредственных подчиненных. То есть оптимальна иерархия с нормой управляемости r*.

При этом необходимо, чтобы подобное дерево существовало, то Оптимальные иерархии управления в экономических системах есть чтобы n -1 делилось нацело на r* -1. Например, при r* = возможны следующие значения n = 3,5,7,9.... Оптимальное дерево j при n=7 изображено на рисунке 13. Если выполнено n = (r*), то можно построить оптимальное дерево с j+1 уровнями иерархии, в котором каждому менеджеру второго уровня подчинено r* исполнителей, каждому менеджеру следующего уровня подчинено ровно r* менеджеров предыдущего уровня. Для r* = 3 и n = 9 такое дерево приведено на рисунке 14.

Если n –1 не делится нацело на r* –1, то не существует дерева, в котором у каждого менеджера ровно r* непосредственных подчиненных. Тогда по утверждению 4 при любом n затраты оптимальной иерархии не могут ниже, чем:

(n -1) (r* +1) /(r* -1). (14) w5 w6 w7 ww1 w2 w3 w4 wРисунок 14. Пример дерева над производственной линией Кроме того, по утверждению 3 затраты оптимальной иерархии не больше суммарных затрат любой структуры, управляющей всеми потоками, даже если эта структура не имеет централизованного управления. Поэтому затраты любых менеджеров, управляющих всеми потоками симметричной производственной линии, не меньше величины, определяемой формулой (14).

Если n -1 делится нацело на r* -1, то достигается нижняя оценка (14) затрат оптимальной иерархии. При этом в иерархии имеется q = (n -1) /(r* -1) менеджеров, каждый из которых управляет ровно r* непосредственными подчиненными. Если n произвольно, то оптимальное количество менеджеров в дереве может быть одним из двух целых чисел, ближайших к (n -1) /(r* -1). При С.П. Мишин, этом количество непосредственных подчиненных в оптимальном дереве определяется формулой (9). Затраты оптимального дерева при произвольном n не могут превышать оценку (14) более, чем в 1+ (r* -1) /(n -1) раз41. При достаточно большом n отклонение от оценки (14) незначительно. Поэтому ниже рассматриваются только значения n - 1 кратные r* - 1, то есть считается, что затраты оптимальной иерархии определяются формулой (14).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.