WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 23 |

Любое дерево по определению удовлетворяет условиям (ii) и (iii).Пусть H1 – дерево. Предположим, что в нем найдется менеджер m4 с единственным непосредственным подчиненным v. В этом случае выполнено sH (v) = sH (m4 ). Если у m4 имеется непосредст1 венный начальник m5, то в силу условия (iii) сотрудник v не подчинен m5 непосредственно. Поэтому можно подчинить сотрудника v менеджеру m5, а менеджера m4 удалить. Группы, подчиненные оставшимся менеджерам, не изменятся, поэтому не изменятся их затраты. Если у m4 нет начальников, то m4 можно удалить. В этом В дереве все пути заканчиваются в одном менеджере, у которого нет начальников. Следовательно, этому менеджеру подчинены все остальные менеджеры и исполнители. Если один непосредственный подчиненный менеджера управляет другим, то у последнего как минимум два непосредственных начальника, что противоречит определению дерева.

С.П. Мишин, случае начальников не будет у сотрудника v. В полученной иерархии один менеджер не имеет начальников, все остальные имеют ровно одного непосредственного начальника. То есть иерархия осталась деревом (см. определение 2). Затраты полученного дерева не превышают затрат H1. Продолжая подобные удаления, придем к дереву H2, в котором у каждого менеджера не менее двух непосредственных подчиненных. Кроме того, затраты дерева H2 не превышают затрат дерева H1: c(H ) c(H1). Осталось доказать, что для H2 выполнено условие (i).

Пусть m – менеджер без начальников в дереве H2. Менеджер m управляет группой N. Менеджер m имеет k 2 непосредственных подчиненных v1,…,vk. По лемме 2 они управляют непересекающимися группами. Следовательно, при i j сотрудник vj и его подчиненные не могут управлять сотрудником vi и его подчиненными. Кроме того, подчиненные сотрудника vi и подчиненные сотрудника vj управляют разными группами, поскольку группы sH (v1),, sH (vk ) не пересекаются. Осталось показать, что в каж2 дом из k независимых поддеревьев с корнями v1,…,vk менеджеры управляют различными группами. Сотрудникам v1,…,vk подчинены меньшие группы, чем группа N, подчиненная высшему менеджеру m. То есть можно воспользоваться методом математической индукции по размеру группы, которая управляется корнем дерева (по аналогии с доказательством леммы 2).

Таким образом, H2 – дерево, которое удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii). Описанные выше перестроения дерева не изменяют числа непосредственных подчиненных менеджера. Поэтому если H– r-дерево, то H2 также будет r-деревом, которое удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii).

Доказательство утверждения 2. Рассмотрим некоторую иерархию H = (M N, E) (N). Пусть M={m1,…,mq} – множество менеджеров этой иерархии. Обозначим через int ext xi = FH (mi ) + FH (mi ) поток менеджера mi, 1 i q. Через x обозначим сумму всех потоков: x = f (w',w'') + f (w,wenv).

{w',w''}N wN Каждый поток внутри технологической сети управляется по крайОптимальные иерархии управления в экономических системах ней мере одним менеджером. В управлении потоками между сетью и внешней средой участвует, по крайней мере, высший менеджер.

Следовательно, верно неравенство x1 + + xq x.

В двухуровневой иерархии имеется единственный менеджер m, который управляет всеми потоками внутри технологической сети и участвует в управлении потоками между сетью и внешней средой. То есть затраты двухуровневой иерархии равны (x).

Затраты иерархии H равны (x1) + + (xq ). В силу субаддтивности имеем:

(x1) +(x2) ++(xq) (x1 + x2) +(x3) ++(xq)...(x1 ++ xq).

В силу x1 + + xq x и монотонности функции () имеем:

(x1) + (x2 ) + + (xq ) (x).

То есть затраты двухуровневой иерархии не превосходят затрат любой иерархии. Следовательно, двухуровневая иерархия оптимальна, что и доказывает утверждение.

Доказательство леммы 5. По определению вогнутой функции для любых z1, z2 R+ и для любого [0;1] выполнено неравенство (z1 + (1 - )z2 ) (z1) + (1 - )(z2 ). Докажем, что для любых x, y R+ выполнено (x + y) (x) + (y). Для x=y=неравенство очевидно. Положим z1=0, z2=x+y. Рассматривая поочередно = y /(x + y) и = x /(x + y), докажем справедливость следующих неравенств:

(x) (0)y /(x + y) + (x + y)x /(x + y) ;

( y) (0)x /(x + y) + (x + y) y /(x + y).

Сложим неравенства: (x) + (y) (0) + (x + y) (x + y). То есть для однокомпонентных потоков выпуклая функция субаддитивна, что и доказывает лемму.

Доказательство утверждения 3. Пусть M={m1,…,mq} – множество менеджеров, которые управляют всеми потоками симметричной производственной линии с минимальными суммарными затратами. Менеджеры из M могут непосредственно управлять исполнителями, либо могут быть связаны более сложной структуС.П. Мишин, рой подчинения. То есть ниже не предполагаем, что менеджеры из M связаны единой иерархией.

Обозначим через ki количество внутренних потоков, которыми управляет менеджер mi, 1 i q. Обозначим через li количество внешних потоков, в управлении которыми участвует менеджер mi.

Тогда суммарный внутренний поток менеджера mi равен int ext F (mi ) = ki, внешний поток равен F (mi ) = li. Таким образом, затраты менеджера mi равны ((ki + li )). Затраты всех менеджеров из M составят ((k1 + l1)) +...+ ((kq + lq )).

Любой менеджер mi участвует в управлении по меньшей мере двумя внешними потоками. Действительно, пусть wk N – исполнитель с наименьшим номером, подчиненный менеджеру mi. Тогда поток f(wk–1,wk) (или f(wenv,w1) при k=1) будет внешним для менеджера mi. Аналогично можно рассмотреть исполнителя с наибольшим номером. То есть li 2.

Рассмотрим n -1 потоков f (wi-1,wi ) = для всех 2 i n.

Каждый такой поток управляется одним из менеджеров m1,…,mq.

То есть каждый поток будет внутренним по крайней мере для одного из менеджеров. Таким образом, выполнено неравенство k1 + + kq n -1. Кроме того, ki n - 1.

Построим дерево H = (N M, E ) следующим образом. В начале менеджеров нет и каждый из n исполнителей должен быть непосредственно подчинен ровно одному менеджеру. Менеджеру m1 непосредственно подчиним k1+1 исполнителя, идущих в цепи подряд, начиная с первого. То есть sH (m1) = {w1,, wk +1}. Менед жер m1 и каждый из исполнителей wk +2,,wn должны быть непосредственно подчинены ровно одному менеджеру. Таким образом, после первого шага остались неподчиненными n - k1 сотрудников.

Менеджеру m2 непосредственно подчиним менеджера m1 и kисполнителей wk +2,,wk +k2 +1. Таким образом, после второго шага 1 остались неподчиненными n - k1 - k2 сотрудников. Продолжая подобные действия, можно придти к двум результатам:

Оптимальные иерархии управления в экономических системах 1. При k1 + + kq = n -1 будут назначены q'= q менеджеров.

Причем менеджеру mq будет непосредственно подчинен менеджер mq-1 и kq исполнителей wk +...+kq +2,, wn, еще оставшихся неподчи1 -ненными.

2. При k1 + + kq > n -1 будут назначены q' q менеджеров, причем последнему менеджеру mq будет непосредственно подчи нен менеджер mq-1 и не более kq' исполнителей, еще оставшихся неподчиненными.

В обоих случаях менеджер mq будет управлять всеми исполнителями. То есть получили дерево H (N). По построению каждый менеджер дерева управляет группой исполнителей, кото рые идут в цепи последовательно. Рассмотрим менеджера mi, 1 i q'. Обозначим всех его непосредственных подчиненных v1,…,vj. По лемме 2 v1,…,vj управляют попарно непересекающимися группами. По лемме 1 sH (mi ) = sH (v1) sH (v ). Таким обраj зом, управляемый менеджером mi участок цепи sH (mi ) разбивает ся на части sH (v1),,sH (vj ). Тогда менеджер mi управляет j -внутренним потоком и участвует в управлении двумя внешними потокам. Затраты менеджера mi равны (( j + 1)). Менеджер mi имеет не более ki +1 непосредственного подчиненного. Поэтому затраты менеджера mi не превосходят величины ((ki + 2)).

Таким образом выполнено:

c(H) ((k1 + 2)) +...+ ((kq + 2)) ((k1 + l1)) +...+ ((kq + lq )).

Дерево H может содержать меньше q менеджеров. В силу неотрицательности функции затрат дополнительные слагаемые не могут уменьшить затраты. Учитывая оценку ((ki + 2)) затрат менеджера mi, докажем первое неравенство. Второе неравенство справедливо в силу монотонности функции затрат и условия li 2.

Таким образом, в построенном дереве H не больше менеджеров, чем в M, причем затраты менеджеров дерева не превосходят затраты соответствующих менеджеров M. То есть построено дереС.П. Мишин, во, затраты которого не превышают суммарных затрат любых менеджеров, управляющих всеми потоками симметричной производственной линии.

Пусть () – выпуклая функция. Для каждого менеджера mi дерева H через ki обозначим количество непосредственных подчиненных, 1 i q'. Если найдутся два менеджера, у которых число непосредственных подчиненных отличается более, чем на единицу, j то для некоторых 1 i, j q'-1 выполнено ki +1 < k. При описанном выше построении дерева мы можем назначать менеджеров m1,,mq в любом порядке. Их затраты не зависят от порядка назначения. То есть первым можно назначить менеджера mi с ki непосредственными подчиненными, а вторым можно назначить j j менеджера m с k непосредственными подчиненными. Всех остальных менеджеров назначим в произвольном порядке. Таким образом, в новом дереве числа k1,...,kq' будут переставлены. То есть в новом дереве (после перестановки) выполнено неравенство k1 +1 < k2. По построению дерева менеджеру m2 непосредственно подчинен исполнитель, соседний с группой sH (m1 ). Тогда можно переподчинить этого исполнителя менеджеру m1. Это по-прежнему приведет к дереву, в котором каждый менеджер управляет группой исполнителей, которые идут в цепи последовательно. Изменились только затраты менеджеров m1 и m2, у которых теперь k1 +1 и k2 -1 непосредственных подчиненных. Ниже доказано, что затраты не увеличились. Таким образом, можно продолжить аналогичные переподчинения. В результате получим дерево, в котором количество непосредственных подчиненных у менеджеров m1 и mодинаково или отличается на единицу. Кроме того, уменьшился «разброс» величин k1,...,kq' (например, среднеквадратичное отклонение). Продолжая подобные действия, построим в итоге дерево, в котором у различных менеджеров количество непосредственных подчиненных отличается не более чем на единицу. Затраты полученного дерева не превышают затрат исходного дерева. То есть выполнено условие утверждения.

Оптимальные иерархии управления в экономических системах Для доказательства утверждения осталось показать, что вы полнено ((k1 + 2)) + (k2) ((k1 +1)) + ((k2 + 1)). Обозна чим z1 = k1 +1, z2 = k2 +1. По определению выпуклой функции для любых z1, z2 R+ и для любого [0;1] выполнено неравенство ((z1 + (1- )z2 )) (z1) + (1- )(z2).

Положим 1 = (z2 - z1 -1) /(z2 - z1), =1/(z2 - z1). Имеем, 0 <, < 1, 1 + =1. Кроме того, 1z1 + (1 - 1)z2 = z1 + 1, 1 2 z1 + (1 - )z2 = z2 -1. Подставляя значения 1, в неравенство, 2 2 получим:

((z1 + 1)) 1(z1) + (1 - )(z2), ((z1 -1)) (z1) + (1 - )(z2).

2 Складывая неравенства, будем иметь:

((z1 + 1)) + ((z2 - 1)) (z1) + (z2), что и доказывает требуемое неравенство.

Доказательство утверждения 4. В формуле (12) затраты дерева можно минимизировать выбором r, для которого достигается минимальное значение функции (r) = (r +1) /(r -1). Вычислив производную по r, получим следующее выражение:

(r) = [(r +1) -.1(r -1) - (r +1) ]/(r -1)2 = = (r +1) -1[( -1)r - -1]/(r -1)2.

В силу > 1 выполнено (r) < 0 при r < ( +1) /( -1) и (r) > 0 при r > ( +1) /( -1). То есть r0 = ( +1) /( -1) – единственная точка минимума функции (r). r должно быть целым, поэтому функцию (r) минимизирует одно из двух целых чисел:

либо r- = – максимальное целое число, не превышающее r0, r либо r+ = – минимальное целое число, не меньшее r0. Таким r образом, при (r- ) < (r+ ) минимум (r) достигается в r* = r-, при (r- ) (r+ ) минимум (r) достигается в r* = r+.

С.П. Мишин, Итак, функцию (r) минимизирует величина r*, равная одному из двух целых значений r– и r+ ближайших к ( +1) /( -1).

Если ( +1) /( -1) – целое число, то r*= r–=r+.

Поскольку r* – минимум (r), то для любого целого r имеем (r) (r*).

Пусть n -1 кратно r* -1. Рассмотрим дерево H, в котором у каждого менеджера r* непосредственных подчиненных, и каждый менеджер управляет группой исполнителей, идущих в цепи последовательно. Тогда согласно формуле (12) общее количество менеджеров H составит (n -1) /(r* -1), а затраты составят:

(r* +1) (n -1) /(r* -1) = (n -1) (r*). (*) Таким образом, затраты дерева H определяются формулой (12) с r=r*, то есть формулой (*). Покажем, что при любом n затраты оптимальной иерархии не могут быть ниже величины (*). Это позволит показать, что H – оптимальная иерархия при n -1 кратном r* -1. Кроме того, в силу утверждения 3 затраты оптимальной иерархии не превышают затрат любых менеджеров, управляющих потоками производственной линии. Следовательно, при произвольном n формула (12) с r=r* будет нижней оценкой затрат на управление всеми потоками линии.

Итак, для доказательства утверждения осталось показать, что при любом n затраты оптимальной иерархии не меньше (*). В силу > 1 функция затрат – выпуклая. В соответствии с утверждением 3 с учетом выпуклости функции () найдется оптимальное дерево * * H. В H у различных менеджеров количество непосредственных подчиненных отличается не более чем на единицу. Кроме того, * каждый менеджер H управляет группой исполнителей, идущих в * цепи последовательно. Пусть m1,,mq – менеджеры H. Тогда у q1>0 менеджеров r непосредственных подчиненных, а у q2 менеджеров r+1 непосредственный подчиненный, q1+q2=q, 2 r n. По формуле (9) имеем:

(r -1)q + q2 = n -1. (**) Оптимальные иерархии управления в экономических системах Таким образом, q = (n -1) /(r -1) - q2 /(r -1). В соответствии с формулой (11) затраты q1 менеджеров равны q1(r +1), а затраты q2 менеджеров равны q2 (r + 2). То есть затраты дерева равны:

* c(H ) = [q1(r +1) + q2 (r + 2) ] = [(q - q2 )(r + 1) + q2 (r + 2) ] = n -1 rq= [( - )(r +1) + q2 (r + 2) ] = r -1 r -= [(n -1) (r) + q2 ((r + 2) - r(r +1) /(r -1))].

Если (r + 2) - r(r +1) /(r -1) 0, то в силу (r) (r* ) имеем * c(H ) (n -1) (r* ). То есть затраты оптимальной иерархии не меньше (*).

Осталось рассмотреть случай (r + 2) - r(r +1) /(r -1) < 0.

* Найдем нижнюю оценку c(H ). Для этого вычислим верхнюю оценку q2. Из (**) имеем q2 = n -1- (r -1)q. Максимум правой части достигается при минимальном q. С учетом q q2 можно записать q2 n -1- (r -1)q2. То есть q2 (n -1) / r. Подставим эту * оценку в выражение для c(H ) :

n -* c(H ) [(n -1)(r) + ((r + 2) - r(r +1) /(r -1))] = r = [(n -1)(r) - (n -1)(r) + (n -1)(r + 2) / r] = (n -1) (r +1).

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.