WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 23 |

1.6. Затраты на управление и оптимальная иерархия Управление исполнителями требует от менеджера некоторых затрат. В базовой модели будем считать, что затраты менеджера зависят только от суммы потоков, которыми управляет менеджер, и в управлении которыми он участвует. Сформулируем строгое определение.

Определение 5. Затратами менеджера m M в иерархии H (N) назовем величину:

С.П. Мишин, int ext c(sH (v1 ),, sH (vk )) = (FH (m) + FH (m)), (4) где v1,…,vk – все непосредственные подчиненные менеджера m, p sH(v1),…,sH(vk) – управляемые ими группы, : R+ R+ – монотонно неубывающая по всем переменным функция, ставящая в соответint ext ствие вектору FH (m) + FH (m) потока неотрицательное действительное число.

Таким образом, затраты менеджера определяются функцией (), зависящей от потоков менеджера. Неубывание функции () означает, что при увеличении одной или нескольких компонент потока, то есть при увеличении «объема» управленческой работы, затраты на управление не могут снизиться. Кроме того, затраты на управление не могут быть отрицательными.

Суммарные затраты всей иерархии складываются из затрат менеджеров. Оптимальной будет та иерархия, которая минимизирует суммарные затраты. Дадим строгое определение.

Определение 6. Затратами иерархии H = (N M,E)(N) назовем сумму затрат всех ее менеджеров18:

int ext c(H ) = c(sH (v1),,sH (vk )) = (FH (m) + FH (m)), (5) mM mM где v1,…,vk – все непосредственные подчиненные менеджера m.

Оптимальной иерархией назовем иерархию H*, затраты ко* торой минимальны H Arg min c(H ).

H Оптимальных иерархий может быть несколько. Ниже мы будем решать задачу поиска одной из оптимальных иерархий.

При этом множество исполнителей N предполагается известным.

Необходимо найти иерархию (то есть определить количество менеджеров и их подчиненность) из (N), минимизирующую затраты на управление исполнителями.

Считаем, что после нахождения оптимальной иерархии можно принять на работу менеджеров, которые будут выполнять свои В выражении (5) и ниже одной и той же буквой c() обозначается и функция затрат иерархии, и функция затрат менеджера.

Оптимальные иерархии управления в экономических системах обязанности, если им компенсировать только их затраты19 (например, выплачивать зарплату). Разумеется, для этого необходима полная информация о функции затрат. При наличии такой информации в работе Мишина (2004a) построен простой механизм стимулирования, обеспечивающий минимальные выплаты, равные затратам. Также в указанной работе рассмотрены некоторые механизмы стимулирования при неполной информации.

Ниже в настоящей работе функция c() затрат менеджера предполагается известной20. Функция может определяться непосредственно по данным о затратах менеджеров. Кроме того, можно рассматривать некоторые «типичные» функции затрат (например, ниже исследуется степенная функция). При этом подбираются параметры, при которых значения функции в наибольшей степени соответствуют реальным затратам менеджеров.

В базовой модели затраты c() менеджера определяются заданными технологическими потоками21 и функцией (). Согласно формулам (2) и (3) внутренние и внешние потоки менеджера зависят только от групп, управляемых его непосредственными подчиненными v1,…,vk. Таким образом, функция затрат менеджера (4) зависит только от групп sH(v1),…,sH(vk). Функции такого вида названы в работе секционными (строгое определение см. на странице 95). Таким образом, в базовой модели рассматривается частный случай секционной функции затрат.

Очевидно, что даже в простейших случаях отыскание оптимальной иерархии методом перебора вариантов требует больших вычислительных затрат (см. пример 1 на странице 32). Данная работа посвящена созданию аналитических методов, которые при определенных ограничениях позволяют найти оптимальную иерар При необходимости можно включить в функцию затрат некоторую «норму прибыли», которую необходимо выплатить менеджерам за их работу по управлению.

Затраты могут включать не только зарплату менеджера, но и затраты на организацию его работы – рабочее место, обслуживающий персонал и т.д.

Как сказано во введении, технологические потоки можно определить, например, с помощью метода функционального моделирования.

С.П. Мишин, хию, либо сузить множество иерархий, в котором содержится оптимальная.

1.7. Общий вид оптимальной иерархии В этом разделе доказано утверждение, которое позволяет отбросить заведомо неоптимальные иерархии. Для доказательства необходима следующая лемма.

Лемма 4. Пусть m – некоторый менеджер иерархии H, v1,…,vk – все непосредственные подчиненные менеджера m. Если sH (v1) sH (v2 ), то выполнено неравенство:

c(sH (v2 ),, sH (vk )) c(sH (v1),, sH (vk )), то есть удаление ребра подчиненности (v1,m) не увеличивает затрат менеджера m.

Если группа sH(v1) вложена в группу sH(v2), то в силу леммы группу sH(v1) можно удалить из аргументов функции без увеличения затрат менеджера m. Это объясняется тем, что сотрудник v1 не управляет ни одним потоком вне группы sH(v2), но может «выносить» на уровень менеджера m часть проблем, связанных с потоками внутри группы sH(v2), хотя все эти проблемы уже решает сотрудник v2. Функция затрат менеджера не зависит от порядка записи v1,…,vk, поэтому лемма верна для любой пары вложенных групп. Удаление ребра подчинения (v1,m) не изменит групп, которые подчинены менеджерам иерархии. Поэтому могут измениться лишь затраты менеджера m. Указанное в лемме неравенство гарантирует, что затраты не возрастут. То есть подобные ребра можно удалять без увеличения затрат иерархии. Этот факт позволяет доказать следующее важное утверждение.

Утверждение 1. Для любой иерархии H1 (N) найдется иерархия H (N), имеющая не большие затраты ( c(H ) c(H1) ), и удовлетворяющая следующим свойствам:

(i) все сотрудники управляют различными группами исполнителей;

Оптимальные иерархии управления в экономических системах (ii) только один менеджер не имеет начальников. Этому менеджеру подчинены все остальные менеджеры и все исполнители;

(iii) среди сотрудников, непосредственно подчиненных одному менеджеру, ни один не управляет другим.

Если H1 – r-иерархия, дерево или r-дерево, то и H2 будет соответственно r-иерархией, деревом или r-деревом.

Доказательство утверждения основано на последовательном перестроении H1 без увеличения затрат. В итоге перестроений получаем иерархию H2, которая удовлетворяет условиям (i)-(iii).

Для r-иерархии, дерева и r-дерева перестроения не изменяют вида иерархии.

Утверждение остается верным не только для функции затрат базовой модели, но и для произвольной секционной функции, удовлетворяющей условию леммы 4.

Условие (i) означает отсутствие полного дублирования, при котором два менеджера управляют одной и той же группой исполнителей. На рисунке 6а) приведен пример подобного дублирования. Два менеджера управляют одной и той же группой {w1,w2,w3}.

При этом один них может быть удален, а всем его непосредственным начальникам можно подчинить другого менеджера без увеличения затрат. В частности, из условия (i) следует, что у любого менеджера имеется не менее двух непосредственных подчиненных (иначе в силу леммы 1 он управлял бы той же группой, что и его единственный непосредственный подчиненный).

В соответствии с условием (ii) найдется только один менеджер m, который не имеет начальников. Этому менеджеру подчинены все исполнители ( sH (m) = N ) и все остальные менеджеры иерархии. Будем называть m высшим менеджером.

Условие (ii) соответствует практике построения организаций, при которой только один высший менеджер может принимать решения, обязательные для всех сотрудников (например, может разрешить конфликт между любыми сотрудниками). На рисунке 6b) приведен пример, в котором два менеджера не имеют начальников, то есть нарушается условие (ii). Очевидно, что «лишний» менеджер может быть удален без увеличения затрат иерархии.

С.П. Мишин, a) b) c) m mmw3 w4 w1 w2 w3 w4 w1 w2 w3 ww1 wРисунок 6. Иерархии a)-c) нарушают свойства (i)-(iii) соответственно Условие (iii) можно интерпретировать следующим образом.

Пусть менеджер m1 непосредственно подчинен менеджеру m. Тогда m непосредственно не управляет подчиненными менеджера m1. Это соответствует «нормальному» функционированию организации, при котором менеджер управляет всеми подчиненными сотрудниками через непосредственных подчиненных, а не напрямую. На рисунке 6с) приведен пример, в котором высший менеджер m непосредственно управляет исполнителями w2 и w3, несмотря на то, что ими уже управляют непосредственные подчиненные m1 и mменеджера m. Согласно лемме 4 ребра (w2,m) и (w3,m) могут быть удалены без увеличения затрат иерархии.

Из утверждения 1 следует, что найдется оптимальная иерархия, удовлетворяющая условиям (i)-(iii).22 Этот факт позволяет в ряде случаев значительно упростить задачу поиска оптимальной иерархии, поскольку можно не рассматривать иерархии, нарушающие хотя бы одно из условий (i)-(iii).

Кроме того, утверждение 1 позволяет доказать следующий факт. Если существует оптимальная r-иерархия, дерево или r-дерево, то существует оптимальная иерархия соответствующего вида, удовлетворяющая условиям (i)-(iii).

Если в качестве H1 рассмотреть оптимальную иерархию, то по утверждению иерархия H2 удовлетворяет условиям (i)-(iii) и имеет не большие затраты.

Следовательно, H2 – оптимальная иерархия.

Оптимальные иерархии управления в экономических системах Поэтому все оптимальные иерархии, найденные в данной работе, удовлетворяют условиям (i)-(iii).

1.8. Достаточное условие оптимальности двухуровневой иерархии Рассмотрим условие, при котором простейшая двухуровневая иерархия оптимальна в рамках базовой модели.

Утверждение 2. Пусть функция затрат () субаддитивна, p то есть для всех x, y R+ выполнено неравенство (x + y) (x) + (y). Тогда оптимальна двухуровневая иерархия.

Условие субаддитивности означает, что затраты (x + y) одного менеджера на управление суммарным потоком x+y не больше, чем затраты двух менеджеров на управление частями этого потока x и y. В этом случае оптимальна простейшая двухуровневая иерархия, в которой все потоки управляются одним менеджером. Затраты этого менеджера не больше, чем суммарные затраты менеджеров в любой иерархии.Лемма 5. Для однокомпонентных потоков (p=1) вогнутая функция затрат () субаддитивна.

Из леммы 5 и утверждения 2 следует, что вогнутость функции затрат влечет оптимальность двухуровневой иерархии, если все потоки технологической сети однотипны (то есть вектор потока содержит одну компоненту).

В случае потоков разного типа это утверждение неверно.

Ниже для вогнутой функции затрат приведен пример оптимальной иерархии, в которой для потока каждого типа выделяется отдельный менеджер, что сокращает затраты за счет специализации менеджеров (см. пример 3 на странице 36).

В разделе 3.3 свойство субаддитивности обобщено на класс произвольных секционных функций, для которых удается определить условия оптимальности иерархии двух противоположных видов: двухуровневой иерархия с одним менеджером и 2-иерархии с максимальным количеством менеджеров.

С.П. Мишин, В небольших организациях весьма распространены двухуровневые иерархии (так называемые «простые структуры», Mintzberg (1979)). При росте организации единственный менеджер чрезмерно загружен, что вынуждает его принимать на работу «помощников» – переходить к многоуровневой иерархии. Модель позволяет описать этот эффект: в разделе 1.11 для выпуклой функции затрат найден вид оптимальной иерархии, управляющей симметричной производственной линией, и доказано, что в достаточно большой организации оптимальная иерархия будет многоуровневой.

1.9. Примеры Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих базовую модель оптимальной иерархии.

Пример 1. Снижение затрат при множественном подчинении для несимметричной линии. Пусть в несимметричной производственной линии имеется 4 исполнителя и потоки f(wenv,w1)=3, f(w1,w2)=1, f(w2,w3)=5, f(w3,w4)=1, f(w4,wenv)=3. Рассмотрим следующую функцию затрат менеджера: (x) = x3 (x – величина потока менеджера). Оптимальная иерархия для этого примера изображена на рисунке 7. Обозначим ее через H. У менеджера mдва непосредственных начальника, то есть в оптимальной иерархии имеет место множественное подчинение.

mm2 mmw1 5 w4 3 1 w2 w3 Рисунок 7. Пример оптимальной иерархии, управляющей несимметричной производственной линией Оптимальные иерархии управления в экономических системах Определим потоки каждого менеджера:

int ext m1: c({w2},{w3})=[FH (m1) + (FH (m1))] = [5 + (1+1)]3 = 343 ;

int ext m2: c({w1},{w2,w3})=[FH (m2 ) + (FH (m2 ))] = [1+ (3 +1)]3 = 125;

int ext m3: c({w4},{w2,w3})=[FH (m3) + (FH (m3))] = [1+ (1+ 3)]3 = 125;

int ext m4: ({w1,w2,w3},{w2,w3,w4})=[FH (m4 ) + (FH (m4 ))]=[0 + (3 + 3)]3 = 216.

Таким образом, затраты всей иерархии составят:

с(H)= c({w2},{w3})+ c({w1},{w2,w3})+ c({w4},{w2,w3})+ +c({w1,w2,w3},{w2,w3,w4})=343+125+125+216=809.

Убедимся, что найденные затраты являются минимально возможными. Пусть H* – оптимальная иерархия, удовлетворяющая условиям (i)-(iii) утверждения 1. В H* должен быть хотя бы один менеджер m нижнего уровня, которому не подчинены другие менеджеры.

Если m управляет тремя или более исполнителями, то величина потока m не менее 10. Таким образом, затраты m не менее 1000, что больше, чем c(H)=809. Следовательно, m управляет ровно двумя исполнителями.

Если m управляет двумя исполнителями, идущими в произint водственной линии не подряд (например, w1 и w3), то FH (m) = 0, * то есть m не управляет ни одним внутренним потоком, а лишь участвует в управлении внешними. Тогда можно удалить менеджера m, подчинив исполнителей из sH (m) непосредственным на* чальникам m, причем их затраты не изменятся, что противоречит оптимальности H*. Таким образом, менеджеру m могут быть подчинены только два исполнителя, идущие в линии подряд.

Если менеджеру m подчинены исполнители w1 и w2 (или w3 и w4), то его затраты составляют 93=729. Кроме того, высший менеджер по крайней мере участвует в управлении внешними потоками, следовательно его затраты не менее 63=216. То есть в этом случае с(H*)>729+216=945, что противоречит оптимальности H*. Таким образом, в H* имеется ровно один менеджер m нижнего уровня.

Менеджер m управляет исполнителями w2 и w3, то есть наибольшим потоком f(w2,w3)=5.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.