WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |

Сгруппируем первое слагаемое справа с первым слева, а второе справа – со вторым слева:

(l1 +1)(n -1)( + c ) + l1((n ) + c ) 0 (n - n1 -1)[(l -1)( + c0 ) + ((l) + c0 )].

В силу c(H ) c(H ) можно записать:

functional divisional n(l -1)( + c0 ) + (n -1)((l) + c0 ) l(n -1)( + c0 ) + + (l -1)((n ) + c0 ).

Если в первом слагаемом слева вместо n подставить n–1, то условие останется выполненным. Отсюда можно получить верхнюю оценку выражения, приведенного в квадратной скобке в правой части неравенства. Оценка имеет следующий вид:

[(l -1)( + c0 ) + ((l) + c0 )] (l(n -1)( + c ) + (l -1)((n ) + c0 )) /(n -1).

Подставим эту оценку в неравенство:

С.П. Мишин, (l1 +1)(n -1)( + c ) + l1((n ) + c0 ) (n - n1 -1)[l(n -1)( + c0 ) + (l -1)((n ) + c )]/(n -1).

Сгруппируем слагаемые:

( + c0 )[(l1 +1)(n -1) - l(n - n1 -1)] ((n ) + c0 )[(n - n1 -1)(l -1) /(n -1) - l1].

Мы рассматриваем случай (n - n1 -1) /(n -1) < l1 /(l -1). Поэтому правая часть отрицательна. Кроме того, имеем l1(n -1) > (n - n1 -1)(l -1). Прибавим n–1 к обеим частям, получим (l1 +1)(n -1) > (n - n1 -1)l - n + n1 +1+ n -1 = (n - n1 -1)l + n1. То есть левая часть неравенства неотрицательна. Таким образом, и в случае (n - n1 -1) /(n -1) < l1 /(l -1) выполнено c(H ) c(H ).

functional Итак, во всех случаях затраты H не меньше затрат дивизиональной, функциональной или матричной иерархии. Таким образом c(H ) min(c(H ),c(H ),c(Hmatrix)). То есть дивизиоdivisional functional нальная, функциональная или матричная иерархия оптимальна.

Доказательство леммы 6. Рассмотрим следующую функцию () = [(n - n) /(n -1)]1/. В силу > 1 и n 2 выполнено () > 0. Прологарифмируем, а затем продифференцируем обе части по :

ln () = ln(n - n) - ln(n -1), () / () = (n ln n) /(n - n).

В силу > 1 выполнено () > 0, то есть () монотонно возрастает по.

Для того, чтобы доказать монотонное возрастание величины [(n - n) /(n -1)]1/ по n достаточно доказать монотонное возрастание функции (n) = (n - n) /(n -1). Продифференцируем по n:

(n) = [(n -1 -1)(n -1) - (n - n)]/(n -1)2.

Для того, чтобы доказать монотонное возрастание (n) по n доста точно доказать, что (n) > 0. Осталось доказать, что выражение в квадратных скобках положительно:

Оптимальные иерархии управления в экономических системах ( -1)n - (n -1 -1) > 0.

Левая часть неравенства возрастает по n, поскольку положительна ее производная ( -1)n -2 (n -1) > 0. При n=1 левая часть равна нулю. Поэтому при n 2 неравенство выполнено.

Доказательство утверждения 6. В силу утверждения 1 найдется оптимальная иерархия H = (N M, E) (N), удовлетворяющая условиям (i)-(iii) (см. страницу 28).

Если у всех сотрудников H, кроме высшего менеджера, ровно один непосредственный начальник, то H – искомое оптимальное дерево (см. определение 2 на странице 20). В противном случае найдется сотрудник v N M, у которого два или более непосредственных начальника. Если таких сотрудников несколько, то в качестве v рассмотрим сотрудника, который имеет наивысший уровень. То есть все начальники v, кроме высшего менеджера, имеют ровно одного непосредственного начальника.

Обозначим двух непосредственных начальников v через v1 и u1 (если таких начальников больше, чем два, то выберем любую пару). В силу условия (ii) утверждения 1 сотрудники v1 и u1 подчинены высшему менеджеру m. То есть существует путь из v1 в m и путь из u1 в m.70 Следовательно, из v существуют два различных пути в m. Эти пути выходят из v в две разные вершины и затем сходятся в одной из вершин (в m или в одном из подчиненных m).

Обозначим участки путей до первого пересечения через v – v1 –…– vn и v – u1 –…– un. У этих участков общее начало v, общий 1 конец vn = un и различные промежуточные вершины. В силу 1 выбора v у каждого из менеджеров v1,…, vn -1 ровно один непосредственный начальник – следующая вершина пути. То же верно и для менеджеров u1,…, un -1. Соответствующий фрагмент иерархии изображен на рисунке 45.

Начальная иерархия H удовлетворяет условиям (i)-(iii) утверждения 1. Ниже описано перестроение, не увеличивающее затраты Один из этих путей может состоять из одной вершины (в случае v =m или u =m).

С.П. Мишин, иерархии. При этом иерархию, получающуюся после каждого перестроения, также будем обозначать через H. Перестроенные иерархии будут удовлетворять условию (ii) утверждения 1. То есть в них все сотрудники будут подчинены высшему менеджеру m.

Поэтому пути, выходящие из v, будут пересекаться, и фрагмент иерархии будет выглядеть так, как показано на рисунке 45.

На каждом шаге возможен один из двух вариантов перестроения иерархии H (рисунок 45 поясняет эти варианты).

a) Пусть выполнено sH(v)=sH(v1), то есть сотрудники v и vуправляют одной и той же группой71. Удалим менеджера v1. Если v не был подчинен менеджеру v2, то подчиним ему сотрудника v вместо v1. При этом не изменятся группы, подчиненные всем менеджерам, оставшимся в иерархии. То есть могли измениться лишь затраты менеджера v2. Затраты v2 не возросли, поскольку функция монотонна по группам. Следовательно, полученная иерархия оптимальна.

vn = un 1 vn -1 un -1 vn -2 un -1 v2 uuvv Рисунок 45. Перестроение в случае монотонной по группам функции После удаления v1 некоторые сотрудники могут остаться без начальников. Такие сотрудники не могут быть исполнителями, так как после удаления высший менеджер иерархии управляет всеми В некоторых случаях перестроенные иерархии могут не удовлетворять условию (i) утверждения 1. То есть равенство s (v)=s (v ) может быть выполнено.

H H Оптимальные иерархии управления в экономических системах исполнителями. То есть после удаления v1 могут появиться менеджеры без начальников, отличные от высшего менеджера. Такие менеджеры могут быть удалены, при этом граф останется оптимальной иерархией. После удаления могут появиться новые менеджеры без начальников, отличные от высшего менеджера, которых также можно удалить. Продолжим подобные действия. В силу конечности множества менеджеров придем в итоге к оптимальной иерархии, в которой только высший менеджер не имеет начальников. То есть выполнено условие (ii) утверждения 1.

b) Выполнено sH(v) sH(v1). То есть v1 управляет более широкой группой, чем v: sH(v) sH(v1). Следовательно, кроме v у v1 имеется по крайней мере еще один непосредственный подчиненный.

Удалим ребро (v,v1). При этом у менеджера v1 все еще останутся подчиненные. Группа s1=sH(v1), которой управлял менеджер v1, изменится на новую группу s1, поскольку менеджер v1 теперь уже может не управлять некоторыми исполнителями из группы sH(v).

Однако v1 продолжит управлять теми исполнителями группы s1, которые не входят в sH(v). То есть выполнено s1 s1, (s1 \ s1) sH (v). Из v1 выходит только одно ребро (v1,v2). Изменение группы s1=sH(v1) на s1 может привести к изменению группы s2=sH(v2), которой управляет менеджер v2. Обозначим измененную группу через s2. Как указано выше, из s1 могли быть исключены только исполнители группы sH(v). Поэтому только эти исполнители могут быть исключены и из s2. То есть выполнено s2 s2, (s2 \ s2 ) sH (v). Аналогично, для всех i = 3, n1 -1 группа si=sH(vi), подчиненная менеджеру vi, изменится на группу si. Причем вы полнено si si, (si \ si ) sH (v).

Рассмотрим группу sH (vn ). Она равна объединению групп, которыми управляют все непосредственные подчиненные менеджера vn (см. лемму 1 на странице 20). Среди этих групп в результате удаления ребра (v,v1) поменяется только группа sn -1, которой С.П. Мишин, управляет менеджер vn -1.72 Причем в силу (sn -1 \ sn -1 ) sH (v) из 1 1 этой группы могут быть исключены лишь исполнители, принадлежащие sH(v). Однако эти исполнители входят в группу sH (un -1).

Поэтому группа sH (vn ) не изменится. Следовательно, не изменятся и группы, которыми управляют начальники менеджера vn.

Таким образом, удаление ребра (v,v1) могло повлиять только на группы sH (v1),...,sH (vn -1). То есть высший менеджер попрежнему управляет всеми исполнителями, у каждого менеджера имеются подчиненные, граф остался ацикличным (удаление ребра не могло привести к циклам). Следовательно, полученный граф удовлетворяет всем условиям определения 1, то есть представляет собой иерархию.

Кроме того, у каждого сотрудника, кроме высшего менеджера, имеется хотя бы один непосредственный начальник. Поэтому в силу ацикличности все сотрудники подчинены высшему менеджеру. То есть выполнено условие (ii) утверждения 1.

Число непосредственных подчиненных менеджера v1 уменьшилось на единицу. Число непосредственных подчиненных менеджеров v2,,vn осталось прежним, однако могла сократиться группа, которой управляет один из непосредственных подчиненных. Затраты менеджеров v1,, vn не возросли, поскольку функция затрат монотонна по группам. Следовательно, не возросли затраты всей иерархии. То есть полученная иерархия оптимальна.

Как в случае a), так и в случае b) получена оптимальная иерархия, удовлетворяющая условию (ii) утверждения 1. Это позволяет повторять перестроение a) или b), пока в полученной иерархии имеется сотрудник с двумя или более непосредственными начальниками. При каждом перестроении число ребер иерархии сокращается как минимум на единицу. В силу конечности множества ребер перестроения закончатся через конечное число шагов.

Среди непосредственных подчиненных менеджера только управляет vn vn -1 менеджерами, поскольку у каждого из них ровно один непосредственv1,vn -ный начальник.

Оптимальные иерархии управления в экономических системах В полученной оптимальной иерархии H1 высший менеджер не будет иметь начальников, остальные сотрудники будут иметь ровно по одному непосредственному начальнику. То есть H1 – оптимальное дерево. В силу утверждения 1 можно найти дерево H*, удовлетворяющее условиям (i)-(iii) (см. страницу 28). Причем затраты H* не будут превышать затрат дерева H1.

То есть H* – оптимальное дерево, удовлетворяющее условиям (i)-(iii).

Доказательство утверждения 7. Рассмотрим некоторую оптимальную иерархию H (N). Обозначим максимальное число непосредственных подчиненных одного менеджера через k. Если k=2, то H – искомая 2-иерархия. Если k>2, то рассмотрим некоторого менеджера m, который имеет k непосредственных подчиненных v1,…,vk. Обозначим управляемые ими группы через s1=sH(v1),…,sk=sH(vk). Поскольку функция затрат сужающая, найдется некоторое количество сотрудников 1 < j < k и некоторая перестановка (i1,…,ik), для которых выполнено неравенство (35).

Перестроим иерархию H. Наймем нового менеджера m1. Сотрудников vi,, vi непосредственно подчиним менеджеру m1 вместо 1 j менеджера m. Самого менеджера m1 непосредственно подчиним менеджеру m (см. пример на рисунке 29). В силу неравенства (35) затраты не возрастут, то есть полученная иерархия оптимальна. В результате менеджер m1 имеет j

Менеджер m имеет k - j +1 < k непосредственных подчиненных.

Таким образом, в новой иерархии число менеджеров с k непосредственными подчиненными уменьшилось на единицу. Продолжая аналогичные перестроения, придем к оптимальной иерархии, в которой максимальное число непосредственных подчиненных одного менеджера равно k'< k. Если k'> 2, то можно снова проделать аналогичные действия.

В итоге придем к оптимальной 2-иерахии H1. В силу утверждения 1 можно найти 2-иерархию H*, удовлетворяющую условиям (i)-(iii) (см. страницу 28). Причем затраты H* не будут превышать затрат иерархии H1. То есть H* – оптимальная 2-иерархия, удовлетворяющая условиям (i)-(iii).

С.П. Мишин, Доказательство следствия (из утверждений 6 и 7). По утверждению 6 для монотонной по группам функции затрат найдется оптимальное дерево. В доказательстве утверждения 7 в качестве начальной иерархии H можно рассмотреть это дерево. По лемме (страница 21) в дереве не пересекаются группы, управляемые непосредственными подчиненными одного менеджера. Поэтому среди групп s1,…,sk в доказательстве утверждения 7 нет пересекающихся. То есть для перестроения достаточно, чтобы функция затрат была сужающей на непересекающихся группах. После перестроения, описанного в доказательстве утверждения 7, также получим дерево (добавленный менеджер и все остальные сотрудники, кроме высшего менеджера, имеют ровно одного непосредственного начальника). В итоге перестроения придем к оптимальному 2дереву. Аналогично доказательству утверждения 7 можно найти оптимальное 2-дерево, удовлетворяющее условиям (i)-(iii) утверждения 1.

Доказательство утверждения 8. Рассмотрим оптимальную иерархию H (N), удовлетворяющую условиям (i)-(iii) утверждения 1 (см. страницу 28). Согласно условию (ii) в ней имеется высший менеджер m, которому подчинены все остальные сотрудники.

Если m – единственный менеджер, то H – оптимальная двухуровневая иерархия. В противном случае среди непосредственных подчиненных менеджера m имеется некоторый менеджер m1. Обозначим непосредственных подчиненных менеджера m1 через v1,…,vj. Группы, которыми управляют эти сотрудники, обозначим через s1=sH(v1),…,sj=sH(vj). Поскольку иерархия удовлетворяет условию (i) утверждения 1, у каждого менеджера не менее двух непосредственно подчиненных сотрудников. То есть j >1 и у менеджера m, кроме m1, имеются другие непосредственные подчиненные.

Обозначим их через vj+1,…,vk, k 3. Группы, которыми управляют эти сотрудники, обозначим через sj+1=sH(vj+1),…,sk=sH(vk).

Предположим, что у менеджера m1 кроме m имеется еще один непосредственный начальник m'. То есть имеется два пути из m1 в m: первый путь идет непосредственно из m1 в m, второй идет через менеджера m'. Помимо m1 второй путь проходит через одного из Оптимальные иерархии управления в экономических системах непосредственных подчиненных менеджера m, а именно через одного из сотрудников vj+1,…,vk. Таким образом, этот сотрудник управляет менеджером m1. Это противоречит условию (iii) утверждения 1, согласно которому ни один непосредственный подчиненный менеджера не управляет другим. Поэтому, у менеджера mимеется только один начальник – высший менеджер m.

Согласно условию (iii) утверждения 1 среди сотрудников v1,…,vj не может быть непосредственных подчиненных менеджера m, поскольку иначе один непосредственный подчиненный (менеджер m1) управлял бы другим. Поэтому среди vj+1,…,vk и v1,…,vj нет одних и тех же сотрудников. Следовательно, верхняя часть иерархии выглядит так, как показано на рисунке 29b).

Поскольку функция затрат расширяющая, для любого набора групп s1,…,sk, k 3, любого 1 < j < k и любой перестановки (i1,…,ik) выполнено неравенство (36). При (i1,…,ik)=(1,…,k) из неравенства (36) следует:

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.