WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 23 |

Так как r* – минимум функции () по всем целым r 1, то * (r +1) (r*). Следовательно c(H ) (n -1) (r*). То есть затраты оптимальной иерархии не меньше (*).

Итак, при любом n затраты оптимальной иерархии не меньше (*), что и доказывает утверждение.

Доказательство утверждения 5. Рассмотрим оптимальную иерархию H = (N M, E) (N), управляющую функционально связанными производственными линиями. В соответствии с разделом 2.6 (см. функцию затрат (26) на странице 76) в H любой продуктовый поток управляется дивизиональным менеджером или стратегическим менеджером, управляющим взаимодействием С.П. Мишин, департаментов. Любой функциональный поток управляется функциональным менеджером или стратегическим менеджером, управляющим взаимодействием дивизионов.

Предположим, что хотя бы в одной производственной линии Ni продуктовый поток f(wi,j,wi,j+1) не управляется дивизиональным менеджером. Тогда этот поток должен управляться стратегическим менеджером, управляющим взаимодействием департаментов j и j+1. То есть в H должны быть сформированы департаменты j и j+1, и некоторый стратегический менеджер должен управлять всеми продуктовыми потоками между ними. Обозначим все такие индексы j через j1,j2,…, jn. Здесь n1 – количество индексов j, для которых хотя бы в одной производственной линии Ni поток f(wi,j,wi,j+1) не управляется дивизиональным менеджером, 0 n1 n -1. При n1=0 все потоки управляются дивизиональными менеджерами. При n1=n–1 для всех 1 j n -1 поток f(wi,j,wi,j+1) не управляется дивизиональным менеджером хотя бы в одной производственной линии Ni. Иерархия H должна содержать следующих менеджеров:

1. Рассмотрим случай n1>0. Если индексы j1,j2,…, jn идут подряд, то в H должен быть сформирован как минимум n1+1 департамент. Если индексы идут не подряд, то количество необходимых департаментов должно быть еще больше (вплоть до 2n1). Таким образом, необходимо сформировать не менее n1+1 департаментов.

Каждый департамент управляет функциональной линией из l исполнителей с интенсивностью потоков. С учетом формулы (21) затраты функциональных менеджеров не меньше следующей величины:

x1 = (n1 +1)(l -1)( + c0 )(r* +1) /(r* -1).

Если n1=0, то оценка затрат x1 ниже использоваться не будет.

2. Если n1>0, то согласно пункту 1 в иерархии H имеется n1+департамент. Если индексы j1,j2,…, jn идут подряд, то начальники этих департаментов связаны линией продуктовых потоков интенсивности l. Этими потоками (то есть взаимодействием департаментов) должны управлять стратегические менеджеры. С учетом Оптимальные иерархии управления в экономических системах формулы (25) минимальные затраты стратегических менеджеров, управляющих взаимодействием департаментов, равны:

x2 = n1 ((l) + c )(r* +1) /(r* -1).

Если индексы j1,j2,…, jn идут не подряд, то их можно разбить на наборы индексов, идущих подряд. Обозначим через k1,…,kt количество индексов в каждом наборе, k1+…+kt=n1. Первому набору соответствует k1+1 департамент, следовательно в формуле затрат xвеличина n1 изменится на k1. Для второго набора n1 изменится на k2, и так далее. Сложив затраты всех наборов, получим величину x2.

Таким образом, x2 – минимальная величина затрат стратегических менеджеров, управляющих взаимодействием департаментов.

Если n1=0, то x2=0 – также минимальная величина затрат.

3. При n1

С учетом формулы (19) затраты дивизиональных менеджеров не меньше следующей величины:

x3 = l(n - n1 -1)( + c0 )(r* +1) /(r* -1).

Если вышеуказанные потоки идут не подряд, то их можно разбить на наборы потоков, идущих подряд. Обозначим через k1,…,kt количество потоков в каждом наборе, k1+…+kt= n–1–n1. Первому набору соответствует участок производственной линии из k1+1 исполнителя, следовательно в формуле затрат x3 величина n–n1 –1 изменится на k1. Для второго набора n–n1 –1 изменится на k2, и так далее.

Сложив затраты всех наборов, получим величину x3. Таким образом, x3 – минимальная величина затрат дивизиональных менеджеров. Если n1=n–1, то x3=0 – также минимальная величина затрат.

Аналогичные рассуждения можно проделать и для функциональных потоков. Повторим их кратко. Предположим, что хотя бы в одной функциональной линии N j функциональный поток С.П. Мишин, f(wi,j,wi+1,j) не управляется функциональным менеджером. Тогда этот поток должен управляться стратегическим менеджером, управляющим взаимодействием дивизионов i и i+1. То есть в H должны быть сформированы дивизионы i и i+1, и некоторый стратегический менеджер должен управлять всеми функциональными потоками между ними. Обозначим l1 – количество индексов i, для которых хотя бы в одной функциональной линии N j поток f(wi,j,wi+1,j) не управляется функциональным менеджером, 0 l1 l -1. Тогда иерархия H должна содержать следующих менеджеров:

1. Рассмотрим случай l1>0. В H должен быть сформирован как минимум l1+1 дивизион. Каждый дивизион управляет производственной линией из n исполнителей с интенсивностью потоков. С учетом формулы (19) затраты дивизиональных менеджеров не меньше следующей величины:

y1 = (l1 +1)(n -1)( + c )(r* +1) /(r* -1).

Если l1=0, то оценка затрат y1 ниже использоваться не будет.

2. Если l1>0, то согласно пункту 1 в иерархии H имеется l1+дивизион. Начальники дивизионов связаны линией функциональных потоков интенсивности n. С учетом формулы (23) затраты стратегических менеджеров, управляющих взаимодействием дивизионов, не меньше следующей величины:

y2 = l1((n ) + c )(r* +1) /(r* -1).

Если l1=0, то y2=0 – также минимальная величина затрат.

3. При l1

С учетом формулы (21) затраты функциональных менеджеров не меньше следующей величины:

y3 = n(l - l1 -1)( + c0 )(r* +1) /(r* -1).

Оптимальные иерархии управления в экономических системах Если вышеуказанные потоки идут не подряд, то рассуждения аналогичны рассуждениям для величины x3. Если l1=l–1, то y3=0 – также минимальная величина затрат.

Таким образом, суммарные затраты стратегических менеджеров иерархии H не меньше x2+y2. Также получены две нижние оценки x1 и y3 затрат функциональных менеджеров и две нижние оценки y1 и x3 затрат дивизиональных менеджеров. Следовательно, можно записать:

c(H ) x2 + x3 + y2 + y3 и c(H ) x1 + x2 + y1 + y2. (*) Оценкой c(H ) x1 + x2 + y1 + y2 можно пользоваться только в случае n1>0 и l1>0. Для доказательства утверждения достаточно показать, что в одном из выражений (*) правая часть не меньше затрат дивизиональной, функциональной или матричной иерархии.

В соответствии с формулами (27), (28), (29) выпишем затраты этих иерархий:

c(H ) = [l(n -1)( + c ) + (l -1)((n ) + c0 )](r* +1) /(r* -1), divisional c(H ) = [n(l -1)( + c ) + (n -1)((l) + c )](r* +1) /(r* -1), functional 0 c(H ) = [l(n -1)( + c0 ) + n(l -1)( + c0 )](r* +1) /(r* -1).

matrix Ниже при доказательстве неравенств не будем записывать множитель (r* +1) /(r* -1), поскольку он входит во все выражения и не влияет на выполнение неравенств. По очереди рассмотрим случаи, при которых минимальны затраты матричной, дивизиональной и функциональной иерархии. В силу (*) используем оценку c(H ) x2 + x3 + y2 + y3.

1. Предположим, что выполнено c(H ) c(Hdivisional) и matrix c(H ) c(H ). То есть выполнены следующие неравенства matrix functional ((n ) + c ) n( + c ) и ((l) + c0 ) l( + c0 ). Тогда выпи0 шем неравенство x2 + x3 + y2 + y3 c(H ) :

matrix n1((l) + c0 ) + l(n - n1 -1)( + c ) + l1 ((n ) + c ) + 0 + n(l - l1 -1)( + c0 ) l(n -1)( + c0 ) + n(l -1)( + c0 ).

Для доказательства неравенства достаточно подставить в левую часть ((n ) + c ) n( + c ) и ((l) + c0 ) l( + c0 ).

0 С.П. Мишин, 2. Предположим, что выполнено c(H ) c(Hdivisional) и matrix c(H ) c(H ). То есть выполнены следующие неравенства matrix functional ((n ) + c ) n( + c ) и l( + c0 ) ((l) + c0 ). Тогда выпи0 шем неравенство x2 + x3 + y2 + y3 c(H ) :

functional n1((l) + c0 ) + l(n - n1 -1)( + c ) + l1((n ) + c ) + 0 + n(l - l1 -1)( + c0 ) n(l -1)( + c0 ) + (n -1)((l) + c0 ).

Для доказательства неравенства достаточно подставить в левую часть ((n ) + c ) n( + c ) и l( + c0 ) ((l) + c0 ).

0 3. Предположим, что выполнено c(H ) c(Hdivisional) и matrix c(H ) c(H ). То есть выполнены следующие неравенства matrix functional n( + c0 ) ((n ) + c ) и ((l) + c ) l( + c0 ). Тогда выпи0 шем неравенство x2 + x3 + y2 + y3 c(Hdivisional) :

n1((l) + c0 ) + l(n - n1 -1)( + c0 ) + l1((n ) + c0 ) + + n(l - l1 -1)( + c0 ) l(n -1)( + c ) + (l -1)((n ) + c0 ).

Для доказательства неравенства достаточно подставить в левую часть n( + c0 ) ((n ) + c ) и ((l) + c ) l( + c0 ).

0 Осталось рассмотреть случай c(H ) > c(H ) и matrix divisional c(H ) > c(H ). То есть ниже считаем выполненными слеmatrix functional дующие неравенства:

n( + c0 ) > ((n ) + c0 ), l( + c0 ) > ((l) + c ). (**) 1. Рассмотрим случай c(H ) c(H ).

divisional functional a) В силу (*) имеем c(H ) x2 + x3 + y2 + y3. Выпишем неравенство x2 + x3 + y2 + y3 c(Hdivisional) подробно:

n1((l) + c0 ) + l(n - n1 -1)( + c ) + l1((n ) + c ) + 0 + n(l - l1 -1)( + c0 ) l(n -1)( + c ) + (l -1)((n ) + c ).

0 Сгруппируем первое слагаемое справа со вторым слева, а второе справа – с третьим слева:

Оптимальные иерархии управления в экономических системах n1((l) + c0 ) + n(l - l1 -1)( + c0 ) l( + c )n1 + (l - l1 -1)((n) + c ).

0 Сгруппируем первое слагаемое справа с первым слева, а второе слева – со вторым справа, получим следующее неравенство:

(l - l1 -1)[n( + c ) - ((n ) + c0 )] n1[l( + c0 ) - ((l) + c )].

0 В силу c(H ) c(H ) можно записать:

divisional functional l(n -1)( + c ) + (l -1)((n ) + c0 ) n(l -1)( + c0 ) + + (n -1)((l) + c ).

Отсюда можно получить нижнюю оценку выражения, приведенного в квадратной скобке в левой части неравенства. Оценка имеет следующий вид (n -1)[l( + c0 ) - ((l) + c )]/(l -1). Подставим эту оценку в неравенство вместо квадратной скобки слева:

(l - l1 -1)(n -1) (l -1)n1.

Выражение в квадратных скобках сократилось в силу его неотрицательности (см. (**)). То есть при (l - l1 -1) /(l -1) n1 /(n -1) выполнено c(H ) c(Hdivisional).

b) Рассмотрим случай (l - l1 -1) /(l -1) < n1 /(n -1). Если n1=или l1=0, то это условие неверно, поскольку l1 l -1 и n1 n -1.

Поэтому в рассматриваемом случае n1>0 и l1>0, то есть в силу (*) можно использовать оценку c(H ) x1 + x2 + y1 + y2.

Выпишем неравенство x1 + x2 + y1 + y2 c(H ) подробно:

divisional (n1 +1)(l -1)( + c ) + n1 ((l) + c0 ) + (l1 +1)(n -1)( + c0 ) + + l1((n ) + c ) l(n -1)( + c ) + (l -1)((n ) + c0 ).

0 Сгруппируем первое слагаемое справа с третьим слева, а второе справа – с четвертым слева:

(n1 +1)(l -1)( + c0 ) + n1((l) + c0 ) (l - l1 -1)[(n -1)( + c0 ) + ((n ) + c0 )].

В силу c(H ) c(H ) можно записать:

divisional functional l(n -1)( + c ) + (l -1)((n ) + c0 ) n(l -1)( + c ) + 0 + (n -1)((l) + c ).

Если в первом слагаемом слева вместо l подставить l–1, то условие останется выполненным. Отсюда можно получить верхнюю оценку С.П. Мишин, выражения, приведенного в квадратной скобке в правой части неравенства. Оценка имеет следующий вид:

[(n -1)( + c ) + ((n ) + c )] 0 (n(l -1)( + c ) + (n -1)((l) + c )) /(l -1).

0 Подставим эту оценку в неравенство:

(n1 +1)(l -1)( + c0 ) + n1((l) + c0 ) (l - l1 -1)[n(l -1)( + c0 ) + (n -1)((l) + c0 )]/(l -1).

Сгруппируем слагаемые:

( + c0 )[(n1 +1)(l -1) - n(l - l1 -1)] ((l) + c )[(l - l1 -1)(n -1) /(l -1) - n1].

Мы рассматриваем случай (l - l1 -1) /(l -1) < n1 /(n -1). Поэтому правая часть отрицательна. Кроме того, имеем n1 (l -1) > (l - l1 -1)(n -1). Прибавим l–1 к обеим частям, получим (n1 +1)(l -1) > (l - l1 -1)n - l + l1 +1+ l -1 = (l - l1 -1)n + l1. То есть левая часть неравенства неотрицательна. Таким образом, и в случае (l - l1 -1) /(l -1) < n1 /(n -1) выполнено c(H ) c(Hdivisional).

2. Последний случай c(H ) c(H ) рассматриваетfunctional divisional ся аналогично.

a) В силу (*) имеем c(H ) x2 + x3 + y2 + y3. Выпишем неравенство x2 + x3 + y2 + y3 c(H ) подробно:

functional n1((l) + c0 ) + l(n - n1 -1)( + c ) + l1((n ) + c ) + 0 + n(l - l1 -1)( + c0 ) n(l -1)( + c0 ) + (n -1)((l) + c0 ).

Сгруппируем первое слагаемое справа с четвертым слева, а второе справа – с первым слева:

l(n - n1 -1)( + c0 ) + l1((n) + c0 ) n( + c0 )l1 + (n - n1 -1)((l) + c0 ).

Сгруппируем первое слагаемое справа со вторым слева, а первое слева – со вторым справа, получим следующее неравенство:

(n - n1 -1)[l( + c ) - ((l) + c0 )] l1[n( + c0 ) - ((n ) + c )].

0 В силу c(H ) c(H ) можно записать:

functional divisional Оптимальные иерархии управления в экономических системах n(l -1)( + c0 ) + (n -1)((l) + c0 ) l(n -1)( + c0 ) + + (l -1)((n ) + c0 ).

Отсюда можно получить нижнюю оценку выражения, приведенного в квадратной скобке в левой части неравенства. Оценка имеет следующий вид (l -1)[n( + c ) - ((n ) + c0 )]/(n -1). Подставим эту оценку в неравенство вместо квадратной скобки слева:

(n - n1 -1)(l -1) (n -1)l1.

Выражение в квадратных скобках сократилось в силу его неотрицательности (см. (**)). То есть при (n - n1 -1) /(n -1) l1 /(l -1) выполнено c(H ) c(H ).

functional b) Рассмотрим случай (n - n1 -1) /(n -1) < l1 /(l -1). Если l1=или n1=0, то это условие неверно, поскольку n1 n -1 и l1 l -1.

Поэтому в рассматриваемом случае n1>0 и l1>0, то есть в силу (*) можно использовать оценку c(H ) x1 + x2 + y1 + y2.

Выпишем неравенство x1 + x2 + y1 + y2 c(H ) подробно:

functional (n1 +1)(l -1)( + c ) + n1 ((l) + c0 ) + (l1 +1)(n -1)( + c0 ) + + l1((n ) + c ) n(l -1)( + c0 ) + (n -1)((l) + c0 ).

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.