WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 23 |

То есть нанять менеджера m3 и непосредственно подчинить ему менеджера m2 и сотрудника v, а менеджеру m непосредственно подчинить исполнителя w и менеджера m3. До перестроения затраты менеджера m равны с(s1,s2) (левая часть неравенства a) определения 11). После перестроения суммарные затраты менедже ров m3 и m равны c(s1 \ {w }, s2 ) + c((s1 \ {w }) s2,{w }) (правая часть неравенства a) определения 11). Затраты остальных менеджеров не изменились.

m m b) ma) m c) mm1 mm1 m2 m1 m v v v v v v w w w w w w Рисунок 33. Перестроение 2-иерархии при сильно сужающей функции Таким образом, условие a) определения 11 позволило без увеличения затрат непосредственно подчинить менеджеру m исполнителя w'. Аналогично, при выполнении условия b) определения 11 можно без увеличения затрат непосредственно подчинить менеджеру m исполнителя w (см. рисунок 33c)).

Напомним, что согласно условию (i) утверждения 1 все менеджеры иерархии управляют различными группами исполнителей. Поэтому сотрудник не может v управлять исполнителем, так как в противном случае он бы управлял той же w группой, что и m1. То есть. Аналогично.

sH (v ) = s1 \ {w } sH (v ) = s2 \ {w } С.П. Мишин, Утверждение 9. Для сильно сужающей функции затрат существует оптимальная последовательная иерархия.

Доказательство утверждения 9 основано на описанном выше перестроении оптимальной 2-иерархии (которая существует в силу утверждения 7) до тех пор, пока не придем к оптимальной последовательной иерархии.

Утверждение 9 позволяет, проверив для сужающей функции неравенство определения 11, свести задачу об оптимальной иерархии к поиску последовательной иерархии с минимальными затратами. Как указано выше, такая иерархия может быть найдена аналитически (см. примеры раздела 3.5) или с помощью алгоритмов.

Класс сильно сужающих функций значительно уже, чем класс сужающих функций. Однако, как показано ниже в разделе 3.5, некоторые функции, интересные с содержательной точки зрения, будут сильно сужающими.

секционные сужающие расширяющие сильно сужающие монотонные по группам Рисунок 34. Соотношение классов монотонных по группам, сужающих, сильно сужающих, расширяющих функций затрат По определению область сильно сужающих функций вложена в область сужающих функций. Примеры раздела 3.5 показывают, что найдется сужающая функция, которая не будет сильно сужающей. В предельных случаях функция может быть и сильно Оптимальные иерархии управления в экономических системах сужающей и расширяющей одновременно. Кроме того, сильно сужающая функция может как удовлетворять условию монотонности по группам, так и не удовлетворять.

Соотношение классов монотонных по группам, сужающих, сильно сужающих, расширяющих функций затрат изображено на рисунке 34.

В следующем разделе приведены примеры, которые иллюстрируют возможности применения теоретического аппарата разделов 3.2, 3.3 и 3.4 для поиска оптимальной иерархии.

3.5. Примеры функции затрат на управление взаимодействием в группе Будем считать, что для любого исполнителя w N задано некоторое число µ (w)>0 – сложность исполнителя. Сложность может соответствовать «объему работы», который выполняет этот исполнитель, его квалификации и т. п. Для произвольной группы исполнителей s N определим ее сложность как сумму сложностей входящих в нее исполнителей. Сложность группы µ(s) = µ(w) может соответствовать, например, суммарному ws «объему работы», который выполняют все исполнители группы.

Секционная функция затрат менеджера зависит только от «управленческих задач», которые решают непосредственные подчиненные. То есть затраты менеджера зависят только от групп s1,…,sk, которыми управляют непосредственные подчиненные (см.

раздел 3.1). Приведем несколько примеров секционной функции затрат менеджера, которая зависит только от сложностей групп:

c(s1,, sk ) = [µ(s1) + + µ(sk ) - max(µ(s1),, µ(sk ) )], (I) c(s1,,sk ) = [µ(s1) + + µ(sk ) ], (II) c(s1,, sk ) = [µ(s) / max(µ(s1),...,µ(sk ) ) -1], (III) c(s1,, sk ) = [ (µ(s) - µ(si ) )], (IV) i=1,k c(s1,, sk ) = µ(s) / min(µ(s1),...,µ(sk ) ), (V) С.П. Мишин, где s = s1 sk – группа, которой управляет менеджер, µ(s1),, µ(sk ),µ(s) – сложности соответствующих групп,, > – некоторые числовые параметры функции затрат.

Функции (I)-(V) затрат менеджера определяются сложностью («объемом работ») сотрудников «секции» (отдела, звена и т.п.), которая непосредственно подчинена менеджеру. Приведем возможные содержательные интерпретации функций (I)-(V).

В различных организациях механизмы управления непосредственными подчиненными (секцией) могут быть различны. То есть взаимодействие между менеджером и непосредственными подчиненными (внутри секции) может быть организовано различным образом. С помощью функций (I)-(V) мы попытаемся математически описать затраты менеджера на управление при различных способах взаимодействия непосредственных подчиненных внутри секции. В менеджменте рассматривается множество различных способов взаимодействия (см., например, Davies, Smith и Twigger (1991), Manz и Sims (1987), Peters (1987), Oldman и Hackman (1981), Jago и Vroom (1975)). Ниже мы попытаемся определить их математически.

Предположим, что среди непосредственных подчиненных менеджера (внутри секции) имеется «полулидер», который полностью справляется со своими обязанностями, не требуя от непосредственного начальника затрат на управление собой (см., например, Jago и Vroom (1975)). Этому случаю может соответствовать функция (I). В (I) затраты менеджера определяются сложностями групп, которые управляются всеми непосредственными подчиненными, кроме «полулидера». Под полулидером подразумевается подчиненный, который управляет наиболее сложной группой, то есть выполняет наибольший объем работы (имеет максимальную квалификацию).

Если среди непосредственных подчиненных менеджера отсутствует «лидер», то менеджер несет затраты на управление всеми непосредственными подчиненными. На затраты менеджера могут влиять сложности всех групп, которыми управляют непоОптимальные иерархии управления в экономических системах средственные подчиненные. Этому случаю соответствует, например, функция затрат (II).

Предположим, что среди непосредственных подчиненных менеджера (внутри секции) имеется «лидер», который помогает решить проблемы взаимодействия других непосредственных подчиненных (например, с помощью своего авторитета или опыта). За счет этого снижаются затраты непосредственного начальника (см., например, Jago и Vroom (1975)). Этому случаю может соответствовать функция затрат (III). В (III) затраты определяются сложностью всей группы, которой управляет менеджер, и сложностью той группы, которой управляет подчиненный менеджеру «лидер».

Лидер управляет наиболее сложной группой (выполняет наибольший объем работы, имеет максимальную квалификацию и т.п.).

Чем больше эта сложность, тем выше значение «лидера» среди остальных непосредственных подчиненных, тем более «лидер» снижает затраты непосредственного начальника. Таким образом, в функции (III) сложность группы, которой управляет менеджер, делится на сложность группы, которой управляет непосредственно подчиненный менеджеру «лидер».

Функция (IV) может описывать затраты в процессе индивидуальной работы менеджера с непосредственными подчиненными.

Затраты определяются разностями между сложностью группы, которой управляет менеджер, и сложностями групп, которыми управляют непосредственные подчиненные. Например, менеджер m, которому подчинена группа sH(m), в процессе управления непосредственным подчиненным m1 передает ему информацию о той части группы sH(m), которой m1 не управляет. Объем этой информации определяется разностью сложностей µ (sH(m)) и µ (sH(m1)).

Сумма объемов информации по всем непосредственным подчиненным и определяет затраты менеджера.

Предположим, что среди непосредственных подчиненных менеджера (внутри секции) имеется сотрудник, который управляет группой с малой сложностью. Этот сотрудник может иметь низкую квалификацию. Остальные подчиненные управляют более сложными группами, соответственно их квалификация более высока.

Малоквалифицированный непосредственный подчиненный может С.П. Мишин, значительно увеличивать затраты менеджера. На управление этим подчиненным может требоваться слишком много усилий, которые отвлекают менеджера от решения более сложных вопросов (то есть вопросов, которые и должен решать этот менеджер). Этому случаю может соответствовать функция затрат (V). В (V) затраты менеджера определяются сложностью всей группы, которой он управляет, и сложностью группы, которой управляет наименее квалифицированный непосредственный подчиненный. Чем ниже минимальная квалификация непосредственного подчиненного, тем выше затраты непосредственного начальника. Таким образом, в функции (V) сложность группы, которая подчинена менеджеру, делится на сложность группы, управляемой наименее квалифицированным непосредственным подчиненным.

Итак, функции (I)-(V) могут соответствовать затратам менеджеров реальных организаций. Решим для этих функций задачу об оптимальной иерархии. Для функций (I)-(IV) воспользуемся теоретическим аппаратом, который был изложен выше в разделах 3.2, 3.3 и 3.4. Для функции (V) применим метод непрерывной аппроксимации (см. раздел 3.6).

Очевидно, что функции (I) и (II) монотонны по группам, функции (III), (IV) и (V) не являются монотонными по группам.

Проверим свойства сужения, расширения и сильного сужения для этих функций. При проверке будут использованы следующие неравенства:

(x1 +...+ xk ) x1 +...+ xk для любых x1 0,, xk 0 при 1, (37) (x1 +...+ xk ) x1 +...+ xk для любых x1 0,, xk 0 при 1. (38) Неравенства (37) и (38) представляют собой частный случай неравенства Минковского (см., например, Hardy, Littlewood и Polya (1934)).

Утверждение 10. Функция (I) при 1 – расширяющая, при 1 – сужающая, а при 1 и 1 – сильно сужающая.

Доказательство утверждения 10 основано на проверке неравенств сужения и расширения (см. формулы (35) и (36) в разделе Оптимальные иерархии управления в экономических системах 3.3), неравенств сильного сужения (см. определение 11 в разделе 3.4).

Утверждение 10 позволяет найти оптимальную иерархию для функции (I). При 1 оптимальна двухуровневая иерархия (см.

утверждение 8). При 1 оптимально 2-дерево, имеющее минимальные затраты (см. следствие к утверждению 7). Найти это дерево позволяют алгоритмы, созданные Ворониным и Мишиным (2001). При 1 и 1 оптимальна последовательная иерархия, имеющая минимальные затраты (см. утверждение 9). В работе Воронина и Мишина (2003) доказано, что минимальные затраты имеет последовательная иерархия, в которой на первом месте (см.

рисунок 32) расположен исполнитель с максимальной сложностью (порядок остальных исполнителей не имеет значения). Рисунок иллюстрирует результаты исследования функции (I).

Рисунок 35. Вид оптимальной иерархии для функции (I) Итак для функции затрат (I) утверждения 7, 8 и 9 позволили найти оптимальную иерархию аналитически, за исключением области параметров > 1 и < 1. В этой области задача значиС.П. Мишин, тельно упрощена (сведена к задаче поиска 2-дерева с минимальными затратами) и для ее решения созданы алгоритмы.

Линия = 1 разграничивает области расширения и сужения.

При = 1 функция (I) и расширяющая, и сужающая. То есть и двухуровневая иерархия с одним менеджером и некоторое 2-дерево с n–1 менеджером оптимальны. При росте оптимальным становится только 2-дерево, при снижении – только двухуровневая иерархия. Область = 1, 1 показывает, что функция затрат может быть также и расширяющей, и сильно сужающей одновременно.

Утверждение 11. Функция (II) при 1 – расширяющая, при > 1 и 1 – расширяющая на непересекающихся группах, при > 1 и < 1 – ни расширяющая, ни сужающая.

дерево Рисунок 36. Вид оптимальной иерархии для функции (II) Доказательство утверждения 11 основано на проверке неравенств сужения и расширения (см. формулы (35) и (36) в разделе 3.3).

Оптимальные иерархии управления в экономических системах Таким образом, для функции (II) можно сделать следующий вывод. При 1 и при > 1, 1 оптимальна двухуровневая иерархия (см. утверждение 8 и следствие). Рисунок 36 иллюстрирует этот результат.

Для функции затрат (II) утверждение 8 позволило найти оптимальную иерархию, за исключением области > 1 и < 1.

В области > 1 и < 1 по утверждению 11 функция (II) не является ни расширяющей, ни сужающей даже на непересекающихся наборах групп. То есть для этого случая утверждения 7 и не могут помочь в поиске оптимальной иерархии. Однако функция (II) монотонна по группам, поэтому оптимально дерево с минимальными затратами (см. утверждение 6). Осталось решить задачу о поиске такого дерева.

В разделе 3.6 приведен один из аналитических методов, позволяющих найти дерево с минимальными затратами для некоторых функций. Кроме того, решить задачу позволяют алгоритмы поиска дерева с минимальными затратами, построенные в работе Воронина и Мишина (2001, 2003) (подробнее см. раздел 3.2). Проиллюстрируем работу алгоритма на примере.

Рассмотрим семьдесят исполнителей (n=70) с равной сложностью (то есть с точки зрения затрат все исполнители одинаковы).

Применим алгоритм для функции (II) с параметрами = 0.5 и = 1.5. Оптимальная иерархия изображена на рисунке 37. В ней исполнители обозначены номерами.

В оптимальной иерархии исполнители w1,…,w40 по четыре подчиняются менеджерам второго уровня (образуют секции из четырех исполнителей). Исполнители w41,…,w70 по пять подчиняются менеджерам второго уровня. Всего на втором уровне имеется шестнадцать менеджеров. Далее над ними надстраивается 4-дерево (4 менеджера третьего уровня и один высший менеджер). При n = 43 = 64 оптимально 4-дерево. В рассмотренном случае шесть «лишних» исполнителей распределяются на нижнем уровне, сохраняя верхнюю часть дерева.

Если сложность исполнителей одинакова, то оптимальная иерархия во многих случаях имеет форму, близкую к r-дереву С.П. Мишин, (например, при n = 25, n = 125 и n = 625 оптимально 5-дерево61).

При приближении к единице функция «приближается» к расширяющей и двухуровневая иерархия становится оптимальной ( r = + ). При увеличении становится оптимальным 2-дерево ( r = 2 ). В рассматриваемом примере 2-дерево становится оптимальным при 3.

21 22 23 24 29 30 31 32 56 57 58 59 60 66 67 68 69 25 26 27 17 18 19 20 51 52 53 54 55 61 62 63 64 37 38 39 40 46 47 48 49 5 6 7 8 13 14 15 9 10 11 12 33 34 35 36 41 42 43 44 1 2 3 Рисунок 37. Пример оптимальной иерархии для функции (II) при = 0.5 и = 1.Перейдем к рассмотрению функции затрат (III).

Утверждение 12. Функция (III) при 1– сильно сужающая.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.