WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 23 |

Оптимальные иерархии управления в экономических системах a) b) Рисунок 30. Вид оптимальной иерархии для сужающей (a) и расширяющей (b) функции затрат Таким образом, свойства сужения и расширения приводят к предельным случаям – минимальной и максимальной норме управляемости. Большинство иерархий в реальных организациях лежат между этими двумя крайностями (Mintzberg (1979)). Однако, как показывают примеры раздела 3.5, для исследования многих функций свойства сужения и расширения весьма полезны, так как позволяют определить, при каких значениях параметров функция соответствует предельным случаям, а при каких описывает большинство реальных организаций.

Рассмотрим, как соотносится свойство расширения с базовой моделью (функцией затрат, зависящей от потоков, см. определение 5 на странице 25). Предположим, что функция () субаддитивна57.

Докажем, что выполнено неравенство (36), то есть функция затрат расширяющая. Неравенству (36) соответствует перестроение иерархии. Пусть H0 – иерархия до перестроения (см. рисунок 29b)), H1 – иерархия после перестроения (см. рисунок 29a)). Тогда выполнено:

int ext int ext (FH (m1) + FH (m1)) + (FH (m) + FH (m)) 0 0 0 int ext int ext int ext (FH (m1) + FH (m1) + FH (m) + FH (m)) (FH (m) + FH (m)).

0 0 0 0 1 Первое неравенство выполнено в силу субаддитивности, второе неравенство выполнено, поскольку функция () монотонна, внут57 p выполнено неравенство.

То есть для всех x, y R+ (x + y) (x) + ( y) С.П. Мишин, ренний поток менеджера m в иерархии H1 не превышает суммы внутренних потоков менеджеров m и m1 в иерархии Hint int int ( FH (m) FH (m) + FH (m1) ), внешний поток менеджера m не 1 0 ext ext меняется ( FH (m) = FH (m) ). То есть выполнено неравенство (36).

1 Итак, для функций, зависящих от потоков, условие субаддитивности функции () приводит к тому, что соответствующая секционная функция c() будет расширяющей. В силу утверждения 2 (страница 31) для субаддитивной функции () двухуровневая иерархия оптимальна. Утверждение 8 показывает, что для произвольной расширяющей функции затрат двухуровневая иерархия также оптимальна. Итак, свойство расширения является обобщением свойства субаддитивности функции потока на класс произвольных секционных функций58.

Рассмотрим вопрос о соотношении классов монотонных по группам, сужающих и расширяющих функций затрат.

В разделе 3.2 отмечено, что функция затрат, зависящая от потока, не является монотонной по группам. В случае степенной зависимости от потока функция затрат может быть расширяющей (в случае вогнутости, см. лемму 5 на странице 31), может быть ни расширяющей, ни сужающей (оптимальная норма управляемости 2 < r* < +, см. раздел 1.11). Также встречаются сужающие функции (см. раздел 3.5), не являющиеся монотонными по группам.

Примеры раздела 3.5 показывают, что монотонная по группам функция затрат может быть и сужающей, и расширяющей, и ни сужающей, ни расширяющей. Кроме того, в предельных случаях функция может быть и сужающей, и расширяющей одновременно.

Соотношение классов монотонных по группам, сужающих и расширяющих функций изображено на рисунке 31. Также на рисунке изображен тип оптимальной иерархии для различных класЕсли изменить определение 5 (страница 25) так, чтобы затраты зависели только от внутренних потоков менеджера, то субаддитивность приводит к расширяющей функции затрат, а супераддитивность – к сужающей (Воронин, Мишин (2003)). То есть свойства расширения/сужения можно считать аналогами субаддитивности/супераддитивности или вогнутости/выпуклости (эти понятия эквиваленты при одномерных потоках и (0) = 0 ).

Оптимальные иерархии управления в экономических системах сов функций (для монотонных по группам функций оптимально дерево, для расширяющих функций оптимальна двухуровневая иерархия, для сужающих функций оптимальна 2-иерархия, для монотонных по группам сужающих функций оптимально 2-дерево).

секционные расширяющие сужающие монотонные по группам Рисунок 31. Соотношение классов и оптимальные иерархии для монотонных по группам, сужающих и расширяющих функций В следующем разделе усилено условие сужения и доказана оптимальность 2-иерархии специального вида.

3.4. Оптимальность последовательной иерархии Как показано в разделе 3.3, для сужающей функции затрат найдется оптимальная 2-иерархия. В данном разделе рассмотрен частный случай 2-иерархий – так называемые последовательные иерархии. Ниже вводится определение сильного сужения функции затрат, при котором последовательная иерархия оптимальна. В целом аппарат, изложенный в данном разделе позволяет для ряда С.П. Мишин, функций затрат найти оптимальную иерархию (см. примеры раздела 3.5).

Определение 10. 2-иерархию назовем последовательной, если в ней каждый менеджер непосредственно управляет хотя бы одним исполнителем.

Аналогично доказательству утверждения 1 можно доказать следующий факт: для любой последовательной иерархии H1, найдется последовательная иерархия H2, которая имеет не большие затраты и удовлетворяет условиям (i)-(iii) утверждения 1 (см. страницу 28). То есть в H2 все менеджеры управляют разными группами исполнителей, подчинены единственному высшему менеджеру, среди непосредственных подчиненных одного менеджера ни один не управляет другим. Следовательно, среди последовательных иерархий найдется иерархия с минимальными затратами, которая удовлетворяет условиям (i)-(iii). Поясним, как выглядит подобная иерархия H2.

Из условия (i) и определения 10 следует, что в H2 у каждого менеджера ровно два непосредственных подчиненных. Высший менеджер m в H2 управляет всеми исполнителями: sH (m) = N.

Менеджеру m непосредственно подчинен некоторый исполнитель w' и некоторый менеджер m', то есть sH (m) = N = sH (m') {w'} 2 (см. лемму 1 на странице 20). Согласно условию (iii) менеджер m' не управляет исполнителем w'. Поэтому sH (m') = N \ {w'}. Аналогично, менеджеру m' непосредственно подчинен некоторый исполнитель w'' и некоторый менеджер m' ', причем sH (m'') = N \ {w', w''}. И так далее. Таким образом, последовательная иерархия имеет вид, приведенный на рисунке 32.

На рисунке 32 изображена последовательная иерархия общего вида. В ней исполнители w1,…,wn «расположены» в некотором порядке: сначала исполнитель с номером i1, затем исполнитель с номером i2, и так далее. Здесь (i1,…,in) – некоторая перестановка чисел (1,…,n). То есть в последовательной иерархии имеется n–менеджер: M={m1,…,mn-1} (см. рисунок 32). Первый менеджер непосредственно управляет исполнителями wi и wi. Второй 1 Оптимальные иерархии управления в экономических системах менеджер непосредственно управляет первым менеджером и исполнителем wi. Третий менеджер непосредственно управляет вторым менеджером и исполнителем wi, и так далее. Высший менеджер mn-1 непосредственно управляет исполнителем wi и n предыдущим менеджером mn-2.

mn-mn-mn-mmwi wi wi wi wi wi n-2 n -1 n 1 2 Рисунок 32. Общий вид последовательной иерархии Интерпретировать последовательную иерархию можно различными способами. Приведем несколько примеров.

Менеджеры последовательной иерархии могут выполнять контроль качества конвейерной сборки. Каждый менеджер может контролировать качество деталей, промежуточных узлов или готового изделия. При этом для упрощения контроля (уменьшения затрат) менеджер может использовать результаты предыдущих этапов контроля качества. Например, менеджер m1 может сообщать менеджеру m2 результаты испытаний прочности сварных швов. На основании сообщенных данных менеджер m2 может рассчитать прочность изделия. Без этих данных пришлось бы проводить испытания прочности всего изделия, что привело бы к росту затрат.

Таким образом, затраты на контроль качества могут зависеть от порядка, в котором менеджеры контролируют качество работы исполнителей, то есть от перестановки (i1,…,in).

Интересна также интерпретация последовательной иерархии как графа обработки информации. Кратко опишем подобные постановки.

Marschak и Radner (1972) предложили следующую модель обработки информации менеджерами организации. Предполагается, что по n входам поступает некоторая информация (например, С.П. Мишин, характеризующая состояние организации). Входы можно сопоставить с исполнителями, которые сообщают менеджерам информацию. Менеджеры должны обработать информацию и найти управляющее воздействие, то есть вычислить некоторую функцию.

Функция предполагается ассоциативной (например, сложение или взятие минимума).

Менеджеры организованы в древовидную иерархию. В результате менеджер получает информацию от непосредственных подчиненных и затрачивает время на вычисление и передачу результата непосредственному начальнику. Затрачиваемое время линейно зависит от числа непосредственных подчиненных. Высший менеджер вычисляет окончательный результат – управляющее воздействие. Каждое дерево характеризуется двумя параметрами – числом менеджеров и временем вычисления воздействия (задержкой). Требуется найти оптимальный баланс между этими параметрами. Например, можно рассматривать функцию затрат от задержки воздействия и от количества менеджеров (Keren и Levhari (1989)). Также возможно дополнительное ограничение – информация может поступать периодически. При этом свободные менеджеры могут начинать обработку новой информации в то время, пока остальные менеджеры еще обрабатывают предыдущую информацию. Можно рассматривать задачу построения иерархии с минимальными затратами, которая успевает обрабатывать всю поступающую информацию.

Вышеуказанные задачи рассматриваются во многих работах (см., например, Keren и Levhari (1983, 1989), Radner (1993), Van Zandt (1996)). При различных условиях оптимальными будут различные иерархии. В частности, в работе Bolton и Dewatripont (1994) оптимальная иерархия сочетает в себе последовательную иерархию («conveyer belt») и иерархию классического вида, в котором менеджерам следующего уровня подчинены только менеджеры предыдущего уровня.

Таким образом, может быть интересна интерпретация последовательной иерархии как графа обработки информации. В последовательной иерархии (см. рисунок 32) сначала свои операции производит первый менеджер, затем второй, и так далее. То есть в Оптимальные иерархии управления в экономических системах каждый момент времени в обработке задействован только один менеджер. Остальные менеджеры в это время простаивают.

Итак, последовательная иерархия может соответствовать последовательной обработке информации, поступающей от исполнителей. Подобная иерархия требует большого времени на обработку.

Однако последовательная иерархия может справляться с обработкой интенсивного потока информации.

Поскольку под обработкой понимается вычисление ассоциативной функции, можно надстраивать любую последовательную иерархию, поскольку для любого порядка исполнителей (i1,i2,…,in) результат вычислений будет одним и тем же. Однако от разных исполнителей может поступать информация, требующая различного времени обработки или затрат на обработку. То есть, последовательная иерархия с минимальными затратами может соответствовать эффективному последовательному вычислению.

Рассмотрим задачу поиска последовательной иерархии с минимальными затратами. Во многих частных случаях эта задача решается аналитически (см. раздел 3.5). Согласно рисунку последовательная иерархия полностью определяется перестановкой (i1,…,in). Для произвольной секционной функции n!/ 2 последовательных иерархий могут иметь различные затраты59. Однако для поиска иерархии с минимальными затратами не требуется сравнивать все эти варианты. В работах Воронина и Мишина (2002b, 2003) построен алгоритм с порядком сложности 2n, позволяющий найти последовательную иерархию с минимальными затратами.

Для произвольной секционной функции алгоритм решает задачу за разумное время, если число исполнителей не превышает трехчетырех десятков.

С точки зрения структуры обработки информации важна задача построения оптимальной иерархии, вычисляющей не одну, а Всего имеется n! различных последовательных иерархий. Однако перестановка местами первого и второго исполнителя (см. рисунок 32) не влияет на затраты иерархии. Следовательно, иерархий с различными затратами может быть n!/2.

Несложно подобрать секционную функцию, при которой все эти иерархии будут иметь различные затраты.

С.П. Мишин, нескольких функций. Как отмечено в обзоре Radner (1992), в настоящее время неизвестны методы решения этой задачи. Алгоритм, построенный в работах Воронина и Мишина (2002b, 2003), позволяет находить последовательную иерархию с минимальными затратами, вычисляющую несколько функций (подробнее см.

раздел 3.7).

Рассмотрим ограничение на функцию затрат, при выполнении которого существует оптимальная последовательная иерархия.

Это требование сильного сужения. При его выполнении задача об оптимальной иерархии решается вышеуказанным алгоритмом поиска последовательной иерархии с минимальными затратами или аналитически. Приведем формальное определение сильного сужения, а затем поясним его.

Определение 11. Сужающую функцию затрат назовем сильно сужающей, если для любых групп s1, s2 из двух или более исполнителей выполнено по крайней мере одно из двух условий:

а) для любого w s1: c(s1,s2 ) c(s1 \{w},s2 ) + c((s1 \{w}) s2,{w}), b) для любого w s2 : c(s1, s2) c(s1,s2 \{w}) + c(s1 (s2 \{w}),{w}).

В случае сужающей функции затрат найдется оптимальная 2-иерархия H (см. утверждение 7). Условия a) и b) определения позволяют перестроить H до оптимальной последовательной иерархии. Поясним это перестроение с помощью рисунка 33.

Если в 2-иерархии H каждому менеджеру подчинен хотя бы один исполнитель, то это последовательная иерархия (см. определение 10). Иначе рассмотрим менеджера m, которому непосредственно подчинены два других менеджера m1 и m2 (см. рисунок 33a)).

Если таких менеджеров несколько, то в качестве m рассмотрим менеджера наиболее низкого уровня. То есть подчиненные менеджеры m1 и m2 непосредственно управляют хотя бы одним исполнителем. На рисунке 33a) менеджер m1 непосредственно управляет исполнителем w и сотрудником v. Менеджер m2 непосредственно управляет исполнителем w и сотрудником v.

Свойства сильно сужающей функции (см. определение 11) позволяют без увеличения затрат перестроить иерархию, изобраОптимальные иерархии управления в экономических системах женную на рисунке 33a). Обозначим s1=sH(m1), s2=sH(m2) – группы, подчиненные менеджерам m1 и m2. Тогда сотруднику v подчинена группа s1 \ {w }, сотруднику v подчинена группа s2 \{w }.Если для групп s1 и s2 выполнено условие a) определения 11, то можно перестроить иерархию так, как показано на рисунке 33b).

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.