WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 13 |

В подавляющем большинстве случаев критерий оптимальности систем автоматического управления записывается в виде интеграла. В частности, он может быть записан так (2.10) где Если подынтегральная функция непрерывна по совокупности ее аргументов и существуют все ее частные производные до третьего порядка включительно, то необходимые условия экстремума функционала (2.10) записываются в виде системы дифференциальных уравнений ЭйлераЛагранжа (2.11) Условие (2.11) эквивалентно условию (2.9). Поэтому только на интегральных кривых уравнений Эйлера-Лагранжа, удовлетворяющих граничным условиям (2.12) может реализоваться экстремум (2.10).

Интегральные кривые уравнения Эйлера-Лагранжа называются экстремалями. Экстремали, удовлетворяющие граничным условиям, определяются путем решения краевой задачи. Следует учитывать, что решение не всегда существует, а если и существует, то может быть не единственным. Однако в очень многих задачах синтеза оптимальных систем управления из физического или геометрического смысла задачи достаточно просто устанавливаются существование решения, его единственность и то, что оно реализует минимум критерия оптимальности. В этом случае экстремали, удовлетворяющие граничным условиям, есть решение оптимальной задачи.

Если же существует несколько решений уравнений (2.11), удовлетворяющих граничным условиям (2.12), то путем вычисления значений критерия оптимальности на каждом из полученных решений выбирается то из них, на котором критерий достигает минимума.

Экстремум функционала (2.10) может достигаться не на гладких, а на кусочно-гладких экстремалях с конечным числом угловых точек.

Угловыми точками называются точки, в которых экстремали непрерывны а производные от экстремалей терпят разрывы первого рода (рис.2.3).

где tk - абсцисса k-й угловой точки;

соответственно левые и правые пределы экс тремалей и их производных в k -й угловой точке.

Если экстремум функционала реализуется на экстремалях с угловыми точками, которые называются ломаными экстремалями, то в каждой угловой точке должны выполняться условия Вейерштрасса-Эрдманая В теории оптимальных систем возникают задачи, когда одна или обе граничные точки экстремалей перемещаются по определенному закону. Например, ракетой А (рис.2.4) надо управлять так, чтобы уничтожить ракету В за минимальное время. Ракета А запускается с самолета. Очевидно, что в этом случае могут быть заданы только начальные условия (координаты ракет А и В, значения их скорости, ускорения и т.д. в момент старта) и не могут быть заданы граничные условия, то есть указанные выше параметры в момент встречи двух ракет, так как последние зависят от искомого минимального времени сближения ракет А и В.

Подобные задачи в вариационном исчислении называются задачами с подвижными концами или границами (а выше рассматривалась задача с закрепленными концами). В таких задачах необходимые условия существования экстремума функционала (2.11) должны быть дополнены условиями если не задан закон перемещения концевых точек, или (2.13) где ф 1 - закон перемещения концевой точки экстремали у1(t) ;

Q1 - закон перемещения концевой точки экстремали У,(T).

Условия (2.13) носят название условий трансверсальности. В большинстве случаев при синтезе оптимальных систем возникают задачи минимизации критерия оптимальности при дополнительных условиях, наложенных на координаты объекта управления и на граничные условия. В классическом вариационном исчислении такие задачи получили название задач на условный экстремум.

Простейшая задача на условный экстремум формулируется так: требуется исследовать на экстремум функционал (2.10) при условии, что экстремали, на которых реализуется минимум функционала, должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений (2.14) которую называют системой уравнений связи.

Эта задача решается путем преобразования функционала (2.10) к виду (2.15) Л,- неопределенные множители Лагранжа, и исследования нового функционала (2.15) на безусловный экстремум.

Необходимые условия существования безусловного экстремума функционала (2.15) и, следовательно, условного экстремума функционала (2.10) имеют вид (2-16) (2.17) где система (2.16) система уравнений Эйлера- Лагранжа, а система (2.17) -- система дифференциальных уравнений связи.

Условия (2.16) и (2.17) состоят из {2n+т) уравнений относительно (2п+т) неизвестных u1,u2,....,un; у1у2....,уn, у1,у2..,уn и, следовательно, позволяют определить эти неизвестные функции. Решения системы уравнений (2.16) и (2.17) будут содержать 2(2п+т] неизвестных постоянных интегрирования. С помощью 2(2п+т} граничных условий, заданных для экстремалей u,{t} и y,{t), можно определить 2{2п+т} произвольных постоянных интегрирования. Остальные 2п постоянных интегрирования находятся путем подбора 2п незаданных граничных условий для множителей Лагранжа А таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для функций u,{t} и y,{t) Иногда при решении вариационных задач на условный экстремум возникает необходимость выбора из класса кусочно-гладких вектор-функций V V u(t), y{t} тех, которые доставляют экстремум функционалу Такую задачу называют задачей Больца.

Применение методов классического вариационного исчисления для решения задач синтеза оптимальных систем связано с рядом трудностей. Вопервых, трудности возникают из-за того, что в реальных системах допустимые управляющие воздействия принадлежат замкнутому множеству функций, то есть удовлетворяют условиям (2.18) где М1,М2,...,Мm - заданные константы, и системы с ограничениями на координаты объекта управления и с ограничениями на возмущения, и чаще всего наилучшие результаты получаются в том случае, если оптимальные управления выбираются из числа функций, частично или полностью принадлежащих границе этого множества. Например, управляющее напряжение на входе оптимального по быстродействию электропривода, динамика которого описывается дифференциальным уравнением второго порядка, должно изменяться так, как это показано на рис.2.5. При этом оказывается, что минимум критерия оптимальности, являющегося функционалом от управления u{t}, достигается при u(t)= М = const, хотя при этих условиях первая вариация функционала не равна нулю (рис.2.6).

Во-вторых, если оптимальное управление принадлежит к классу кусочно-постоянных функций с конечным числом точек разрывов первого рода, как например, управление, изображенное на рис.2.5, то это создает значительные вычислительные трудности при определении алгоритма управляющего устройства оптимальной системы.

Первая трудность преодолевается путем замены замкнутого множества допустимых управлений открытыми. Такая замена может быть осуществлена, в частности, с помощью «функций штрафа» или функций, предложенных Мьеле.

Рис. 2.5. График изменения напряжения на входе оптимального по Рис. 2.6. График зависимости быстродействию электропривода величины функционала 1\и) от модуля управления \u(f\ В первом случае при использовании «функций штрафа», в критерий оптимальности вводится дополнительная функция от управления, которая вызывает резкое увеличение критерия, если управление превышает допустимое значение, то есть «штрафует» за «нарушение». Если на управление наложено ограничение (2.19), то «функция штрафа» может быть выбрана в виде (2.20), то есть (2.19) то (2.20) Используя функцию (2.20), можно методами классического вариационного исчисления определять условия существования минимума критерия оптимальности и в случае, когда оптимальное управление выбирается из замкнутого множества допустимых управлений.

Во втором случае при использовании функций Мьеле ограничение вида (2.19) учитывается с помощью замены управления u{t] функцией (2.21) Сведения о методах классического вариационного исчисления, приведенные выше, позволяют дать математическую постановку задачи определения алгоритма управляющего устройства различных типов оптимальных систем управления.

2.3. Оптимизация управления по принципу максимума При использовании принципа максимума движение объекта управления (системы управления) обычно представляется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.22) Допустимыми считаются управления u,и,,...,иm, которые являются непрерывными для всех рассматриваемых t, за исключением конечного числа моментов, где они могут претерпевать разрывы первого рода. На участках непрерывности и в точках разрыва управления они могут принимать лишь конечные значения. Кроме того, на каждое из управлений могут накладываться дополнительные ограничения вида Задача оптимального управления сводится к отысканию таких управлений, удовлетворяющих наложенным ограничениям, которые одновременно с переводом объекта (системы) из одного положения в другое обеспечивают экстремум выбранного функционала качества. При этом задача может решаться применительно к автономным и неавтономным системам управления.

2.3.1. Оптимальное управление автономной системой Система называется автономной, если правые части дифференциальных уравнений, описывающих ее движение, явно не зависят от времени.

Функционал качества в этом случае выбирается в виде интегрального выражения ( 2.23) Задача оптимального управления по существу сводится к минимизации дополнительной координаты удовлетворяющей условию у0 = 0 при t = t0. В соответствии с выражением (2.23) к системе (2.22) добавляется еще одно уравнение позволяет объединить основную и сопряженную системы уравнений одной записью (2.26) (2.27) 2.3.2. Основная теорема оптимизации по принципу максимума Пусть u(t) является управлением, приводящим изображаемую точку из v начального положения y(y) в конечное положение у(Т), a y(t ) — соответствующая этому управлению траектория. Если u{t} оптимально, то найдется v V V такая ненулевая вектор-функция ф{t}, соответствующая u(t) и у(T), при ко- V V V торой функция Н (у,ф,и) в любой момент времени, находящийся в заданном интервале [t0,T), достигает максимального значения.

(2.28) Выражение (2.28) используется для определения функции u(t). Управление будет оптимальным, если оно обеспечивает максимум функции в любой момент времени.

Следует заметить, что при оптимальном управлении функции Н(t) и ф0(t) являются постоянными H(t)=0,ф0(t)<=0. Как видно из уравнений (2.28) принцип максимума устанавливает связь между управлением и координатами основной и сопряженной систем.

Выражения (2.25) и (2.28) позволяют дать геометрическое пояснение принципа максимума.

V V Величина Н является скалярным произведением векторов ф и у, поэтому направление движения изображающей точки при оптимальном V V управлении должно быть таким, чтобы векторы ф, у являлись ортогональными.

Следовательно, вектор обеспечивает направление движения изображающей точки в фазовом пространстве.

2.3.3. Оптимальное управление неавтономной системой Если в правую часть уравнений системы (2.22) явно входит время t, то задача оптимального управления состоит в переводе изображающей точки V из начального положения y{t0) в положение, в котором выполнялись бы условия Задача оптимального управления в этом случае может быть сведена к задаче с заданной точкой, если рассматривать движение системы в фазовом пространстве ошибки где Задача оптимального быстродействия является частным случаем задачи с закрепленными концами. Задача состоит в том, чтобы среди всех допус- v тимых управлений определить такие u{t), которые переводят изображаемую точку из одного положения в другое за минимальное время. За функционал качества принимается интегральное выражение вида где t0 и Т - время начала и конца управления.

В случае оптимального быстродействия выражение для функции Гамильтона записывается в следующей форме Поскольку во время управления ф0 = const, то достаточно рассмотреть функцию Таким образом, при решении задачи оптимального быстродействия максимум функции Гамильтона будет иметь значение, большее или равное нулю Как и прежде, вектор ф определяет направление вектора скорости.

Однако в этом случае векторы ф и и могут быть неортогональными.

V При определении оптимального управления u(t} решаются совместно основная (2.26) и сопряженная (2.27) системы уравнений. Для задач с закреп- V ленными концами фазовых траекторий наряду с подбором управления u(t) V V V максимизирующего функцию Н1(у,ф,и) в каждой точке оптимальной траектории, необходимо знать начальное состояние объекта у1(t0), y2(t0),..., yn(t0) и начальное значение вспомогательного вектора ф1(t0), ф2(t0),..., V V фn(t0). Вектор у(t0) задается условиями задачи, а вектор ф(t0) заранее неизвестен.

Составляющие вектора, ф1(t0), где j=1,2,...,n, необходимо подобрать таким образом, чтобы оптимальная траектория прошла через заданную концевую точку у1(Т), у2(Т),..., уn(Т).

Для задач с подвижными концами граничные положения фазовой точки определяются из условий трансверсальности. Условия трансверсальности для левого и правого концов фазовой траектории определяются ортогональ- V V ности векторов ф(t0) и ф (Т) соответственно касательными векторов многообразий, связывающих начальные и конечные значения фазовых координат Условия трансверсальности дают дополнительные соотношения, необходимые для определения начальной и конечной точек фазовой траектории.

Из принципа максимума вытекают следующие основные положения теории оптимальных быстродействий:

1. Оптимальные системы управления являются системами релейного типа;

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.