WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Применяя преобразование Лапласа к правой и левой частям уравнения (2.1) при нулевых начальных условиях, получим a(s)Y (s) = b(s)U (s), и, следовательно, передаточная функция - b(s) W (s) =. (2.3) a(s) Передаточная функция у которой полиномы a(s) и b(s) не являются взаимно простыми называется вырожденной передаточной функцией. При выводе передаточной функции W (s) системы необходимо следить за тем, чтобы не произошло сокращения ее числителя и знаменателя. При выполнении последнего условия, знаменатель a(s) передаточной функции называется характеристическим полиномом системы. Устойчивость объекта управления определяется корнями характеристического уравнения a(s) = 0. Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно отрицательность вещественных частей всех корней. Любой полином, все корни которого имеют строго отрицательную вещественную часть, называется устойчивым полиномом.

Корни знаменателя передаточной функции называются полюсами, а корни числителя - нулями. Передаточная функция, у которой вещественные части всех нулей отрицательны называется минимально-фазовой. Для существования решения задачи управления достаточно, чтобы передаточная функция была минимально-фазовой.

Если W (s) не является минимально-фазовой передаточной функцией, то решение задачи управления может существовать только при условии, что наибольшее общее кратное полиномов a(s) и b(s) - устойчивый полином.

Если W (s) является минимально-фазовой передаточной функцией, то решение задачи будем искать в два этапа. Для этого представим сигнал управления в виде u = W0 ( p)(u1 + u2 ), (2.4) b0 ( p) где W0 ( p) = - дробно – рациональная функция. На первом этапе определим a0 ( p) алгоритм формирования переменной u1 для того, чтобы решить задачу стабилизации, т.е. обеспечить выполнение предельного соотношения lim y(t) = 0 при любых t начальных условиях. На втором этапе, выбором сигнала управления обеспечим решение задачи слежения, т.е. выполнение неравенства | y(t) - y(t) |, где y(t) - функция времени такая, что lim[y(t) - y(t)] = 0, t y (t) - заранее неизвестная переменная величина (задающее воздействие), а > 0 - некоторое заданное постоянное число. Отметим, что определенная подобным образом функция y(t) называется установившейся реакцией системы.

В заключении первого этапа курсовой работы строятся ЛАХ и ЛФХ передаточной функции W (s) объекта управления. Напомним, что логарифмической амплитудночастотной характеристикой, соответствующей передаточной функции W (s), называется график функции L() = 20lg | W ( j) | от логарифма lg, где - действительная переменная, которая называется частотой. Функция W ( j), которую получают из передаточной функции W (s) при подстановке в нее s = j, называется частотной передаточной функцией. Принято измерять значение ЛАХ в децибелах (дБ), а значение наклона ЛАХ – в децибелах на декаду. Декадой называют интервал на котором частота меняется в 10 раз. Логарифмической фазочастотной характеристикой называется график функции () = argW ( j) от логарифма lg.

2.2. Решение задачи стабилизации Для решения задачи стабилизации выберем алгоритм формирования сигнала u1 в виде u1 = -W1( p)y, (2.5) b1( p) где W1( p) =. Подставляя (2.4), (2.5) в уравнение (2.2) и разрешая его относиa1( p) тельно выходной переменной найдем уравнение замкнутой системы y = Wy( p)u2, (2.6) где W ( p)W0( p) b( p)b0( p)a1( p) Wy( p) = =. (2.7) 1+W ( p)W0( p)W1( p) a( p)a0( p)a1( p) + b( p)b0( p)b1( p) Для объектов управления с минимально-фазовыми передаточными функциями, полиномы a0( p), a1( p), b0( p), b1( p) выбирают из условия b( p)b0( p)a1( p) =, (2.8) a( p)a0( p)a1( p) + b( p)b0( p)b1( p) ay( p) где ay( p) - произвольный устойчивый полином степени n - m. Например, полином ay( p) можно выбрать следующим образом ay ( p) = ( p +1)n-m, (2.9) а многочлены a0( p), a1( p), b0( p), b1( p) - a0( p) = a0,n-1pn-1 + a0,n-2 pn-2 +K+ a0,0, a1( p) = a1,n-1pn-1 + a1,n-2 pn-2 +K+ a1,0, b0( p) = b0,n-1pn-1 + b0,n-2 pn-2 +K+ b0,0, b1( p) = b1,n-1pn-1 + b1,n-2 pn-2 +K+ b1,0, где 4(n -1) неизвестных коэффициентов этих полиномов находятся из тождеств a1( p) = b0( p) = ( p +1)n-1, (2.10) a( p)a0( p) + b( p)b1( p) = b( p)( p +1)2n-m-1. (2.11) Таким образом, принимая во внимание uy W0 ( p) W ( p) (2.7), (2.9)-(2.11), передаточная функция объекта управления охваченного uотрицательной обратной связью по выW1( p) ходу будет иметь вид Рис. 2.2. Структурная схема системы управления Wy(s) =, (2.12) (s +1)n-m Структурная схема системы управления представлена на рис.2.2.

В заключении данного этапа строятся ЛАХ и ЛФХ передаточной функции Wy(s).

2.3. Синтез следящей системы управления С учетом того, что измерения проводятся с помехами, управляющее воздействие объектом (2.6) строится в форме:

u2 = W2 ( p)~, (2.13) b2( p) ~ где W2( p) = и = y * (t) - y - f (t) = - f (t). Структурная схема системы a2( p) (2.2), (2.4), (2.5), (2.13) приведена на рис.2.3.

Задача этого этапа соy * y uu W ( p) W0 ( p) стоит в выборе такой переда uточной функции регулятора W1( p) W2 (s), которая обеспечит близость ошибки управления ~ f W2 ( p) (t) = y(t) - y(t) к нулю и Рис. 2.3. Структурная схема слетребуемые характеристики дящей системы управления замкнутой системы управления. Для решения этой задачи воспользуемся методом динамической компенсации.

Используя уравнения (2.2), (2.4), (2.5) и (2.13) найдем выражение для ошибки управления (t) = [1-Wз( p)]y(t) + Wз( p) f (t), (2.14) где Wp( p) Wз( p) =, Wp( p) = Wy ( p)W2( p). (2.15) 1+Wp( p) Функция Wз(s) называется передаточной функцией замкнутой системы, а функция Wp(s) - передаточной функцией разомкнутой системы.

Выбор передаточной функции регулятора определяет вид передаточной функции замкнутой системы. Простейший подход к выбору обратной связи заключается в том, чтобы предъявить требования к самой Wз (s), к примеру, потребовать выполнение условия Wp (s) Wз(s) = Wз(s) =, (2.16) 1+Wp (s) b (s) bз (s) p где Wз(s) = - соответственно, желаемые передаточные функи Wp (s) = a(s) a (s) з p ции замкнутой и разомкнутой системы, которые формируются на основе требований к системе управления. Преобразуем требования, предъявленные в курсовой работе, к замкнутой системе в условия на передаточную функцию замкнутой системы.

Требование к устойчивости замкнутой системы (a) означает, что все корни характеристического полинома (s) = [a(s)a0 (s)a1(s) + b(s)b0 (s)b1(s)]a2 (s) + a1(s)b(s)b0 (s)b2 (s) (2.17) замкнутой системы (2.2), (2.4), (2.5), (2.13) должны иметь строго отрицательную вещественную часть.

Установившаяся ошибка, вызванная воздействием (1.1), равна d (t) = [1-Wз(0)](a0 + a1t) + [1-Wз(s)] a1. (2.18) ds s=Ошибка может быть ограниченной при a1 0, только если выполнено условие астатизма Wз (0) = 1 (2.19) или -Wp (0) = 0, (2.20) но это возможно, только при условии, что передаточная функция разомкнутой системы имеет нулевой полюс. Если он простой, то справедливо представление kp ~ ~ Wp(s) = Wp(s), Wp (0) = 1, (2.21) s где kp - коэффициент усиления разомкнутого контура. Тогда используя выражения (2.15) и (2.21), найдем d [1-Wз(s)] = kp1 (2.22) ds s=и, следовательно, (t) = kp1a1. (2.23) Таким образом, для выполнения требования (1.2) необходимо, чтобы коэффициент удовлетворял условию a1 kp = 11. (2.24) Установившаяся ошибка, вызванная воздействием (1.3), является гармонической функцией с амплитудой = 1 - Wз ( j) a, (2.25) y y где - частота воздействия. Таким образом, для удовлетворения требования (1.4) необходимо, чтобы y 1 - Wз ( j) =, y. (2.26) y a y Установившаяся ошибка вызванная воздействием (1.5), является гармонической функцией с амплитудой = Wз ( j) a. (2.27) f f Таким образом, для удовлетворения требования (1.7) необходимо, чтобы f Wз ( j) =, f. (2.28) f a f Если передаточная функция объекта управления является минимально-фазовой и устойчивой, то для построения желаемой передаточной функции замкнутой системы, удовлетворяющей выше перечисленным условиям часто прибегают к методу основанному на соответствии между логарифмическими частотными характеристиками разомкнутой системы и ее статическими и динамическими свойствами в замкнутом состоянии.

Явные зависимости L(), () достаточно сложны. Поэтому часто ограничиваются построением асимптотических логарифмических частотных характеристик.

Для примера рассмотрим произвольную минимально-фазовую передаточную функцию с вещественными нулями и полюсами (Tis +1) W (s) = ks- i, (2.29) (Tis +1) i где k - положительный коэффициент усиления, Ti, Ti - положительные постоянные времени,. - натуральное число (порядок астатизма). Тогда соответствующие ЛАХ и ЛФХ даются формулами L() = 20lgk - 20lg + )20lg[(T +1] - 20lg[(T) +1], (2.30) i i i i () = + ) - ) (2.31) arctg(T arctg(T.

i i i i Асимптотическая ЛАХ есть кусочно-линейная функция, получаемая заменой в (29) членов 20 lg[(T)2 + 1] на 0,, T 20lgT, 1, T где частота = называется сопрягающей.

T Асимптотическая ЛФХ есть кусочно-постоянная функция, получаемая заменой в (30) членов arctg(T) на 0,, T, 1.

2 T Нетрудно заметить, что для систем с передаточной функцией вида (2.29) по асимптотической ЛАХ можно восстановить асимптотическую ЛФХ и саму передаточную функцию. Данное свойство характерно для любой передаточной функции, не имеющей нулей и полюсов в правой полуплоскости.

Преобразуем требования к замкнутой системе в ограничения на свойства логарифмической амплитудной характеристики разомкнутой системы. Условие (2.21) на отработку линейно растущего задающего воздействия сводятся к ограничению на поведение Wp( j) при низких частотах, близких = 0:

kp Wp( j) (2.32) j и, следовательно, Lp() = 20lgWp( j) = 20lgkp - 20lg. (2.33) Иначе говоря, низкочастотная асимптота Lp() должна иметь наклон -20 дБ/дек, причем в силу (2.24) ее уровень определяется условием 20 lg k -20 lg 1. (2.34) p Условия (2.26), (2.28) при достаточно малых, можно заменить на y f Wp( j) -1, y, (2.35) y Wp( j), f (2.36) f и, следовательно, Lp() = 20lgWp( j) -20lgy, y, (2.37) Lp() = 20lgWp( j) 20lg, f. (2.38) f Условие (2.37) задает ограничение на поведение логарифмической амплитудной частотной характеристики в области низких частот, а условие (2.38) - в высокочастотной области.

Поведение ЛАХ в области средних частот определяет запасы устойчивости по фазе и амплитуде и в значительной мере качество системы в переходном режиме (время переходного процесса и перерегулирование). Для обеспечения приемлемых запасов устойчивости наклон ЛАХ на частоте c такой, что Lp (c ) = 0 обычно выбирается равным -20 дБ/дек, причем длительность этого участка должна быть не менее декады, что соответствует изменению частоты в 10 раз. Частота c называется частотой среза. Значение частоты среза надо выбирать наиболее большим из всех возможных для того, чтобы увеличить быстродействие замкнутой системы.

Итак, все требования, которые были сформулированы в задании курсовой роботы, сведены к ограничениям на допустимое поведение ЛАХ разомкнутой системы (см.

рис. 2.4, где заштрихованы границы зон, в которые не может заходить ЛАХ). Оста ется подобрать передаточную функцию разомкнутого контура Wp (s), для которой эти ограничения выполнены. Если Wp (s) минимально-фазовая передаточная функция, то вначале строят асимптотическую ЛАХ, удовлетворяющую всем ограничени ем, а затем по ней находят саму Wp (s).

Приведем в готовом виде сводку допустимых передаточных функций разомкнутой системы:

Lp () 20lg k p -20 дБ/дек - 20lg y - lg-20 дБ/дек lg f lg y lg c lg 20lg f Рис. 2.4. Ограничения на допустимое поведение ЛАХ 1) Пусть y 1. (2.39) y f f Тогда передаточная функция kp Wp (s) =, kp = f (2.40) f s удовлетворяет всем ограничениям. При тех же условиях допустима, но требует меньшего усиления на частотах y и обеспечивает лучшее подавление помех передаточная функция вида kp(T2s +1) Wp (s) =, (2.41) s(T1s +1)(T3s +1) где µy y -kp = 1, T1 =, T2 =, T3 0.1T2, (2.42) y 1y а параметр µ, характеризующий расположение частоты среза c = µ / T2, может выбираться в пределах 24.

2) Пусть y 1, 1 <. (2.43) y f f Тогда допустима передаточная функция (2.41), если исходные требования удовлетворяют дополнительному условию 10y. (2.44) f y f В противном случае, но при условии 1 > µ, > (2.45) f T3 f µможно использовать функцию вида kp(T2s +1) Wp (s) =, (2.46) s(T1s +1)(T3s +1)(T4s +1) с теме же параметрами, но при T4 = T3. (2.47) µ Все записанные выше формулы вытекают из вида асимптотических ЛАХ, представленных на рис.2.5.

Когда найдена желаемая передаточная функция разомкнутой системы Wp (s), то для того, чтобы обеспечить выполнение тождества (2.16) необходимо положить W2 (s) = Wy-1(s)Wp (s). (2.48) На этом этапе проверяется условие строгой реализуемости передаточной функции регулятора. Последнее означает, что степень числителя не должна превышать степени знаменателя. Если степень числителя передаточной функции W2 (s) выше степени знаменателя, то можно воспользоваться законом 1 -W(s) = W (s)Wp (s), >> c. (2.49) (Tis +1) Ti i После определения передаточной функции регулятора следует найти характеристический полином замкнутой системы (2.18) и по его корням оценить устойчивость системы. Рассчитать передаточную функцию разомкнутой системы Wp (s) = Wy (s)W2 (s) и определить запас устойчивости по амплитуде и фазе. Запасом Lp () -20 дБ/дек - 20lg y - lglg y lg f lg 20lg f а) ЛАХ передаточной функции (2.40) Lp () -20 дБ/дек - 20lg y c 1/Tlg f lg 1/T1 lg y 1/T20lg f b) ЛАХ передаточной функции (2.41) Lp () -20 дБ/дек - 20lg y c 1/T1/Tlg f lg 1/T1 lg y 1/T20lg f c) ЛАХ передаточной функции (2.46) Рис. 2.5. ЛАХ допустимых передаточных функций устойчивости по амплитуде называется величина L = -Lp(), где таково, что p() = -. Величина = + p(c) называется запасом устойчивости по фазе.

Для удовлетворительной работы системы необходимо выполнение условий L 6 дБ, 300. (2.50) Если последние требования не выполнены, то следует видоизменить желаемую ЛАХ разомкнутой системы и заново определить передаточную функцию W2 ( p).

В заключении раздела строится ЛАХ и ЛФХ передаточной функции разомкнутой системы Wp(s).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.