WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 31 |

Для колебаний необходимо внешнее однократное воздействие. Тогда по второму закону Ньютона F = ma = m d2x/dtU E T цепочка атомов U x = x равновесие - a a Уравнение малых колебаний запишется в виде m d2x/dt2 = - kx или d2x/dt2 + 02 x = 0, где 02 = k/m [02] = [k/m] = кг/с2кг, так как [k] = [F/x] = Н/м = кг м/с2м [] = c-1 = рад/с. ч - не обязательно имеет смысл длины, это может быть угол или какая-либо другая физическая величина.

§ 2 Свободные гармонические колебания (свободный гармонический осциллятор) Имеем d2x/dt2 + 02x = 0. (*) Надо решить это уравнение - найти зависимость x (t). Оно классифицируется как однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решения таких уравнений ищутся в виде x = et, подставим в (*) для отыскания параметра.

d2x/dt2 = 2 et 2 et +02 et = 0 2 = - 02 = ± i 0 x1,2 = exp( ± i0t) В решении уравнения (*) должно быть две константы интегрирования, так как оно второго порядка и общее решение записывается в таком случае как суперпозиция этих констант и двух частных решений х1 и х2 по аналогии с d2x/dt2 = 0 dx/dt = c1 x = c1x + c2, тогда x = c1x1 + c2x2 = c1 exp ( i0t ) + c2 exp (-i0t ).

Воспользуемся формулой Эйлера exp ( ± i0t ) = Cos (0t) ± i Sin (0t) получим x= c1[Cos(0t) + i Sin(0t)] + c2[Cos(0t) – i Sin(0t)] = c1Cos(0t) + ic1Sin(0t) + +c2Cos(0t) -c2iSin(0t) = (c1 + c2)Cos(0t) - i(c2 – - c1) Sin(0t) = a1Cos(0t) – a2Sin(0t).

а1 и а2 представим как катеты прямоугольного треугольника, тогда найдется для него и гипотенуза a a2 a2 = a12 + a22, Sin = a2/a, Cos = a1/a x = a[CosCos(0t) -SinSin(0t)] = a Cos(0t + a).

Выражение x = Cos(0t +) есть решение уравнения свободных малых колебаний, здесь 0 - собственная частота свободных колебаний системы, а - амплитуда, t - время, - начальная фаза колебаний, (0е + ) - фаза, x - смещение.

Итак, смещение здесь изменяется по закону косинуса, следовательно движение представляет собой свободные гармонические колебания. Замечание к определению периода. Период косинуса - Т = 2, тогда + 0(t +T) = (0t + ) + 2 0T =2 T = 2/0 = 1/Об энергии свободных гармонических колебаний (иначе говоря, свободного гармонического осциллятора).

Вычислим скорость, и ускорение колеблющейся точки в зависимости от времени v = dx/dt = -a0 Sin(0t + ), w = d2x/dt2 = -a02Cos(0t + ) заметим, что x и w находятся в противофазе.

T = mv2/2 = ma202Sin2(0t + )/U = kx2/2 = ka2Cos2(0t +) =(02 = k/m k = m02) = ma202Cos2(0t +)/E = T + U = ma202/2 = cst.

§ 3 Математический и физический маятники (в модели свободного гармонического осциллятора) В колебательной системе всегда надо определиться с внутренними силами.

В механике под маятником понимают тело (как правило твердое) совершающее под действием силы тяжести (или за счет упругих сил) колебания около положения равновесия. Рассмотрим модель математического маятника.

Определение.

Система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити с точечной массой на конце.

При отклонении маятника от положения равновесия (внешнем воздействии) по отношению к нему возникает вращательный момент (момент силы).

z R = l Sin l m g M y x M = rF, L = rp Маятник колеблется в плоскости xy. На массу m в направлении - z действует сила тяжести mg. Момент этой силы относительно оси х равен mg R = mgl Sin.

Момент этой силы имеет такое направление, что стремиться вернуть маятник в положение равновесия, поэтому моменту и угловому смещению надо приписывать противоположные знаки (также как квазиупругой силе и смещению). Распишем момент импульса относительно оси х L x = p l, p = mv = m l d/dt L x = - ml2d/dt Распишем момент силы относительно оси х Mx = mgl Sin - по определению, с другой стороны Mx = dL x /dt = - ml2d2/dtПриравняем эти моменты mgl Sin = - ml2 d2/dt2 g Sin = - l d2/dt2. (*) Вообще говоря, уравнение получилось трансцендентное, но для малых колебаний можно полагать Sin g = - ld2/dt2 d2/dt2 + g/l = 0, g/l = Таким образом, уравнение свелось уже к решенному нами ранее уравнению. Здесь период T = 2/0 = 2(l/g)1/2.

Рассмотрим модель физического маятника Вернемся еще раз к уравнению (*). В нем колеблющееся тело представлялось материальной точкой. Если же колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, то необходимо учитывать момент инерции тела. Это будет момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса этого тела ml2 = I mg l Sin = - I d2/dt2 (также для малых колебаний) d2/dt2 + mgl /I = 02 = mg l/I, T = 2(I/mg l)1/ На оси ОО есть точка ( С ) по другую сторону центра масс, при подвешении за которую колебания данного тела будут точно такими же как и в точке А. АС называют приведенной длиной.

О А С О Замечания:

1. Во всех формулах, полученных в данной главе 0 не зависит от амплитуды - это важнейшее свойство гармонического осциллятора 2. Для нескольких возбуждающих сил по отношению к данной колебательной системе справедлив принцип суперпозиции.

§ 4 Затухающие колебания (затухающий гармонический осциллятор) Введем для колебательной системы силу сопротивления. Теперь речь пойдет о свободных затухающих колебаниях, где затухание обусловлено силами сопротивления. Пусть Fx = - r dx/dt = -r v, то есть сила сопротивления прямо пропорциональна скорости в первой степени.

Сила и скорость противоположны по направлению и [r] = [F/v] = H /v/c = кг м с/с2 м = кг/с Заметим, что линейная зависимость сил сопротивления от скорости часто реализуется на практике. Пример · · · ·· · · · · · · · · v ·· · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · На пластину (некое миделево сечение), которая движется в газе перпендикулярно своей плоскости при относительно низком давлении (когда можно не учитывать столкновение молекул между собой) действует сила F ~ v. Рассчитаем скорость движения молекул при комнатной температуре v = (RT/M)1/2. Считаем для азота: M = 28 г/моль, R = 8,3 Дж/К моль, Т = 300°К v 300м/с 1000 км/час Такой скорости достигают самолеты, летающие в верхних слоях атмосферы.

Итак, уравнение имеет вид md2x/dt2 = - kx – r dx/dt md2x/dt2 + r dx/dt + kx = 0.

Это - однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, преобразуем d2x/dt2 + 2dx/dt + 02x = 0 (2 = r/m, [] = 1/ с) двойка использована для того, чтобы короче в дальнейшем записать решение этого уравнения. Для решения используем уже известный прием.

x = e t, dx/dt = e t, d 2x/dt2 = 2 e t, подставим в уравнение 2e t + 2e t + 02e t = 0, 2 + 2 + 02 = 0, 1, 2 = - ± (2 - 02)1/2, x1 = exp{[- + (2 - 02)1/2]t}, x2 = exp{[- - (2 - 02)1/2)]t}, Пусть (2 - 02)1/2 =, x = c1 exp{[(- + )]t} + c2 exp{[(- - )]t} = c1e-t et + c2e-te-t = = e-t{c1[Cos(t) + i Sin(t)] + c2[Cos(t) + i Sin(t)]} = = e-t a Cos(t + ) = ai Cos(t + ), где ai = a e-t.

Получили гармоническое колебание с экспоненциально спадающей амплитудой.

Для построения графика выберем t = 2 c-1, a = 1, = 100 рад/с, = 20 рад.

0.0.Вычислим период и 0.определим логарифмический 0.декремент колебания, кол.

2 t.cos( e 100 t 20) 2 = 2 - 02, T = 2/ = 2/(0.– 02);

0.0.0.1 1.2 1.4 1.6 1.8 1 t ai+1/ai = a(t)/a(t +T) = ae-t/ae-(t +T) = eT ln(ai+1/ai) = T = кол..

называется затуханием, от нее зависит скорость убывания амплитуды колебаний, а в данном случае - частота затухающих колебаний. Период колебаний как видно остается при этом постоянным.

§ 5 Вынужденные колебания гармонического осциллятора (с учетом сил сопротивления) Пусть вынуждающая сила также изменяется по гармоническому закону F = F0 Cos(t) это не одноразовый импульс, а постоянно действующая во времени сила.

Уравнение имеет вид m d2x/dt2 = -kx – r dx/dt + F0 Cos(t), 02 = k/m, r/m = 2, F0/m = fd2x/dt2 + 02x + 2dx/dt = f0 Cos(t) (*) Получили (*) - линейное, неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение ищется следующим образом: мы имеем общее решение однородного уравнения, построенного для данного без правой части.

x однородное = a e-t Cos(t + ) (1).

Чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, необходимо к (1) прибавить любое частное решение неоднородного уравнения (*). Пусть x ч.н. = B eit.

Определим параметр B используя подстановку х ч н. в (*) dx/dt = B i eit, d2x/dt2 = -B 2 eit - B2eit + 02 B eit + 2 B i eit = f0 eit B = f0/(02 - 2 + 2i) x ч.н. = f0 eit/(02 - 2 + 2i) (2).

Отступление (о комплексных числах) y x y x z = x + i y, i 2 = - 1, Re z = x, Im z = y, |z| = (x2 + y2)1/В полярных координатах 2 = x2 + y2, x = Cos, y = Sin, z = (Cos + i Sin), tg = y/x.

Справедливость формулы Эйлера - e± i = Cos ± i Sin может быть доказана разложением в ряд, составляющих формулу функций Sin = - 3/3! + 5/5! - 7/7! +...

Cos = 1 - 2/2! + 4/4! - 6/6! +...

ei = 1 + i + (i)2/2! + (i)3/3! +....

например (i)3 = -i 3, (i)6 = - 6,..., Im z = Sin, Re z = Cos Представим комплексный знаменатель частного решения (2) неоднородного уравнения через тригонометрические функции x = 02 - 2, y = 2 tg = y/x = 2/(02 - 2), = arc tg [2/(02 - 2)], = (x2 + y2)1/2 = [(02 + 2)2 + 422]1/x ч.н. = f0 eit/ei = f0ei(t - )/.

Составим общее решение неоднородного уравнения x о..н. = x однород. + х ч. н. = a e-t Cos(t + ) + [f0 ei(t - )/].

Будем рассматривать решения в моменты времени, достаточно удаленные от момента t = 0, тогда с достаточной степенью точности x о.н. f0 ei(t - )/ x = Re (x о..н.) = Re{f0 [Cos(t - ) + i Sin(t - )]/ } = f0 Cos(t - )/.

Выпишем окончательное решение x = f0 Cos{t – arc tg[2/(02 - 2)]}/[(02 - 2)2 + 422]1/2.

Роль амплитуды в решении выполняет часть выражения не являющаяся периодической функцией, то есть a = f0/ [(02 - 2)2 + 422]1/2. (3) Найдем резонанс амплитуды. Для этой цели вычислим максимумы знаменателя в выражении (3), а точнее выражения под корнем как функции частоты [(02 - 2)2 + 422] = 0, 2(02 - 2)( - 2) + 82 = 1. = 0 - физически не интересное решение 2. -(02 - р2) + 22 = 0 р2 = 02 - Подставим найденное значение частоты резонанса в выражение для амплитуды (3) a max = f0/[(02 -02 + 22)2 + 42(02 - 2)]1/2 = f0/2(02 -2)1/ (всегда должно быть) <0. Пусть 3>2>1 р3< р2 < р1 a max3> a max2 >a. Для построения графика формула (3) специально преобразована.

maxОбозначены х, 3= 2, 2 = 1, 1 = = 0,7.

0.0.( 1 x ) 1 2 x 0.( 1 x ) 1 4 x 0.( 1 x ) 1 16 x 0.0.2 4 0.1 x § 6 Сложение колебаний одинакового направления. Векторная диаграмма Колебания гармонического осциллятора можно представить как а вращение вектора длины - а в плоскости чертежа около некоторой точки О.

О х Пусть дано: x1 = a1 Cos (0t + 1) и x = a Cos ( t + ) x2 = a2 Cos (0t + 2) Найти:

x = x1 + x2 с помощью векторной диаграммы, то есть выразить а и через а1, а2, 1 и 2.

a a - 2 2 a O x x 1 x а можно найти, используя теорему косинусов a2 = a12 + a22 + a1a2 Cos (2 - 1).

Найдем начальную фазу результирующего колебания a a2 a2 Sin a1 a1 Sinx1 = a1 Cos 1 x2 = = a2 Costg = (a1Sin1 + Sin2)/(a1 Cos1 + a2Cos2) § 7 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Одна и та же точка совершает периодические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Это происходит одновременно. Имеем параметрический вид (через t) записи уравнений Y x = a Cos (0t + ), y = b Cos (0t + ) O Y Пусть + =, = 0 = X O X Здесь дан параметрический вид (через переменный параметр t) уравнения траектории точки. Точка в плоскости x - y совершает какое-то движение. Найдем форму траектории y(x) исключив t.

Имеем x = a Cos (0t), y = b Cos (0t + ) Cos (0t) = x/a 1 - Sin2(0t) = (x/a)y/b = Cos (0t + ) = Cos(0t)Cos - Sin(0t)Sin = [(x/a) Cos] - [1 - (x/a)2]1/2Sin [1 - (x/a)2]1/2Sin = (x /a)Cos - y/b | возведем в квадрат обе части равенства [1 - (x/a)2]Sin2 = (x/a)2Cos2 - 2xyCos/ab - (y/b)Sin2 = (x/a)2 + (y/b)2 – (2xy/ab) Cos (**) Проанализируем полученное выражение (**) 1. = 0 (x/a - y/b)2 = 0 x/a = y/b y = bx/a - прямая 2. = ± (x/a + y/b)2 = 0 y = - bx/a - прямая 3. = ±/2 (x/a)2 + (y/b)2 = 1 – эллипс y Если частоты колебаний не b - совпадают (например, отличаются в /целое число раз), то графически a x получаются фигуры в виде горизонтальных и вертикальных /восьмерок (при n = 2; 1.2) и цепочек, называемых фигурами Лиссажу. По числу звеньев цепочек экспериментально осциллографически можно находить отношение частот колебаний. Направление колебаний определяется по возрастанию или убыванию косинуса.

x = a Cos (0t + ), y = b Cos (0t + ) t x y y /2 -/ § 8 Биения Пусть имеем два колебания одного направления с одинаковыми амплитудами, но незначительно отличающимися частотами (например, на 10%), тогда 1 =, 2 = +, x1 = a Cos(t), x2 = a Cos( + )t x = x1 + x2 = = a[Cos(t) + Cos( + )t] = = a 2 Cos{[t + ( + )t]/2} Cos{[t - ( + )t]/2} = = 2aCos(t + t/2) Cos(t/2)= ( <<, / 10раз) = = 2a Сos(t)Cos(t/2).

Если построить график такой функции, то роль меняющейся амплитуды может быть приписана А = |2а Cos(t/2)|. Заметим, что плавно меняющаяся функция будет искажена в меру отличия частот. Периодами двух периодических функций являются соответственно: высокочастотной - Т = 2/, низкочастотной - ТА = 2 / График представлен для = 100 Гц, = 10 Гц, А = 1, при этом Т 62,8 мс, ТА 0,63 с.

1..cos( 2.cos( 5 t ) 100 t ) 1.1 1.2 1.4 1.6 1.8 1 t Биениями называются Колебания амплитуды, образующиеся при сложении двух колебаний с мало отличающимися частотами.

§9 Ангармонический осциллятор Пусть U (x) = (kx2/2) - skx3/Здесь оставлены члены ряда по четвертый включительно U (x) = U (0) + U(0)x + U(0)x2/2! + U (0)x3/3! +...

U (0) = 0 (выбором начала отсчета), U (0) = F (0) = 0, U (0) = k, U(0) = -2sk U (x) (kx2/2) - skx3/ F (x) = - dU(x)/dx = - kx + skx2 md2x/dt2 = -kx + skxd2x/dt2 + 02x - s02 x2 =0. (*) (d2x/dt2 + 02x = s02 x2) Наличие члена х2 делает это уравнение нелинейным. Его решение будем искать в виде x = a (Cost + qCos2t) + x1 = a Cost + aqCos2t + x1. (1) Здесь q и х1 - два неизвестных параметра (для уравнения второго порядка). Для их определения подставим решение (1) в исходное уравнение (*) d2x/dt2 + 02x - s02 x2 =0. Вычислим вторую производную и квадрат неизвестного.

d2x/dt2 = a[(-2)Cost + (- 42)Cos2t] = - a2(Cost + 4qCos2t) (2) x2 = (a Cos(t) + a q Cos(2t) + x1)2 = a2Cos2 (t) + a2q2Cos2 (2t) + x12 + + (по парные удвоенные произведения).

Считаем q1 и x1 малыми и пренебрежем всеми членами, сомножителями которых они являются.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.