WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 |

Подразумевая волну-частицу, заметим, предварительно, что имея дело с решениями классического волнового уравнения мы определили интенсивность I излучения как среднее по времени от квадрата амплитуды волны (0 – амплитуда обобщенной координаты конкретно воплощается в амплитуды расстояния, напряженности электрического и магнитного полей, и т.д. и т.п.) и применяли комплексные числа как математический прием, облегчающий расчеты. Решением уравнения Шредингера, также волнового, служит величина = C exp[i (kr - t)], являющаяся комплексной. Рассматривая только его вещественную часть при анализе решения, можно потерять часть решения, поэтому необходимо быть осторожным в этом смысле.

Представим опыт x x x датчик источник экран (1) (2) (3) Результат взаимодействия пуль (частиц) и волн Пусть из источника вначале стреляют пулями (1) и (2), а затем, по мере надобности источник можно заменить на источник волн (или электронов, так как экспериментально доказаны их волновые свойства). График (1) – результат поочередного открывания щелей. Он одинаков для пуль, волн и электронов. График (2) описывает поведение интенсивности на экране, если открыть обе щели. Для пуль интенсивности просто сложатся. График (3) иллюстрирует поведение результирующей интенсивности. Если открыть обе щели для волн (и электронов) получится интерференционная картина. (Заметим, забегая вперед, что суть противоречивости явления описываемого соотношениями неопределенностей Гейзенберга (о невозможности одновременно точного знания координаты и импульса объекта) скрыты именно в этом противоречии поведения волн и пуль).

Для волн мы имели I1 ~ E12, I2 ~ E22, E2 = E12 + E22 + 2E1E2 Cos, = 1 + 2 + 12 Cos.

тогда I ||2, действительно ||2 = | e it + |2 = | e it|2 e 2 = e 2.

* = e it + e - it + = e 2.

Дифракционная (так же как и интерференционная) картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы оказываются в тех местах пространства, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Так как вероятность обнаружить частицу не может быть отрицательной, то Макс Борн (1926г.) предложил модель, согласно которой волновому закону подчиняется (x,y,z,t) – амплитуда вероятности (волновая функция, - функция) и она может быть комплексной, а выражение ||2 * назвал плотностью вероятности. Тогда сама вероятность обнаружить в момент t частицу в части пространства x, x + dx; y, y + dy; z, z + dz равна P = ||2 dx dy dz = ||2dV.

Здесь dV – элементарный объем. Так как вероятность нормируется обычно на единицу (вероятность обнаружить во всем возможном пространстве = 1), то ||2 dV = 1.

(по всему пространству) Заметим, что средние значения физических величин можно определить по формулам = ||2 x dV / ||2 dV, либо = ||2 x n / ||2.

6.2 О соотношениях неопределенностей Гейзенберга Итак, зависимость от координат и времени теперь (здесь) определяется через волновую функцию (r, t) и амплитуда должна быть истолкована в понятиях вероятности. Это значит, что частицу вероятнее всего можно обнаружить там, где амплитуда волновой функции максимальна. Более точно: квадрат модуля волновой функции в данной точке является мерой вероятности обнаружить частицу (например. с помощью небольшого прибора) вблизи этой точки.

Рассмотрим (r, 0).

1. Если начальная волновая функция такова, что ее амплитуда равна 0 всюду за пределами малой области, то можно утверждать что (в момент t = 0) частица находится в пределах этой области и ее положение известно довольно точно.

2. Если начальная волновая функция такова, что распространяется на большую область, в пределах которой ее амплитуда мало меняется, то частице нельзя приписать определенное положение в момент времени t = 0.

Примеры вещественных частей волновых функций (в общем виде комплексных) Среди примеров есть волновой цуг, для которого и вовсе отсутствует понятие волны. Для простоты рассмотрим гармоническую волну (она также может быть вещественной частью волновой функции).

p = k = h / x Согласно рисункам 1. Сколько-нибудь точно определенное положение частицы требует максимально короткого цуга волн.

2. Точно известный импульс требует достаточно протяженного цуга волн (в пределе монохроматическую волну, чтобы иметь точное значение ).

Вывод: эти требования взаимно исключают друг друга, так как нельзя описать точно p = h / его приходится заменить на p ~ h/x, либо на p = h/ !!! p ~ h p x ~ h.

Такое соотношение справедливо для монохроматической волны длинной или короткой. Если рассматривать волны-пакеты, то у таких волн с такими цугами неопределенность в импульсе p больше, чем p у монохроматической волны, тогда p x h. (*) Получили соотношение неопределенностей Гейзенберга Получим второе соотношение неопределенностей p = E / c = h / c.

Подставим в (*) h x /c h t 1 t 1.

Как можно видеть, соотношение является принципиально-существенным применительно к миру атомов, (по сравнению с миром привычных в обычной жизни человека размеров) и устанавливает пределы, за которыми принципы классической физики становятся не приемлемыми. Это естественно: "Классическая физическая система (с классическими импульсом и координатой), описываемая классическими динамическими переменными, которые якобы могут быть известны с произвольной точностью, является, конечно же, плодом абстракции и существует лишь в нашем воображении. В реальном мире таких систем нет.

Это подтверждают эксперименты в мире атомов. Описывая реальную систему классическими атомами, мы допускаем приближение, а соотношение неопределенностей показывает степень его справедливости".

Глава 4 Атомная физика твердых тел § 1 Типы связей атомов в твердых телах Рассмотрим процессы объединения отдельных атомов в твердые тела, когда в один см3, например, объединяются несметные количества атомов. Рост кристаллов как известно возможен из растворов и расплавов веществ. Отвердевание расплава происходит при его охлаждении. При этом от расплава отбираются, откачиваются горячие молекулы. Проследим процесс объединения атомов с энергетической точки зрения.

1. Атомы разведены достаточно далеко. Они свободны Eсвоб = Ei своб.

Их суммарная энергия складывается из энергии каждого атома.

2. Атомы сведены в твердое тело. Это им оказывается энергетически более выгодно и тогда Eсвяз < Eсвоб.

Сравнительно не плотно упакованы атомы цезия в твердом теле n = 0,91 см – 3. Довольно плотно упакованы атомы бериллия n = 24,7 1022 см – 3. Что удерживает атомы вместе Эти силы – электрические. Перечислим типы связей атомов в твердых телах.

1. Ионная связь (гетерополярная) – притяжение положительных и отрицательных ионов друг к другу. NaCl, Li F, K J и др. Энергию связи называют еще когезионной энергией.

Таблица когезионных энергий ионных кристаллов – Ec, 10 Li Na k Rb Cs Дж/молекулу F 1,68 1,49 1,32 1,26 1,Cl 1,38 1,27 1,15 1,Br 1,32 1,21 1,10 1,I 1,23 1,13 1,Рассчитаем когезионную энергию, приходящуюся на 1 моль NaCl:

E = Ec NA = 1,27 10 – 18 6,02 10 23 = 750 кДж.

2. Ковалентная или атомная связь (гомеополярная) – строение решетки, при котором число атомов ближайших к рассматриваемому атому равно валентности элемента. Валентные электроны атомов обобществлены (происходит насыщение валентности). Когезионная энергия составляет 700-кДж/моль.

3. Молекулярная связь (связь сцепления – слабая связь без насыщения валентности) – обусловлена силами Ван-дер-Ваальса. Почти все органические кристаллы, кристаллы из инертных газов, например Hg2, Ar, CH4. Когезионная энергия – 8 кДж/моль.

4. Металлическая связь – обобществлены 1-2 внешних электрона недостроенных оболочек. Эти электроны слабо связаны со своим элементом, обобществлены и ведут себя в кристалле подобно электронному газу. Между положительными ионами действуют силы отталкивания, а электроны уравновешивают эти силы и удерживают ионы в равновесии. Эти подвижные электроны обусловливают очень высокую электро- и теплопроводность металлов. (За метим, что сжиженные инертные газы также образуют металлическую связь и при сверхнизких температурах становятся металлоподобными. Так как они сферически высоко симметричны, то пришлось предположить при Т=0°К наличие так называемых нулевых колебаний (чтобы объяснить их способность объединяться в металлоподобную молекулу)).

5. Отметим отдельно водородную связь. Устройство атома водорода сходно с устройством атомов металлов, но имеет следующие особенности:

Ионный остаток Н – голый протон размером 10 – 13 см (1 F), в 105 раз меньше любого ионного остатка Водороду не хватает одного электрона для заполнения до устойчивой двух электронной оболочки (как у Не) Первый потенциал ионизации относительно очень высок: 13,59 эВ != 2 10 – Дж / атом = 1200 кДж/моль. Связь в Н2 похожа на ковалентную, но образует лишь одну ковалентную связь.

§ 2 Дифракция рентгеновских лучей По Брэггам У.Г. и У.Л. (1913г.) – кристаллы дают характерную картину рентгеновского излучения: для некоторых длин волн и направлений падения лучей наблюдаются интенсивные максимумы рассеянного излучения.

Представим себе кристалл, состоящим из симметрично расположенных образований (атомов) • • • • • • d • • • • • • d Sin • • • • • • • • • • • • Подсчет разности хода для двух разных лучей, отраженных от смежных плоскостей дает 2 d Sin, тогда условие максимума интерференции запишется в виде 2d Sin = n.

Это равенство называется формулой Вульфа - Брэггов.

По Лауэ кристалл состоит из тождественных объектов (атомов, групп атомов), размещенных в узлах решетки и каждый объект может рассеивать падающее на него излучение. Надо искать точки, в которых ощутим результат интерференции. Для удобства описания кристаллических структур были введены понятия прямой и обратной решетки, решетки Бравэ. Можно также говорить о примитивной решетке – ячейке Вигнера-Зейтца. Эти понятия справедливы как в обычном трехмерном пространстве, так и в пространстве обратном линейному трехмерному. Элементарную ячейку Вигнера-Зейтца для обратной решетки называют зоной Бриллюэна. Пусть G – вектор трансляции обратной решетки G = k1b1 + k2b2 + k3b3.

Согласно Лауэ расчеты интерференции максимумов производятся в к – пространстве (пространстве волновых векторов) k k • k d Cos = d n d • k d Cos = - d n Для конструктивной интерференции (образования максимума) необходимо, чтобы изменение волнового вектора K = k - k было равно одному из векторов обратной решетки. Разность хода двух лучей, смещенных друг относительно друга на постоянную решетки, равна d Cos + d Cos = d (n - n).

n, n - орты волновых векторов k, k. Тогда условие конструктивной интерференции в прямом пространстве имеет вид d(n-n) = m.

Умножая обе части равенства на 2 / получаем аналогичное условие для волновых векторов dK = d (k - k) = m 2, а так как узлы решетки смещены в кристалле на вектор трансляции, то следовательно d = R и R(k - k) = 2m exp [i (k - k)R] = 1.

Так как длина волны после рассеяния предполагается не меняющейся, то модули волновых векторов равны k = k = k • K k • k K/2 = k Cos = k Sin K = 2 k Sin d 2k Sin = 2m 2d Sin = m.

Получился тот же результат, что и у Брэггов.

§ 3 Образование энергетических зон в твердых телах Итак, ионные остатки в твердых телах образуют периодическую решетку, потенциал (потенциальная функция, потенциальная энергия электрона) в которой меняется в зависимости от расстояния периодически U(r) = U (r + R).

Период решетки (характерный период) составляет размер порядка 10 – 8 см.

U(r) R e • • • r Тогда уравнение Шредингера для электрона в стационарном случае имеет вид -2 2/ 2m + U (r) = E.

По теореме Блоха (без доказательства) решением такого уравнения является решение вида nk (r) = U n k (r) e i kr.

Экспонента отражает факт присутствия в решении плоской волны, а коэффициентом при экспоненте служит функция с периодичностью решетки Бравэ U n k (r) = U n k (r + R).

Вернемся к уравнению Шредингера для свободного электрона и возьмем от него одно измерение - 2 2 / 2m x2 = E (r).

Проверим дифференцированием решение вида = exp (i k x) / V - 2 (i k)2/ 2m = E 2k2 / 2m = p2 / 2m.

В твердом теле для электронов Блоха, то есть квази свободных электронов, перемещающихся внутри твердого тела после соответствующей подстановки можно получить похожее выражение E = 2 k2/ 2m = p2 / 2m.

р называют квазиимпульсом. Вид зависимости E (k) как для свободного так и для "блоховского" электрона по виду одинаковый – парабола. Свободный электрон-волна обладает определенным волновым числом. Для него разрешены все энергии непрерывного спектра, причем график характеризует собственно электрон E k Однако в твердом теле на электрон накладывается периодическое поле, составляющих твердое тело атомов. Этот факт приводит к изменению вида зависимости E(k). В точках k = K зависимость для энергии должна быть параболической.

E K/2 K k В точках пересечения парабол (например при k=K/2 как это показано для одномерного случая на рисунке) возникает так называемое вырождение (два одинаковых значения энергии для одного и того же значения k ). Можно показать, что это вырождение можно снять, но при этом, но при этом в данной точке возникает расщепление и обе кривые имеют наклон равный нулю (касательной к ним обеим является горизонталь. При учете всех брэгговских плоскостей в кристалле получается целая совокупность кривых (искаженных частей парабол) E E k -3K/2 -K -K/2 K/2 K 3K/Представленные рассуждения хотя и чрезвычайно "грубы", но, однако, ясно иллюстрируют факт появления в твердых телах зон запрещенных энергий для электронов, которые однозначно следуют из экспериментов с твердыми телами.

Заметим, что при наличии в кристалле различного рода несовершенств (например, инородных примесей или смещений собственных атомов) внутри запрещенных зон могут образовываться локальные уровни энергий для электронов или их дискретные наборы, что учитывается и широко используется при производстве оптоэлектронной техники.

Глава 5 Некоторые сведения по физике атомного ядра § 1 Радиоактивность. Закон радиоактивного распада 1.1 Виды радиоактивности Самопроизвольное изменение состава атомного ядра, происходящее за время существенно большее характерного ядерного времени 10 -22 секунды (время, в течение которого -частица пролетает диаметр ядра) называют радиоактивностью. Различают 1. - распад 2. - распад 3. Спонтанное деление атомных ядер 4. Протонный распад и др....

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.