WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 31 |

В настоящее время пользуются другим эталоном массы. Эталон массы, так называемый 1 кг массы, храниться в Севре под Парижем в международном бюро мер и весов, он представляет собой цилиндр диаметром 39 мм, высотой 39 мм из сплава - 90% Pt и 10% Ir. Плотность этого вещества, обладающего высокой стойкостью, однородностью и полируемостью, - 21 г/см.

Отметим, что 1с и 1м - естественные эталоны, а 1 кг единственный искусственно созданный эталон. С ним сравниваются прототипы для их изготовления и дальнейшего употребления. Принято обозначение массы – "m" или иное.

Импульсом (количеством движения) называется (по определению) произведение массы тела на его скорость.

Итак, первое понятие в динамике - масса, второе - импульс, [p] =кг м/с § 2 Законы Ньютона 1-й закон Ньютона. Закон инерции (по Ньютону).

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние (переводы “из Ньютона” выполнены академиком А.Н. Крыловым).

"Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным…".

( “Neuton I. ”Philosophia naturalis principia mathematica.”Londoni, 1687.”) Так писал Ньютон! Резюмируем:

• В теории Ньютона считается, что пространство Евклидово (свободное тело может бесконечно долго двигаться прямолинейно, через точку можно провести только одну прямую параллельно данной).

• В теории Эйнштейна (общая теория относительности, неинерциальные системы отсчета) пространство-время неевклидово. Частицы здесь перемещаются вдоль путей, которые при заданной кривизне пространства совпадают с линиями кратчайших расстояний между двумя точками (возможен вариант соглашения: мы как непосредственные участники движения не ощущаем кривизны пространства).

Прежде, чем формулировать последующие законы Ньютона целесообразно привести некоторые "определения по Ньютону".

1. “Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности ее и объему (иначе говоря m = V, то есть человечество в лице Ньютона шло к понятию массы через объем и плотность тел, что закономерно; вспомним понятие количества вещества; масса аддитивна - С.М.) 2. Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе (p = mv) 3. Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельное тело поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

4. Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного, прямолинейного движения”.

... и так далее, из подобных определений состоят Ньютоновы записи о движении.

2-й закон Ньютона Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Рассмотрим скорость изменения импульса, то есть dp/dt = d(mv)/dt = mdv/dt = md2r/dtdp/dt = F - называется силой F = ma, [F] = кг м/с2 = Н В динамике (по сравнению с кинематикой) из-за введения массы становиться существенной система отсчета, в которой исследуется задача - с ускорением движется тело или без.

Инерциальной будем называть систему, в которой выполняется закон инерции. Таким образом множество систем отсчета ( а это какие-то тела) движущихся относительно данной системы равномерно и прямолинейно все взаимно инерциальны. Системы, движущиеся с ускорением – не инерциальны.

3-й закон Ньютона Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе говоря - силы взаимодействия двух тел равны, действуют вдоль одной прямой и направлены навстречу друг другу FF § 3 Принцип относительности Галилея Законы классической механики инвариантны по отношению к любой инерциальной системе координат (инвариантны – "не зависят", справедливо с высокой точностью при скоростях много меньших скорости света v«c).

с - максимальная известная нам в природе скорость - скорость распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме с= 3 108м/с = 000 км/с. Постулирована точно: 299 792 458 м/с (по экспериментальным измерениям ошибка равна 62 ± 1,8 по данным 1973 г). Для сравнения космические скорости v1 = 8 км/c, v2 = 11 км/c, в ускорителях скорости элементарных частиц до 0,9с и более.

Рассмотрим две инерциальные системы, движущиеся друг относительно друга вдоль осей xx со скоростью v К – не штрихованная система, считаем ее неподвижной К - штрихованная система движется относительно К со скоростью v. Итак Дано:

r(t) - зависимость радиус-вектора от времени в К.

Найти:

r(t), v(t), a(t),... все в штрихованной системе координат для данного тела, движущегося со скоростью v относительно К 1. v = v + v (1) 2. Чтобы найти r(t) надо проинтегрировать (1) по времени. Перепишем в виде:

v Z K Z K dr/dt = dr/dt + v, dr = dr + vdt v интегрируем от 0 до произвольного X X момента времени Y t = t Y t t t dr(t) = dr(t) + v dt.

0 0 Имеем r = r + vt. Здесь vt - линейно зависящий от времени радиус-вектор штрихованной системы координат относительно начала не штрихованной.

3. Чтобы найти ускорение, надо провести дифференцирование (1) по времени dv/dt = dv/dt + d/dt(v) = dv/dt так как v = cst a = a То есть ускорение одинаково в этих двух системах отсчета. Заметим, что если бы скорость v была функцией времени, то системы координат не были бы взаимно инерциальны.

4. Поведение импульса.

Образуем формулы для импульса в К и К системах p =mv, p = mv = m(v + v) = mv + mv = p + pv 2. Сила F = ma, F = ma = ma = F F = F То есть, во всех инерциальных системах отсчета инвариантен второй закон Ньютона.

§ 4 Центр инерции системы тел. Теорема о движении центра инерции. Закон сохранения импульса Центром инерции (или центром масс) системы тел мы будем называть точку, определяемую, например, радиус-вектором R:

R = mi ri / mi - суммирование производится от i=1 до i=n – произвольного натурального числа R - радиус-вектор (координаты) центра инерции, mi - масса i-й частицы, ri -радиус-вектор i-й частицы. Так как масса аддитивна, то N n mi = m -масса всей системы mR = mi ri (*) i=1 i=Z m i ri R Y X 1. Найдем первую производную от (*) по времени m dR /dt = mi dri/dt m V = m vi P = pi (**) Результат такой, что импульс центра инерции, P, равен сумме импульсов, pi, частиц, составляющих систему.

2. Теорема о движении центра масс.

Найдем вторую производную от последнего выражения (**).

n dP/dt = dpi /dt ; dP/dt = F.

i=Здесь F - суммарная сила, которую можно представить как сумму сил внутренних и внешних.

n n m F = Flk + Fj k=1 l=1 j=Переберем все пары сил Flk, чтобы найти сумму внутренних сил взаимодействия между частицами, составляющими тело. Тогда, поскольку согласно третьего закона Ньютона все Flk + Fkl = 0, то каждой силе найдется равная ей по величине и противоположная по направлению противодействующая сила для любой пары частиц. Внешняя же сила приложена к центру инерции тела, следовательно Fj = Fвнеш = m a ц..и.

Вывод: (теорема о движении центра масс).

О центре масс можно говорить как о материальной точке, масса которой равна массе всего тела, и рассматривать движение этой материальной точки вместо движения всего тела в целом.

3. Закон сохранения импульса Пусть сумма всех внешних сил равна нулю Fвнеш = dp/dt =0 p = cst (t).

Если сумма внешних сил действующих на систему равна 0, то импульс центра инерции системы есть величина постоянная, не меняется со временем, то есть mv =cst, откуда следует, что и скорость центра инерции также является константой по времени.

Закон сохранения импульса в механике - важнейший закон физики в целом.

Запишем для замкнутой системы частиц pi = cst Для двух взаимодействующих частиц в любые моменты времени p1 + p2 = p1 + p2 = p1 + p2 =... = cst.

Отметим в заключение и забегая несколько вперед, что законы сохранения проистекают из:

Однородности времени - закон сохранения энергии.

Однородности пространства - закон сохранения импульса.

Изотропии пространства - закон сохранения момента импульса.

§ 5 Работа. Кинетическая энергия. Закон сохранения кинетической энергии.

Мощность Понятие работы максимально приближает нас к реальной практической жизни. В дальнейшем только через работу мы сможем понимать смысл многих физических величин и в частности энергии во всех ее проявлениях. По определению rA = Fdr rA = Fs = Fs Cos(F^s) (при F = cst) F r r r r s A = F r = F проекция (г) = г проекция.r( F) = F r Cos (F^r). В пределе dA = F dr, при этом полагаем dsdr.

Пусть F = cst A = F (r2 - r1) = F r, [А] = Н м = Дж.

Пример: Работа упругой силы F 1 2 2 A = F dx; F = -kx, [k] = Н/м2, A = - kx dx = - kx2/2| = - kx22/2 + kx12/1 1 Выбором начала отсчета обнуляем одно слагаемое (x1 = 0), а тогда опускаем индекс A = - kx2/О кинетической энергии Заметим, что, так как v = dr/dt и F = dp/dt dr = vdt и dp = Fdt, то dA = Fdr = F vdt = (dp)v = (mdv)v = d(mv2/2). T = mv2/2 называют кинетической энергией тела массы m, движущегося со скоростью v. Совершаемая работа здесь определяется изменением кинетической энергии тела. Если совершаемая работа равна нулю, то кинетическая энергия тела остается постоянной dA = 0, d(mv2/2) = 0 mv2/2 = Т = cst В этом смысле можно говорить о законе сохранения кинетической энергии.

О мощности N = dA/dt, [N] = Дж/с = Вт. N = Fds/dt = Fv Пусть масса является функцией времени (например, в смысле релятивизма).

Вычислим при этом условии кинетическую энергию. Дифференциал импульса в этом случае имеет вид:

dp = d(mr v) = d[mv/(1-v2/c2)1/2] = mdv/(1-v2/c2) + mv d[(1-v2/c2)-1/2] = m dv/(1- v2/c2) – (Ѕ)m v(1-v2/c2)-3/2(-1/c2)dv2 = m dv(1-v2/c2)-1/2 + mvdv2/2c2(1-v2/c2)-3/2.

Vdp = mv dv/(1-v2/c2)1/2 + mv2dv2/2c2(1-v2/c2)3/2 = dv2/2(1-v2/c2)1/2 + v2dv2/2c2(1- - v2/c2)1/2 (1-v2/c2) = [mdv2 (1-v2/c2) +(1/c2)mv2dv2]/2(1-v2/c2)3/2 = mdv2/2 (1-v2/c2)3/2.

Интегрирование проведено из состояния 1 в состояние 2. Таким образом, для релятивистской кинетической энергии получено выражение A = v dp = mdv2/2(1-v2/c2)3/2 = (-mc2/2)d(1-v2/c2)/1-v2/c2)3/2 = = mc2/(1-v2/c2)1/2| = mrc2| = (mrc2) = T2 - T1.

Tr = mrc2 = mc2/(1-v2/c2)1/2.

Заметим, что разложением в ряд Тейлора из этого выражения можно получить более привычное для нас нерелятивистское приближение.

Предварительно вычтем из релятивистского значения кинетической энергии массу покоя частицы E = mc2, имеем T = mc2[(1-v2/c2)-1/2 - 1] = mc2[1 + v2/2c2 +... -1] = mv2/2, ((1±)n = 1 ± n±..., «1).

§ 6 Единицы измерения механических величин [r, x, y, z, s] = м, [t] = c, [m] = кг, [v] = м/с, [a] = м/с, [p] = кг м/с, [F] = кг м/с2 = Н, [A] = [T] = кг м2/с2 = Н м = Дж.

Пико нано микро милли санти деци дека гекто кило 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 1 10 102 Мега Гига Тера 106 109 Приставки, которые чаще всего встречались автору в его работе:

1 пФ пикофарада 1 ТОм ТераОм 1 нм нанометр 1 ГОм ГигаОм 1 мкм микрометр 1 пс пикосекунда 1 мм миллиметр 1 мкс микросекунда 1 дм дециметр 1 мс миллисекунда 1 гПа гектопаскаль 1 мА миллиампер 1 кг килограмм 1 мкА микроампер 1 кВт киловатт 1 мВ милливольт 1 МВт мегаватт 1 км километр § 7 Консервативные и не консервативные силы В физике (и в частности в механике) консервативными называют силы, работа которых по любому замкнутому контуру равна нулю.

Электрический заряд +++ ЗЕМЛЯ РАКЕТА ° ° Земля Однородное электрическое поле Е Запишем аналитически определение консервативной силы A = Fds = 0, где - обозначение интеграла по замкнутому контуру L L Криволинейные интегралы вида: Fds, где F - произвольный вектор, L а ds - элемент контура общей длины L, называют циркуляцией вектора F по замкнутому контуру L.

L d d ds F Следствие.

Работа консервативных сил по перемещению тела из произвольной (·) 1 в (·) 2 не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. К таким силам относятся, например, сила тяжести, сила Кулона, сила упругости. Силы, не имеющие обсуждаемого свойства, относятся к неконсервативным силам.

Пример 1: диссипативные силы - трения и сопротивления, как это происходит, если тянуть тело по поверхности Fсопр. ds Здесь dA = Fds = Fds Cos = -Fds, то есть работа совершается против сил трения.

Ракета, взлетающая с поверхности Земли находится как в поле консервативных так и в поле диссипативных сил (сил по преодолению сопротивления атмосферы).

О трении качения в сравнении с трением скольжения.

F F тр тр Атгезия Атгезия почти в точке по поверхности Атгезия - сцепление (склеивание, слипание) тел, обусловленное межмолекулярным и межатомным электромагнитным взаимодействием.

Пример 2. Гироскопические силы: центростремительная сила, магнитная составляющая силы Лоренца. Для них всегда Fds A = F ds Cos/2 = FЛ = q v B Sin(B^v) r r r r r (B) r r r FЛ r r r r ds r r r v r r r r F = ma цс цс Fцс § 8 Потенциальная энергия. Закон ds FF сохранения полной механической энергии Мы говорили о работе как об изменении кинетической энергии тела. В этом смысле определение работы достаточно общо. Рассмотрим систему тел, в которой действуют только консервативные силы. Для них работа зависит лишь от координат, иначе говоря только от положения начальной и конечной точки рассматриваемого тела (или системы тел). Тогда в отношении работы, совершенной при перемещении тела из (·) 1 в (·) 2 в поле консервативных сил, можно записать A12 = A02 - A01 = (пере обозначим A01U1 и A02 U2) = U1 - U2 = -U.

Следовательно, работа и вновь введенная физическая величина находятся в отношении:

A = - U Здесь U = U(r) - функция только координат. Она называется потенциальной энергией. Потенциальную энергию отсчитывают от начала координат, которое выбирается произвольно для каждой конкретной задачи -U = AO2 - AO1 = AO2 - AO1 = cst Примеры расчета потенциальной энергии для разных полей.

1.Поле силы тяжести P = mg.

dA = Fds = P dx = -mg dx. Знак минус появляется, так как работа совершается против сил поля, а ускорение свободного падения, g, и возрастание координаты, x, направлены навстречу друг другу. В этом случае h dU = -dA = m g dx U = m g dx = m g h x g h 1. Энергия растянутой пружины F = - kx dU = - dA = -Fdx = kx dx x 0 x x x U = kx dx = kx2/2| = kx2/0 Если опустить штрих у x, имеем выражение в общем виде U = kx2/2.

Наглядную модель растянутой пружины можно распространить на любые деформируемые упругие твердые тела.

3. Поле гравитации F = G M m /r2.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.