WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |

С учетом размерности приплюсуем к полученному уравнению функцию радиус-вектора в виде потенциальной энергии ( и как оператор), определяющую классическое потенциальное силовое поле i /t = ( - 22 / 2m + U (r)).

Здесь так же как и С некая обобщенная координата (подобно использованной нами ранее ), о физическом смысле которой необходимо в дальнейшем поговорить.

Разделив время и координату способом (r, t) = (r) e - it.

Получим стационарное (не зависящее от времени) уравнение Шредингера i ( - i) (r) = ( - 22/2m + U(r)) (r) ( = ) (r) = ( - 2 2/2m + U (r)).

Таким образом, имеем уравнение Шредингера для электрона в зависимости от времени и координат, учитывающее корпускулярно-волновой дуализм электрона и с учетом внешнего потенциального силового поля произвольного вида - 2 2/2m + U(r) = i /t.

Если отбросить зависимость от времени у - функции относительно которого записано уравнение – получится стационарное уравнение Шредингера - 22/2m + U(r) =.

4.3 Конструирование уравнения Шредингера способом Энрико Ферми Заметим, что электрон (или вообще частицу с корпускулярно-волновыми свойствами) часто представляют в виде волнового пакета.

.

cos( 1.5 ) cos( 40 ) 0 1 2 0 модель волнового пакета Было так, что Шредингер некоторое время полагал, что никакого дуализма волн и частиц нет. Существуют только волны. Частицы же представляют собой суперпозицию этих волн. Из волн (монохроматических) всегда можно составить волновой пакет – такое волновое, что при наложении в определенный момент времени волны будут усиливать друг друга в какой-то малой области пространства. Вне этой области произойдет их практически полное гашение.

Согласно теореме Фурье (1768-1730 – математики давным-давно предоставили аппарат для этого случая) если задан интервал разложения -

k = 1 k = - То есть такую функцию f (t) можно разложить по тригонометрическим функциям. Коэффициенты определяются согласно формулам Эйлера-Фурье.

a k = (1/) f (t) Cos (k t) dt, k = 1,2,3,...

- b r = (1/) f (t) Sin(k t) dt, - C k = (a k – i b k)/2 = (1/2) f (t) e – i k t dt - Если t здесь время, то k выполняет в разложении роль частоты.

Наш волновой пакет, гармоники которого укладываются в малом интервале частот, можно представить в виде ( с заменой k на ).

a Cos[2(t – x / v())].

Пусть a > 0, тогда в точке x = 0 и при t = 0 должна иметь место положительная интерференция всех гармоник (главный максимум). Возьмем производную от фазы по частоте и приравняем к 0, чтобы найти групповую скорость.

d[2 (t – x/v)] / d = 0 t – x d(/v) / d = 0 t = x d(/v) / d 1/vгр = d(/v) / d, (t = x / vгр).

Используя утверждение об эквивалентности групповой скорости волнового пакета и скорости материальной точки, имеем Wk = E – U = mv2/2 1/v = [m/2(E – U)]1/2.

Приравняем выражения правых частей, представив предварительно энергию в виде E = h.

d(/v) / d = [m/2(h - U)]1/2.

проинтегрируем и обнулим константу интегрирования выбором начала координат /v = (v/2)1/2 2/h (h - U)1/2, v = h / [2m(h - U)] 1/2 = = / [2m( - U)]1/2.

Монохроматическая волна удовлетворяет волновому уравнению. В частности, одним из его решений является решение вида = e - it = e – i E t /.

Для стационарного случая после подстановки имеем 2 + 2/v2 = 0.

здесь зависит только от координат. Подставим в уравнение полученное значение скорости 2 + 2m( - U) / 2 = 0.

Введем зависимость от времени умножением на экспоненту e – i t, тогда e – i t =, /t = - i t = - / i t. Произведем замену.

2 + (2m/)(- /i t) – 2mU/2 = i /t = - 22 / 2m + U.

Данное уравнение аналогично уравнению, полученному формальным прибавлением потенциальной энергии.

Таким образом, решением данного уравнения Шредингера является комплексная функция (пси-функция) времени и координат. Забегая вперед скажем, что согласно интерпретации -функции частица не локализована точно в пространстве, но она с определенной степенью вероятности "размазана" в некоторой области пространства.

§ 5 Атом водорода Имеем уравнение Шредингера i /t = - 2 2 /2m + U (r).

Используется обозначение = - 22 / 2m + U (r), где под подразумевается оператор, называемый оператором Гамильтона, тогда i /t =.

Для атома водорода электрон можно рассматривать находящимся в потенциальном поле кулоновского вида U (r) = - qe2 / 40 r.

Решать уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода целесообразно в сферических координатах, учитывая хорошее сферическое приближение для системы протон-электрон, хотя, вообще говоря, электрон в атоме водорода не обязательно имеет круговую орбиту (а с учетом релятивистских эффектов это и вовсе не обязательно). В данном случае целесообразно ограничиться приближением сферической симметрии, так как это не должно исказить общий характер решений. Кроме того приходится пренебречь наличием спина у электрона.

С учетом сказанного запишем уравнение Шредингера в сферической системе координат.

5.1 Лапласиан в сферической системе координат z z = r Cos r y y = r Sin Sin x x = r Sin Cos Положение любой точки в пространстве можно задать пересечением трех плоскостей (в прямоугольной декартовой системе координат) или, вообще, трех произвольных поверхностей. Для сферических координат это:

1. Сферы с центром в начале координат z 0 < r < r y x r2 = x2 + y2 + z2 = cst 2. Концентрические поверхности прямых круговых конусов с полярной осью z и вершиной в начале координат z r 0 y x Cos = z /(x2 + y2 + z2)1/2 = z/r = cst 3. Полуплоскости, проходящие через ось z z 0 y tg = y/x = cst x В общем виде связь между декартовой и произвольной криволинейной системой координат (например, как в нашем случае сферической) запишется в виде x = x (q1,q2,q3), y = y (q1,q2,q3), z = z (q1,q2,q3), (*) (q1 = r, q2 =, q3 = ). Запишем квадрат расстояния между двумя точками пространства. Он будет одинаков для любой произвольной криволинейной системы координат.

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = hij2 dqi dqj (*) i,j hij называют коэффициентами Ламе, их совокупность определяет метрику системы координат. Продифференцируем выражения (*), чтобы найти коэффициенты Ламе перехода от декартовой к сферической системе координат.

dx = xdq1/q1 + xdq2/q2 + xdq3/q3, dy =..., dz =....

Подставим в равенство (**), учитывая при этом, что в обоих случаях мы остаемся в пространстве ортогональных систем координат (для которых касательные к поверхностям в точке пересечения взаимно перпендикулярны), то есть пусть hij = 0 при i j.

(xdq1/q1 +...)2 + (ydq1/q1 +...)2 + (zdq1/q1 +...)2 = [(x/q1)2 + (y/q1)2 + (z/q1)2] d2q1 +... = h12 d2q1 + h22 d2q2 + h32 d2q3.

h12 = hr2 = [(r Sin Cos )r]2 + [(r SinSin)/r]2 + [(r Cos)/r]= Sin2 Cos2 + Sin2 Cos2 + Cos2 = 1.

h22 = h2 = (x/q2)2 + (y/q2)2 + (z/q2)2 = r2 h = r h3 = h2 = r2 Sin2 h = r Sin.

Для одной обобщенной координаты изменение длины составит ds = hi dqi.

Элемент площади в этих криволинейных координатах (площадь криволинейной фигуры) будет равен dij = dsi dsj = hi hj dqi dqj.

Элемент объема равен d = ds1 ds2 ds3 = h1h2h3 dq1 dq2 dq3.

Градиент скалярной функции определиться как сумма производных по направлениям = a1/s1 + a2 /s2 + a3 /s3 = ai /si, где ai – единичные вектора, нормальные к поверхностям qi = cst, dsi = hidqi (сфера, конус и полуплоскость). Аналогично можно определить и дивергенцию вектора в произвольных криволинейных координатах, и лапласиан, который нам в данном случае необходим. Лапласиан в сферических координатах получится подстановкой коэффициентов Ламе в формулу для произвольных криволинейных координат = [ (h2h3/h1q1) / q1 + (h3h1/h2 q2) / q2 + + (h1h2 /h3q3) / q3.

Трудоемкая процедура подстановки опущена, имеем сф = (r2 / r) / r2 r + (Sin / ) / r2 Sin + + 2 / r2 Sin2 2.

5.2 Решение уравнения Шредингера в сферической системе координат Приближение сферической симметрии позволяет избавиться от зависимостей по углам и.

= (r, t) () Ф () cst сф (r, t) = (r2 / r) / r2 r.

Будем рассматривать также стационарный случай и опустим зависимость от времени, используя подстановку = (r) exp (- i Et/) 2m (E + qe2/ 40r) / 2 = - (r2 / r) /r2 r.

Можно показать эквивалентность (r2 /r) / r2r = (r / r + r2 2 / r2) / r2 = r / r r + + r(/r) / r = 2(r) / r r2.

Получим уравнение в виде d2 (r ) / r dr2 = - 2m (E + qe2/ 40r) / 2.

Пере обозначим e2 = qe2 / 40, r = 2 / me2 = rБ, E = me4 / 22 = ER.

Здесь rБ – Боровский радиус, ER – энергия Ридберга. После подстановки получим me2 d2 (2 / me2) / 2 d(2 / me2) = ( - 2m / 2) (me4 / 22 + + e2 m e2 / 2).

Сокращение дает d2() / d2 = - ( + 2/).

Пусть также = f. Получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка.

d2f / d2 = - ( + 2/) f.

Проведем подстановку вида f () = e - g ():

d2f/d2 = d(d(e - g ())/d) / d = e - ( d2g/d2 - 2 dg/d + 2g) d2g/d2 - 2 dg/d + (2/ + +2) g = 0.

Заданный нами параметр можно выбрать произвольно. Пусть 2 = -, тогда d2g/d2 - 2 dg/d + 2g/ = 0. (*) Решение представим в виде ряда g () = a k k dg/d = k a k k-1, k=1 k= d2g/d2 = k(k-1) a k k-2.

k= Проведем подстановку в уравнение (*). Пере обозначим предварительно k k+1 в последней сумме. От такого пере обозначения сумма не измениться с большой точностью k (k+1) ak+1 k-1 - 2 k a k k-1 + 2 f k k-1 = k=1 k=1 k= [k (k+1) a k+1 - 2 k ak + 2ak] k-1 = k=Ряд обратиться в 0, если выражение в квадратных скобках будет равно нулю, k>1. Получим рекуррентное соотношение.

ak+1 = 2 (k – 1) a k / k (k+1).

5.3 Квантовый характер решений уравнения Шредингера Выбирая a1, можно получить все члены ряда, удовлетворяющие уравнению (*), а с его помощью выписать и -решения уравнения Шредингера. При этом наиболее важно то, что решения будут удовлетворяться при дискретных значениях k. Имеем из рекуррентного соотношения = [k (k+1) ak+1 – 2 a k] / 2 k a k = - 2 = {[k (k+1) ak+1 – 2 a k] / 2 k a k}2.

То есть выражается через дискретные значения k. Если брать большие значения k, то определяться значения g () при достаточно больших расстояниях электрона от ядра атома водорода (то есть протона). Пусть k>>ak+1 2 a k /k = k ak+1 / 2a k = - 2 = - (ak+1/2ak)2 k2.

Более того, если выбрать = 1/n (то есть дискретной, раз есть дискретный характер зависимости от энергии), то при k=n ряд оборвется, так как в рекуррентном соотношении обратиться в 0 n-й член. Это означает, что мы получим заведомо конечные решения для функции f (g) = e - g () = e - a k, k=то есть для всего пространства от 0 до. Тогда, так как = 1/n - = 1/n2, n = 1,2,3,....

Следовательно и E = ER = - ER / n2 = - me4 / 22 n2.

Таким образом, волновая теория Шредингера позволила воспроизвести результат Бора прямо из основного уравнения Шредингера движения электрона. Имеем далее с учетом = 1/n n n n = f n () / n = e - / n g n () / = e - / n a k k /, (g n () = a k k).

k=1 k=1. Пусть n = 1 (основное состояние) g1 = a1, 1 = a1 e -, a1 = 1 1 = e -.

Если трактуется как вероятность ( в данном случае не нормированная, например, к единице), то максимальной является вероятность найти электрон ближе к протону (в самом протоне она не определена), и она экспоненциально спадает при удалении от протона.

2. Пусть n = g2 = a1 + a22 = - 2/2. [a2 = 2(k/2 - 1) / k(k+1) = (k=1) = - 1/2].

2 = ( 1 - /2) e - /2.

3. n = a2 = 2 (k/3 - 1) / k (k+1) = (k=1) = - 2/3, a3 = 2 (k/3 - 1)(- 2/3) / k (k+1) = 2/27, g = a1 + a2 2 + a3 3 = - 2 2 / 3 + 2 3 / 27, = (1 - 2/3 + 2 2/27) e - / 3.

График зависимости n () имеет вид для трех значений n = 1,2,3 такой, что с 0. e 0..e 0 5 10 15 20 25 2. 2.2.e 0.3 0.0 ростом возрастает количество корней и экстремумов Напомним, что при = 1 расстояние соответствует Боровскому радиусу.

§ 6 Смысл - функции и соотношение неопределенностей 6.1 О смысле - функции Итак, электрон в атоме частица-волна. Опыты по интерференции Дэвиссона и Джермера (1927) показали, что даже при пропускании по одному электрону при достаточной экспозиции (а не только сколько-нибудь существенного пучка) через кристалл никеля возникала интерференционная (или дифракционная) картина. Это доказывает, что и отдельные частицы обладают волновыми свойствами.

При прохождении соответствующей электронной волны через кристалл, она разбивается на несколько дифракционных пучков. Трудно допустить, что в каждом из пучков находится какая-то доля электрона. При этом счетчик электронов срабатывает по предположению при попадании в него целого электрона.

Несостоятельность модели частицы как волнового пакета во-первых состоит в том, что он сравнительно быстро "расплывается" со временем вследствие дисперсии фазовых скоростей. Во-вторых взаимодействие двух электронов как волновых пакетов в трехмерном пространстве и вовсе трудно объяснить.

Существует еще одно наблюдаемое в природе волновое образование, довольно быстро распространяющееся без изменения размеров и формы – солитоны. Приведем описание солитонов, записанное двумя разными людьми.

Шотландия, 1834 год, инженер: "Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась. Вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с бешенной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, то есть округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не снижая своей скорости... после одной или двух миль погони верхом... я потерял его в изгибах канала.... С тех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во всех случаях, когда жидкость оказывает сопротивление движению,...." Италия, 1908 год, Максим Горький: "Поднялась к небу волна высоты неизмеримой (во время землетрясения, С.М.), закрыла грудью половину неба и, качая белым хребтом, согнулась, переломилась, упала на берег и страшной тяжестью своею... смыла весь берег". Японское слово "Цунами" означает "Большая волна в гавани". Максим Горький наблюдал в данном случае цунами, которые в океане образуются как солитон и выбрасываются на берег, вызывая разрушения. Большинство цунами солитонного происхождения.

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.