WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 31 |

1 = 6563 2 = 4861 3 = 4340 4 = 4102 5 = Отметим одну решающую особенность линейчатых спектров – разности или суммы спектральных термов могут быть равны другим спектральным термам данного спектра. Спектральный терм – линия спектра, численно выраженная в длинах волн, частотах или спектроскопических волновых числах * = 1/.

Пример: имеем набор спектральных волновых чисел некоторого спектра. Составим суммы и разности.

*, см – 1. Пусть * Т, где Т – обозначение терма 82258,271 97491,282 102822,105290,584 15232,975 20564,23032,317 5331,528 7799,Составим суммы и разности некоторых термов Т2 – Т1 = 15233,01 = Т5, Т2 + Т8 = 102822,80 = Т3, Т6 – Т5 = 5331,60 = ТКак следует из процедуры, совпадение экспериментально найденных термов и результатов вычислений очень хорошее. Таким образом был открыт общий принцип, так называемый принцип Ритца. Все многообразие спектральных линий данного атома может быть получено путем парных комбинаций в виде сумм и разностей небольшого числа спектральных термов (согласно Ритцу по 5-ти термам).

Можно показать, что разность термов представима в виде Ti = Tk – Tm = T0 ( k2 – n2), а так как Т = = 1/, то 1/ i = 1/ k - 1/ n = 1/0 (1/k2 – 1/n2) или 1/ = RH (1/k2 – 1/n2).

Экспериментально были исследованы и аналитически выражены серии спектров для атома водорода.

k = 1, n=2,3,4,… - серия Лаймана (1916г.) 1/ = RH (1 – 1/n2) – это ультрафиолетовая серия.

k = 2, n = 3,4,5,… - серия Бальмера (исследована первой среди данных серий в 1885г.) 1/ = RH (1/22 – 1/n2) – это видимая серия.

k = 3, n = 4,5,6,… - серия Пашена (предсказана Ритцем в 1908г.) 1/ = RH (1/32 – 1/n2) – это инфракрасная серия.

k = 4, n = 5,6,7,… - серия Брэккета (1922) 1/ = RH (1/42 – 1/n2) – также инфракрасная серия.

k = 5, n = 6,7,8,… - серия Пфунда (1924г.) – также инфракрасная серия. И так далее. Все последующие серии является инфракрасными. Коэффициент RH получил наименование постоянной Ридберга для атома водорода. Заметим, что полученные формулы приближенно справедливы и для водородоподобных атомов таких как литий, натрий, калий, рубидий, цезий и франций, имеющих на последней оболочке один электрон.

Так как E = h = h c/ = h c Emn = h c (m* - n* ) = = h c (1/m - 1/n) = Em - En, то энергия квантов электромагнитного излучения может быть выражена через термы, то есть таблицы термов суть таблицы энергий. Вывод: наличие спектральных линий прямо указывает на то, что процессам обмена энергий внутри атомов свойственна определенная прерывистость, дискретность. Бор (Нильс Бор, датский физик, 1913) на основе изучения спектров и используя квантовую гипотезу Планка сформулировал свои постулаты.

1. Атом может существовать в определенных состояниях своего внутреннего движения – стационарных состояниях и при этом электрон в атоме находится на определенной «стационарной орбите».

2. Атом может переходить из одного стационарного состояния в другое. При переходе из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергий, атом испускает фотон (точнее электрон испускает фотон или, иначе, электромагнитную волну) с энергией равной:

h = = E1 – E2.

Обратный переход происходит при захвате атомом (а точнее электроном) фотона.

Вообще говоря стационарные состояния – нонсенс ( в данном случае удобная и очень наглядная модельная интерпретация), так как движущийся с ускорением электрон должен обмениваться энергией с окружающей средой ( например, поглощать или излучать фотоны). Заметим также, что у Бора нет ответа на вопрос о том, как происходит переход электрона с орбиты на орбиту.

Итак, существует совокупность значений энергий электрона в атоме (или как говорят самого атома) меняющихся дискретно, скачком.

§ 2 Опыт Франка-Герца Приведем экспериментальные факты, подтверждающие положения Бора.

Имеется в виду исследование возбуждения атомов – нахождение экспериментально потенциалов ионизации атомов, энергии, необходимой для отрыва электронов от атомов.

В опытах Фрака и Герца через исследуемое вещество – газ, пропускались электроны, ускоренные до различных энергий. Идея состояла в том, что если эти электроны будут возбуждать атомы при дискретных значениях своих энергий, то это и будет означать, что атомы (а точнее электроны связанные на атомах) действительно обладают стационарными состояниями. Условие эксперимента: отсутствие электронного сродства, склонности атомов к захвату электронов. Для таких исследований годны инертные газы и пары металлов. Приведем схему эксперимента.

K S A µA V _ + задерж < 0.5 В _ + p = 1 мм рт ст K S A В откачанном сосуде (электронной лампе) с катода K эмитируются электроны, проходят через пространство KS и SA, где S – сетка лампы, A – анод, попадают на анод и проходят дальше по замкнутой цепи. Между SA при этом выставляется задерживающий потенциал задерж. Вольтамперная характеристика в этом случае имеет вид I, отн ед. ток насыщения I~U 3/U 4,9 9,8 14,7 U, В Если заполнить лампу парами какого-либо (парами ртути, например, как это было у Франка и Герца или аргоном). На гладкой кривой появятся провалы.

Наличие провалов на вольтамперной характеристике, объясняется тем, что при энергиях, соответствующих минимумам происходит неупругое взаимодействие электронов с атомами, сопровождающееся возбуждением атомов. В этом случае электрон останавливается (в том и только в том случае, если он передает всю свою энергию атому без остатка) и ток в цепи резко падает. Заметим, что возбужденная ртуть при этом "светиться" в ультрафиолетовой области спектра = 253,7 нм. Сдвиг и наличие ширины у минимумов объясняются наличием проекций скоростей электронов (а следовательно и для энергий) на преимущественное направление от катода к аноду.

Понятно, что атомы с одним электроном на внешней оболочке ионизовать (то есть оторвать у них этот электрон) легче, чем, например у инертных газов, поэтому график зависимости потенциалов ионизации имеет характерный вид.

Потенциал ионизации He Ne Ar Xe Rn Li Na K Rb Cs Атомный номер (число электронов у атома) Таким образом опыт доказывает, что стационарные состояния обусловлены переходами электронов с одних орбит на другие.

( Различие потенциала ионизации и энергии возбуждения состоит в том, что в первом случае происходит полный отрыв электрона от атома, а во втором электроны внутри атома переходят на более удаленную орбиту).

Тогда схематически энергетическую структуру атома можно представить в виде:

E k=4 n=k=3 и т.д. n=серия Пашена (ИК) k=2 n=серия Бальмера (видимая) n=серия Лаймана (УФ) (основное состояние) На уровне основного состояния (n=1) электрона обладает минимальной потенциальной энергией по отношению к положительно заряженному ядру.

Иногда схему представляют в виде концентрических окружностей увеличивающегося радиуса, символизирующих орбиты электрона, между которыми осуществляются электронные переходы, чтобы подчеркнуть сферическую симметрию атома.

Можно резюмировать, что таким образом была получена феноменологическая теория, то есть теория логическим образом объясняющая явления, происходящие с объектами природы. В данном случае с атомами вещества, а следовательно и с веществом в целом. Квантовый характер природы – явление всеобщее, что доказывают опыты и к чему приводят логические умозаключения.

§ 3 Квантование по Бору 3.1 Квантование момента импульса Согласно гипотезе Планка энергия квантуется En = n = n h.

Если рассматривать атом как гармонический осциллятор – систему, в которой совершается периодическое движение заряженных частиц, то его полную энергию можно выразить в виде En = p2 /2m + m(q)2/2 = n.

Здесь p – импульс, q – координата, - частота. Разделим равенство на правую часть.

p2 /2mn + mq2/2n = 1.

В координатах p и q получили уравнение эллипса с полуосями a2 = 2n/n, b2 = 2mn p S = p dq b dq a q Отступление. Вычислим площадь эллипса как удвоенную площадь криволинейной трапеции.

a a x2/a2 + y2/b2 = 1 y2 = b2(1 – x2/a2), S = f(x) dx = 2 [b2(1 – -a -a a a - x2/a2)]1/2dx = 2b/a (a2 – x2)1/2 dx = b/a[x(a2 – x2)1/2 + a2 Sin – 1x/a]| = -a табличный интеграл -a ba (Sin – 11 + Sin – 1(-1)) = 2ba Sin – 11 = a b.

Вычислим площадь эллипса в обобщенных координатах p и q.

Sn = ab = 2 n.

Получилось, что площадь такого эллипса квантуется, то есть прямо пропорциональна натуральному числу n. Чтобы распространить это правило на другие физические величины проведем вслед за Бором сравнение.

Обобщенные координаты (по- Угловые координаты (вращательступательное движение) ное движение) p: (p = m dq/dt) – обобщенный M (M = rp) – момент импульса импульс (M = mr2 = I) q – обобщенная координата - угловая координата r – линейная координата p – обычный импульс (p = mr) Заметим, что площадь эллипса можно получить, если проинтегрировать по эллипсу как по замкнутому контуру (как это сделал Бор). Результат при этом будет тот же самый.

Sn = p dq = 2 n.

Для электрона, движущегося по эллиптической орбите, в одном из фокусов которого находится ядро атома (или по окружности), сила, с которой ядро действует на электрон, является центральной. Следовательно, для этого электрона выполняется закон сохранения момента импульса, а M = cst, тогда p dq = M d = M 2 2 M = 2 n M = n n= 1,2,3,….

То есть момент импульса квантуется.

M = me v r = n v = n / me r (*) v r d me 3.2 Боровский радиус и квантование внутренней энергии Вычислим радиус, с которым электрон обращается вокруг атома, исходя из классических представлений и выражения (*).

mv2/r = e2/40r2 (n/m)2m/r = e2/40 r = 40 2n2/e2m.

Вычислим радиус самой маленькой орбиты n = 1 (основное состояние) r1 = 10 – 11 м = 0,5. Его называют Боровским радиусом и обычно при расчетах используют значение r B = 0,529.

Внутренняя энергия атома водорода складывается из кинетической и потенциальной энергии электрона. Последняя берется с отрицательным знаком, ее отсчет ведется таким образом, что на бесконечности она равна 0.

E вн = E кин - E пот = mv2/2 - e2/4 0 r.

Преобразуем используя классические выражения для сил и Боровского радиуса с учетом его квантуемости.

mv2/r = e2/40r2 mv2/2 = e2/8 0r, E вн = e2 /80 rn - e2 /4 0 rn = = - m e4 / 2 (4 0)2 2 n2 = R*H (-1/n).

Пусть совершается переход из состояния с квантовым числом n в состояние с квантовым числом k E k - En = R*H (1/n2 - 1/k2) = = h = hc/ k n k>n 1/ = m e4 (1/n2 - 1/k2) / 2 (40)2 2c 3 = RH (1/n2 - 1/k2).

RH = 107 м – 1 = 10 5 см – 1 называют постоянной Ридберга.

Таким образом, замечательным является тот факт, что элементарная теория атома Бора приводит к той же формуле, что и экспериментально измеренные спектры. Численное значение постоянной Ридберга: R = 109678 см – 1.

§ 4 Волновое уравнение Шредингера 4.1 Электрон-волна Для наглядного толкования "таинственного" правила квантования Бора – де Бройль ( Луи де Б., французский физик 1923-1924) предложил такой способ:

на орбите электрона как волнового объекта укладывается целое число волн – n, и такая электрон-волна, возвращаясь в исходную точку, будет иметь ту же фазу и амплитуду, что и первоначально. Такая орбита и является стационарной орбитой в смысле Бора. С нее электрон не излучает, а волна обязана быть стоячей.

2R / = n (*) При этом де Бройлю пришлось предположить, что все частицы (из числа элементарных) обладают волновыми свойствами (сами являются волнами), а следовательно им можно приписать длину волны. Реализуем связь длины волны с импульсом частицы через волновое число.

p = E/c = h / c = h/ = k, 2R/ = k R = n.

Умножим обе части равенства k R = n на k R = n p R = n M = n.

Таким образом в этом месте смыкаются волновые и квантовые свойства и можно говорить о волнах-частицах.

Найдем длину волны электрона в этой модели и сравним ее с Боровским радиусом.

e = h/p = h / mv 2 10 – 12 м = 0,02, rB / e = 0,53 / 0,02 26.

Боровский радиус в 26 раз больше, следовательно предположения вполне разумны, то есть длина волны электрона может укладываться в Боровский радиус много раз.

Если говорить об экспериментальном подтверждении волновых свойств электрона, то они мало принципиально отличаются от опытов по интерференции и дифракции света, хотя с другой стороны они чрезвычайно трудоемки технически, так как потребовали высокой степени точности и изобретательности. Отметим одно: размеры регулярных препятствий должны были составлять ~ 0,02. Описание самих опытов мы опускаем. Характерные дифракционные картины для электронов экспериментально были получены К. Дж. Дэвиссоном и Дж. П. Томсоном в 1927-1928 годах.

Итак электрон можно описывать волной, то есть электрон подчиняется волновому уравнению. Свободный электрон можно описать с помощью решения уравнения плоской волны. Так как данное решение содержит косинус фазы, то обобщив косинус до экспоненты можно считать интенсивность такого волнового процесса пропорциональной этой экспоненте ~ e i (kr - t).

Заметим, что для обозначения электрона-волны (и других частиц) используются термины: фазовые волны, либо – волны вещества, либо – волны де Бройля.

Об электрон волне можно сказать, что это специальное волновое образование, соответствующее свободному равномерному движению частицы в определенном направлении с определенным импульсом p = k.

Однако, как правило, частицы не свободны, но находятся в условиях воздействия на них различных полей. Для начала разберем случай свободного электрона.

4.2 Уравнение Шредингера При конструировании волнового уравнения Шредингера (Австрия, 1926г.) воспользуемся тем, что одним из множества его решений реализуется решение вида волны де Бройля = C e i (kr - t). /x = C i kx e i (kr - t) = i kx, (kr = kxx + kyy + kzz) 2/x2 = - kx2, 2/y2 = - ky 2, 2/z2 = kz(2/x2 + 2/y2 + 2/z2) = - (kx2 + ky2 + kz2) 2 = - k2.

p = k k = p/ 2 = - p2 / 2 (*).

/t = - i, = = / /t = - i / (**), поделим почленно (*) на (**) 2 / (/t) = p2 / i 2 = (p2 / i ) /t.

Так как полученное уравнение предполагает наличие корпускулярно-волнового дуализма, а кинетическая энергия свободного электрона вычисляется по формуле = p2/2m, то при замене имеем 2 = (2m /i ) /t | i ( - 2/2m)2 = i /t.

В полученном выражении импульс или энергия как параметры отсутствуют. В определенном смысле оно утратило индивидуальные черты (записано не для конкретных импульса или энергии). Полученное уравнение есть уравнение Шредингера для свободной частицы.

С целью учесть потенциальную энергию взаимодействия электрона с внешней средой, проанализируем размерность полученного выражения.

[22/m x2] = Дж.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.