WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 31 |

Все тела вокруг нас в разной степени нагреты и передают путем излучения тепло друг другу в окружающем пространстве. Сильно разогретые тела – спирали лампочек, печей излучают видимый свет. Менее нагретые тела – красноватый, очень сильно – голубой. Известны также различного вида люминесценции – светлячки, гнилушки, люминесцентные лампы, как различные виды холодного свечения. Химические реакции – хемолюминесценция, ударная или катодолюминесценция, фотолюминесценция – результат поглощения электромагнитного излучения. Эти виды излучения находятся за рамками данного рассуждения.

При разговоре о тепловом излучении необходимо появляется понятие равновесного излучения. Повысим температуру тела – возрастет интенсивность излучения (иначе, мощность), понизим, – убудет. Из опыта следует: тела не могут самопроизвольно бесконечно охлаждаться или нагреваться. Если увеличить подвод тепла к телу, то увеличиться и излучение и установиться новое равновесие. Замкнутая равновесная система не охлаждается и не нагревается, возможны только флуктуации. При получении порции тепла система перейдет в новое равновесие. При постоянном поступлении тепла в незамкнутую систему излучение и количество поступающего тепла придут в равновесие.

Введем некоторые количественные физические величины, характеризующие состояние излучения.

w – объемная плотность энергии излучения (лучистой энергии), ее размерность – Дж / м3. Это энергия, приходящаяся на единичный объем пространства.

Образуем спектральную объемную плотность лучистой энергии, приходящуюся на единичный интервал частоты (линейной или циклической) или длины волны.

w = dw / d, w = dw / d, w = dw / d Такая многозначность возникла исторически из-за многозначности в характеристиках электромагнитного излучения. Здесь можно говорить об объемной плотности лучистой энергии, приходящейся на единичный интервал частоты ( Гц ) или длины волны ( 1 м, а чаще 1 мкм, 1 нм, …). Спектральная зависимость энергии обнаруживается, как известно, по экспериментальным фактом, согласно которым энергия фотонов прямо пропорциональна частоте электромагнитного излучения (или обратно пропорциональна длине волны излучения). Определим размерности трех введенных спектральных плотностей энергии.

[w ] = Дж / м3 м, [w ] = Дж / м3 Гц, [w ] = Дж / м3 м рад.

Объемная плотность энергии для всех трех вариантов вычисляется путем интегрирования по всем возможным частотам или длинам волн.

w = w d = w d = w d 0 0 Очевидно достаточно важное соотношение w d = w d = w d.

Экспериментаторы как правило предпочитают иметь дело с длиной волны, тогда как теоретики при расчетах предпочитают более удобную в данном случае циклическую частоту. Спектральная плотность лучистой энергии является также и функцией температуры. Рассчитаем поток лучистой энергии dФ, испус каемый за время dt с площадки dS внутри телесного угла d и излучаемый с частотами в промежутке от до + d.

d dS dS Cos dS dФ = E dS Cos d d dt Ф = dФ = E dS Cos d d dt.

Здесь E - излучательная способность (излучательность). Заметим, что полный поток можно получить интегрируя по всем возможным частотам и по полному телесному углу при заданных параметрах: промежутке времени и величине площадки. Прежде, чем сформулировать закон Кирхгофа воспользуемся законом сохранения лучистой энергии, приравняв падающую энергию энергии поглощенной и отраженной. Пусть внутри изолированной полости на площадку dS в пределах телесного угла d падает поток лучистой энергии I E, (1 – A)I d d dS тогда справедливо равенство dФI = dФI,A + dФE.

ФI – падающий поток лучистой энергии, ФI, A – отраженный поток лучистой энергии (отсчитываемый как доля падающего), ФЕ – собственный поток лучистой энергии (тот поток, который излучается будучи порожден самим телом).

Рассчитаем все эти потоки.

a. Падающий поток dФI = I dS Cos d d dt.

Здесь I - поглощательная способность тела (весь внешний поток, который падает на данное тело).

б. Отраженный поток dФI, A = (1 - A) I dS Cos d d dt.

Здесь А - доля поглощенного потока от падающего, тогда (1 - А) – доля отраженного потока от падающего.

в. Поток собственного излучения dФ = E dS Cos d d dt.

Исходя из условия равновесия (закона сохранения энергии), приравняв соответствующие части и учитывая, что площадка, телесный угол и время одни и те же, имеем I = (1 - A)I + E A I = E.

Здесь А характеризует поглощательную способность, Е - излучательную, а I - падающее излучение получим А = Е / I закон Кирхгофа (Густав Роберт, немецкий физик, 1859 г). Определение. Отношение лучеиспускательной способности к его поглощательной способности одинаково для всех тел и является функцией частоты и температуры. Отметим размерности вновь введенных физических величин [E] = [I] = Вт / м2 стерад. (рад/с) с = Вт / м2 с = Дж / м2.

Очевидно, что А безразмерно. Определение абсолютно черного тела. Тело, поглощательная способность которого равна 1, то есть которое поглощает целиком всю энергию падающего на него излучения называется абсолютно черным телом. При этом излучается абсолютно черным телом при его нагреве весь спектр частот, то есть все то, что и поглощается. Модель абсолютно черного тела часто изображают так § 2 Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина и формула Вина Стефаном (Чехия, 1879г) экспериментально установлен закон. Для черных тел излучательная способность пропорциональна четвертой степени температуры.

E ~ T4, E = T4, = 5,64 10 – 8 Вт / м2 К4.

О законе Вина. Вин показал, что спектральное распределение (то есть зависимость от частоты) плотности энергии подчиняется уравнению вида w = 3 F(/T), то есть ее можно представить в виде произведения куба частоты на некоторую функцию, которая, что существенно, зависит от отношения частоты к темпера туре. Если вычислить плотность энергии, просуммировав по всем частотам. получим w = w d = 3 F(/T) d = (x = /T, = x T, d = t dx) = 0 = T4 x3 F(x) dx = Tзакон Стефана-Больцмана (Б. Людвиг, 1844-1906, известный австрийский физик-теоретик).

Известна экспериментальная зависимость энергии излучения от длины волны тела, близкого к абсолютно черному телу (угольный стержень, просверленный внутри, с окошком, излучающий от внутренней стенки).

0.x 0.1.x e 0.x 1.x e 0.x 0.ex.

3.312996 0 1 0xx-длина волны Как это следует из графика, зависимость плотности энергии от длины волны излучения представляет собой кривую с максимумом. При увеличении температуры абсолютная величина энергии растет, а длина волны, соответствующая точке максимума энергии сдвигается в сторону уменьшения (что соответствует росту частоты или энергии квантов излучения). Ввиду специфики экспериментальных результатов целесообразно функцию Вина исследовать на экстремум.

В законе Вина перейдем предварительно к длине волны как аргументу вместо частоты.

w d = w d w = w d/d, = c/ - c d/2, d = cd/2 w = 3 F(/T) d/d = c4 F(c/T) / 5.

Чтобы найти максимум функции необходимо продифференцировать ее по аргументу, затем приравнять к 0 и вычислить значение аргумента, которое придает максимальное значение функции.

- 5 c4 F(c/ T) – c5 F (c/ T) / 7 T = 5 F (c/ T) = - F (c/ T) c / T. (*) Получилось трансцендентное уравнение. Обратить его в тождество можно либо подбирая аргумент численно, либо графически и таким образом найти то зна чение аргумента, при котором выражение (*) обратиться в тождество. Пусть такое значение найдено и c / m T = cst m T = cst = b.

Заметим, что b определяется экспериментально (с как можно более высокой степенью точности). Оно равно b = 2,90 10 – 3 м К.

Формулу m T = b называют также законом смещения Вина. Если Т, то, и наоборот, если, то Т.

§ 3 Формула Планка 3.1 Формула Релея-Джинса, классические представления Итак нам неизвестен явный вид функции Вина. Релей и Джинс, исходя из классических представлений рассчитали вид этой функции. Не приводя расчетов запишем вид этой функции.

wy = 8 2 kT / c3 или w = 2 kT / g2 c3 или w = 8 kT / 4.

Так как kT приблизительно соответствует средней энергии частицы при данной температуре, то иначе можно записать w = 8 2 <> / c3, <> = kT.

С другой стороны такая запись удовлетворяет виду функции Вина w = (8 3 k/c3)(T/) = 8 3k F(/T) / c3.

Однако при сравнении с экспериментально полученной зависимостью, очевидно, возникает несоответствие w = w d = 8kT d/4 = 8kT( - 1/3) |.

0 0 x x e x.10 6.0 1 2 0xУФ Видим ИК Теория Релея-Джинса и эксперимент Формула Релея-Джинса хорошо описывает правую от максимума часть графика (в данном случае x выполняет роль длины волны излучения). Но с точностью до «наоборот» – левую часть, то есть со стороны коротких волн (больших частот). Необходимо отметить, что исходя из классических представлений вывод по тем временам считался безукоризненным. Физик П. С. Эренфест “окрестил” возникшую ситуацию ультрафиолетовой катастрофой. Таким образом, классическая статистическая механика (наша статистическая физика), основным постулатом которой является теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы не применима к системам с бесконечным числом степеней свободы.

Макс Планк провел рассуждение не относительно излучения как это сделали Релей и Джинс, а по отношению к одномерному гармоническому осциллятору. Согласно модели Макса Планка вещество можно представить себе состоящим из гармонических осцилляторов, роль которых выполняют колеблющиеся атомы. Напомним, что средняя энергия частиц согласно классической статистике распределена между нулем и бесконечностью, а точнее говоря неким максимальным значением энергии, определяемым, к примеру, релятивистскими эффектами, непрерывным образом. То есть энергия в этой модели имеет бесконечное число состояний. Приведем расчет средней энергии. Функция плотности распределения Гиббса определяет вероятность части системы находиться в состоянии с определенной (заданной) энергией, = exp ( - ), = 1/kT <> = exp(- ) d / exp(- ) d = - d [ln exp( - ) d] / d = 0 0 = -d[ ln(- 1/ exp() | ] / d = - d[ln(1/)]d = 1/ = kT Проведенные математические операции легко проверить непосредственным вычислением.

3.2 Гипотеза и формула Планка Планк использовал функцию плотности распределения Гиббса, но предположил, что энергия частиц распределена в интервале 0 - дискретно, а не непрерывно = 0n, то есть порциями кратными некоторой минимальной порции энергии. Тогда при расчете средней энергии осциллятора необходимо перейти от интегрирования к суммированию. Найдем среднюю энергию осциллятора при этих предположениях.

<> = n 0 exp( - n0) / exp ( - n0) = - d[ln exp( - n0)] / d = = d[ln(1 – exp( - 0) = 0 / [exp(0 – 1)]. <> = 0 / [exp(0/ -1)].

В расчете использована сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии по n от 0 до exp( - n0) = 1 + exp(- 0) + exp (- 20) + … = 1 / [1 – exp( - 0)] со знаменателем exp( - 0).

Далее воспользуемся формулой Релея-Джинса. В ней среднюю энергию заменим на ту, которую получили данным способом.

w = 8 2 <> / c3 = (8 2 / c3)[0 / exp(0/kT) – 1].

Чтобы удовлетворить в полученной формуле для спектральной плотности энергии виду ~ 3 F (T/), Планк представил минимальную порцию энергии осциллятора 0 пропорциональной частоте с коэффициентом пропорциональности h.

0 = h, [h] = Дж с.

Константу h Планк назвал квантом действия, а в дальнейшем она получила нарицательное название постоянной Планка, это универсальная постоянная равна h = 6,6 10 – 34 Дж с.

Таким образом, формула Планка принимает вид w = 8h3 / c3 [exp (h/k) -1].

Формулу Планка также можно выразить через циклическую частоту или длину волны.

3.3 Анализ формулы Планка 1. Пусть h/kT << 1, тогда разложим в ряд экспоненту exp (h/kT) – 1 1 + h/kT + … - 1 = h/kT w = 82 kT / c3.

Получилась формула Релея-Джинса. Здесь реализуется режим малых частот (малых энергий) или больших длин волн 2. Пусть h/kT >> 1, тогда можно пренебречь единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе w = 8h3 exp(- h/kT) / c3.

Режим больших частот (больших энергий осцилляторов) или малых длин волн.

3.Найдем максимум функции Планка w = [8h3 / c3(exp(h/kT) - 1)] = (8h/c3) [32 / (exp(h/kT) – 1)] = 3(exp(h/kT) – 1) = h exp(h/kT) / kT.

Пусть h/kT = x. Получили трансцендентное уравнение вида 3(e x – 1) = x e x.

Если его решить графически или численно, то можно получить решение в виде числа xm = hm/kT = cst = 4,965.

Однако используют обычно другую постоянную, а именно hm/kT = h c/m kT m kT / h c = C = 0,m T = h c C/k (c – скорость света в пустоте).

Из экспериментов: m для Солнца (наше идеальное черное тело) m = = 5 10 – 7 м, температура Солнца (его наружных слоев) T = 6000 K. Зная, кроме того, постоянную Больцмана и скорость света в вакууме k = 1,38 10 – 23 Дж / К, с = 3 10 8 м/с можно оценить значение константы h = 6,6 10 – 34 Дж с. Пользуются также значение постоянной Планка, приведенной к одному радиану h/2 = 1, 05 10 – 34 Дж с / рад.

Так идея квантов обрела право на жизнь в процессе исследования теплового излучения как экспериментального, так и теоретического.

§ 4 О фотонах Пучек фотонов при проникновении в вещество и прохождении через него претерпевает изменения в результате взаимодействия с веществом. Помним, что пучок фотонов можно рассматривать как электромагнитное излучение и как поток частиц, а нам удобнее видеть в нем новое единство. Известны эффекты, определяющие различный характер взаимодействия фотонов и вещества.

1. Комптон эффект – упругое столкновение фотона с электроном вещества.

Часть энергии фотона передается электрону. При этом пучок фотонов частично ослабляется.

2. Рождение электрон-позитронной пары (е- - е+) в результате аннигиляции фотонов высоких энергий е- - е+.

3. Фотоэффект – фотон полностью поглощается электроном атомной оболочки.

Ситуация, при которой электрон в состоянии взять на себя всю энергию фотона имеет место для фотонов низких энергий начиная от видимого света и менее высокочастотное. В этом участвует и весь атом, что обеспечивает сохранение импульса взаимодействующей системы в целом.

Графически ситуация хорошо иллюстрируется по зависимости коэффициента поглощения µ от относительной энергии фотонов E / m0 c2, где m0c2 – энергия покоя электрона равная 8 10 – 14 Дж = 5 10 5 эВ 1,5 Фотоэффект Рождение µ, см – 1 пар 1,Комптон эффект 0,1 10 100 1000 E / m0 cНапомним, что энергия фотонов соответствует у ИК света 1 эВ, красный – 1,6 эВ, зеленый – 2 эВ, фиолетовый – 3,1 эВ, а для жесткого излучения - 10 4 эВ.

4.1 Фотоэффект Согласно ранним экспериментальным исследованиям.

1. Генрих Герц (1887) обнаружил, что освещение УФ светом отрицательного электрода в области искрового промежутка облегчает проскакивание искры.

2.

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.