WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 31 |

Зависимость от времени вторгалась в данное изложение постепенно. Последовательность выражений, в которых появлялась зависимость от времени такова:

div j = - / t – уравнение непрерывности, Ei = - dФ/dt – закон электромагнитной индукции, rot E = - B/dt – первый закон Максвелла.

§ 2 Токи смещения. Второе положение теории Максвелла Ранее нами было получено уравнение rot E = jпроводимости для стационарных (не зависящих от времени) полей. Ротор вектора H в данном случае в каждой пространственной точке равен плотности тока проводимости.

Рассмотрим вопрос о том каковы не стационарные (зависящие от времени) токи и какие явления им сопутствуют. Пусть имеем цепь с резистором и источником.

R B, i i = cst + E - B = cst По этой цепи может протекать постоянный ток, а он связан в свою очередь с постоянным магнитным полем. Рассмотрим другую цепь, имеющую в своем составе электрический конденсатор.

E + - ~ Если замкнуть переключатель на источник постоянного тока, то электрического тока в цепи не будет. Если же замкнуть цепь на источник переменного тока (синусоидального или иного), то электрический ток будет действовать в цепи, о чем может свидетельствовать загорающаяся лампочка. Причем лампочка будет гореть с переменной интенсивностью. Такой ток Максвелл назвал током смещения. Между обкладками конденсатора находится вакуум (или воздух), то есть ток смещения каким-то образом «течет» в пустом пространстве. Название «ток смещения» перешло от диэлектриков, где оно более удачно, так как там происходит смещение диполей в электрических полях. Необходимо помнить, что раньше существовала теория эфира, заполняющего все пространство, по которому якобы происходило перемещение света (а следовательно и всего электромагнитного излучения).

Согласно теории Максвелла в конденсаторе кроме электрического поля образуется связанное с ним магнитное поле как если бы между обкладками существовал ток проводимости с силой равной силе тока в проводящих частях схемы. Заметим, что осталось раскрыть обкладки этого конденсатора и мы выпустим электромагнитное поле в свободное пространство, при этом одна из обкладок конденсатора выполнит функцию передающей антенны.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим и связанным с ним магнитным полем. Аппроксимируем поле в конденсаторе как поле между бесконечными равномерно заряженными плоскостями.

E = /0 = 0 E = D, q = S = DS.

i = dq/dt = d(DS)/dt j = i/S = dD/dt, dD/dt = jсмещения.

Такой ток смещения существует в любой цепи, а также в вакууме и любой среде. В этом случае полную плотность тока для произвольной среды можно записать как сумму j = jпроводимости + jсмещения.

Сформулировать второе положение Максвелла можно, например, так: электрический ток смещения вызывает появление магнитного поля, вихревого по своей природе. Приведем определение Максвелла второго положения его теории. Переменное во времени электрическое поле вызывает появление вихревого магнитного поля. Рассудим о направлении магнитного поля, вызываемого током смещения.

D/t < 0 D – убывает, то левый винт у H D/t > 0 D – возрастает, то правый винт у H Ток смещения определяется не самим D, а его первой производной по времени. Ранее мы писали уравнение вида rot H = jпроводимости.

H, как выясняется, порождается не только током проводимости, но еще и током смещения, тогда rot H = j + D/dt.

§ 3 Значение теории электромагнетизма Максвелла Максвелл Джеймс Кларк, английский физик, уроженец Шотландии.

Впервые опубликована его теория в работе 1864 года «Динамическая теория электромагнитного поля». Основные положения этой теории включены также в «Трактат об электричестве и магнетизме» 1873 года.

Приведем цитату. «Для человеческого ума недоступна совокупность причин явлений. Но потребность отыскивать причины вложена в душу человека, и человеческий ум, не вникнувши в бесчисленность и сложность условий явлений, из которых каждое отдельное может представляться причиною, хватается за первое самое понятное сближение и говорит: вот причина.» Л.Н.Толстой «Война и мир».

В электромагнетизме обобщение шло от Кулона к Фарадею и далее к Максвеллу. Подсчитаем число уравнений и число неизвестных величин, фигурирующих в теории Максвелла.

div B = div D = rot E = - B/t rot H = j + D/t Распишем все векторные уравнения.

Dx/x + Dy/y + Dz/z =, (1) 1 2 Bx/x + By/y + Bz/z = 0, (2) 4 5 (Ez/y - Ey/z ) i + (Ex/z - Ez/x) j + (Ey/x - Ex/y) k = 7 8 = - (Bx i + By j + Bz k)/ t, (3,4,5) (Hz/y - Hy/z) i + (Hx/z - Hz/x) j + (Hy/x - Hx/y) k = 10 11 = jx i + jy j + jz k + (Dx i + Dy j + Dz k)/t. (6,7,8) Итого имеем: неизвестных – 12 (четыре вектора по три компоненты каждый), а уравнений – 8 в задаче по вычислению компонентов векторов напряженности электрического поля – E, электрического смещения – D, индукции магнитного поля – B, напряженности магнитного поля – H. Добавим к ним уравнения, связывающие искомые величины.

D = 0 E, B = µµ0 H, j = E, а также уравнение непрерывности div j = - / t.

В этом случае число уравнений превысит число неизвестных и по заданным распределениям объемной плотности заряда и плотности тока можно рассчитать поля B и H.

Уравнения Максвелла содержат в себе все основные законы поведения электрического и магнитного полей включая и электромагнитную индукцию и поэтому они являются общими уравнениями электромагнитного поля в покоящихся средах. Теория Максвелла объединяет, вообще говоря, известные факты.

Совершенно новым в теории Максвелла стало предположение Максвелла о магнитном поле токов смещения. Он теоретически предсказал существование электромагнитных волн, что блестяще доказано современным состоянием теле и радио коммуникации Часть 4 Оптика и атомная физика Глава 1 Электромагнитные волны § 1 Потенциалы электромагнитного поля. Волновое уравнение Имеем уравнения Максвелла в системе единиц СИ div E = /0, rot E = - B/t, div B = 0 (div H = 0), rot H = j + D/t Далее в этом параграфе будем работать в гауссовой системе единиц. Перепишем в гауссовой системе уравнения Максвелла.

div E = 4, rot E = - H / ct div H = 0, rot H = E / ct + 4j /c Теперь эти же уравнения запишем для вакуума. В этом случае равны нулю заряды и токи.

div E = 0 (1), div H = 0 (2) rot E = - H/ct (3), rot H = E / ct (4).

Ранее был определен скалярный потенциал в виде E = - grad (rot grad 0).

По аналогии можно ввести векторный потенциал такой, что H = rot A (5).

Подставим (5) в правую часть (3) rot (E + A/ct) = 0.

Тогда потенциальным оказывается все выражение в круглых скобках и его можно ( по аналогии) представить как градиент некоторой функции, то есть E + A / ct = - grad.

Здесь использовано то же самое обозначение, что и для скалярного градиента (изменена система единиц), функция по-прежнему скалярная, но в отличие от прежнего скалярного потенциала новая является и функцией времени.

Тогда, в отличие от электростатики, напряженность электрического поля E (при наличии вихревого характера поля) уже не представима как градиент некоторой скалярной функции, а записывается в виде E = - grad - A / ct (6).

Задача вычисления магнитной индукции (или напряженности магнитного поля) можно свести теперь к вычислению скалярного и векторного потенциалов и А.

Исключим из уравнений Максвелла B и H. Для этого (5) и (6) подставим в (4).

rot rot A = - 2A / c2 t2 - (grad /t)/c.

Справедливо соотношение rot rot A = grad div A - A ( = = div grad), которое проверяется прямым вычислением. Используем это соотношение A- 2A / c2dt2 = grad (div A + /ct) - 4j /c. (7) Подставим (6) в (1) div (- grad - A /ct) = 0 - - div A/ c t = 0. (8) Так как вектор-потенциал не определен, то, вообще говоря, его можно доопределить произвольным образом. Доопределим его согласно так называемому соотношению Лоренца, а именно div A + /ct = 0.

Тогда (7) перепишется в виде A - 2A/c2 t2 = 0, (9) а (8) представимо в виде - + 2/c2 t2 = 0. (10) Таким образом (9) и (10) являются уравнениями относительно скалярного и векторного потенциалов, и j являются функциями координат и времени.

Оператор вида - 2 /c2 t2 = называется оператором Даламбера (даламберианом), а соответствующее ему уравнение относительно произвольной векторной функции – уравнением Даламбера. Если рассматривать уравнения (9) и (10) в вакууме, как мы это и проделали (где нет ни токов ни зарядов), то они примут вид = 0, A = 0 или, например, - 2/c2t2 = 0.

Уравнение такого вида называют волновым. В математической физике существует точное решение этого уравнения.

§ 2 Уравнение плоской волны. Плоские затухающие и сферические волны 2.1 Уравнение плоской волны Под уравнением плоской волны мы будем понимать вполне определенную функциональную зависимость какой-либо характеристики волны (в нашем случае электромагнитной волны) (E, H, w, S, I,...) от координат и времени.

Пусть (кси) есть некая обобщенная характеристика электромагнитного колебания. Рассмотрим ее поведение вдоль одной из координат.

x = 0 = (0, t) = a Cos (t + ).

Здесь в решении отсутствует зависимость от координаты. Введем эту зависимость для обобщенной характеристики (обобщенной координаты). Пусть v – скорость распространения электромагнитной волны – групповая скорость, то есть скорость перемещения всей картины гармонического колебания (x или t) x = 0 x = x1 x Если наблюдать колебание в фиксированной точке координат, меняя время, или двигаться вдоль координаты при фиксированном времени, то картинки, то есть зависимости обобщенной координаты от координаты x и времени t, окажутся одинаковыми. Из точки x = 0 колебание через время придет в точку x1. Колебания расположенные в плоскости x1, перпендикулярной направлению распространения волны будут отставать по времени от колебаний в плоскости x = 0 на время. Тогда для точки x1 можно записать зависимость в виде (x1, t) = a Cos [ (t - ) + ], но = x1 /v или x/v, если x выбирать в произвольном месте на оси, тогда (x, t) = a Cos [ (t – x/v) + ]. (*) Это уже и есть решение уравнения плоской волны (в направлении оси x).

Справедливо для продольных и поперечных волн.

Преобразуем (*), учитывая /v = / = 2 / = 2 / = kx, [k] = м – 1, (v =, = 2).

kx, k, k называют волновым числом, получим (x, t) = a Cos (t – kxx + ).

Плоскую волну можно совместить с произвольным направлением.

Рассмотрим произвольное направление фронта волны в трехмерном пространстве. Выберем начало отсчета, направление оси x и радиус-вектор, проведенный из начала отсчета в произвольную точку волны.

(r, t) r l l = r Cos = r n n x (r, t) = a Cos [ (t - l/v) + ] = a Cos (t – k r n + ) = = a Cos (t – kr + ), ( = l/v, k = kn).

Здесь n – орт вдоль направления l – направления распространения волны (по кратчайшему пути из начала координат).

Тогда волновому вектору приписывается заданное направление – направление распространения волны, при численном значении, определенном ранее как k = 2 /, k = 2n /.

2.2 Фазовая и волновая скорости Пусть фаза волны – постоянная величина. Это возможно тогда, когда = cst ( = cst). В этом случае производная от фазы по времени есть 0.

d(t – kx + ) / dt = - k dx / dt = 0 vф = dx/dt = /k = = /T.

Таким образом, с фазовой скоростью перемещается фронт волны или, иначе говоря, поверхности (или точки) постоянной фазы волны. Это справедливо для строго монохроматических волн. Если волна не строго монохроматическая, то среднюю фазовую скорость можно рассчитывать как отношение средних значений величин = <>/ = <>/.

Если же отклонения от монохроматичности значительные, то понятие фазовой скорости теряет смысл. Скорость точек волновых фронтов является функцией волнового вектора (величины обратно пропорциональной длине волны, которая в каждой точке волнового процесса разная) и при непрерывном распределении для этой зависимости справедлива формула v = d/dk = v dk.

Скорость в этом случае называется групповой. Очевидно, что при линейной зависимости (k) можно использовать конечные приращения = /k, но vгр = d/dk.

Если точки среды, по которой идет волновой процесс существенно по-разному преломляют волну, то о такой среде говорят, что она является дисперсной, а волна диспергирует в ней. Дисперсия в переводе с латинского языка означает рассеяние, разбросанность.

В качестве иллюстрации здесь целесообразно привлечь амплитудную фазовую или частотную модуляцию. К примеру, при амплитудной модуляции несущая частота представляет собой как бы волновой пакет, сгусток энергии.

Также и в двух других случаях.

.cos( cos( 1.5 ) 40 ) 0 1 2 0 модель волнового пакета Скорость распространения такого сгустка и является групповой скоростью. Таким образом групповая скорость волн – это скорость переноса энергии волны.

При этом для гармонического колебания фазовая и групповая скорости совпадают.

2.3 Затухающие и сферические волны Решение уравнения плоской волны в виде (*) справедливо в том случае, если волна не поглощается средой. Пусть амплитуда волны убывает по закону экспоненты в зависимости от координаты a = a0 e - x.

1.x e.10 2.0 2 4 0xЗатухание амплитуды волны тогда (x, t) = a0 e - x Cos (t – kx + ).

График такой зависимости от координаты представляет собой затухающую косинусоиду.

Фронт сферической волны (небольшой кусочек которого на достаточно большом расстоянии представляет собой плоский фронт) на актуально больших расстояниях суть концентрические сферы с центром в источнике. Амплитуда сферической волны убывает по закону обратной пропорциональности с расстоянием. Энергия волны на единичной площадке сферы имеет все меньшую и меньшую плотность. Полная энергия волнового фронта как бы размазывается по все большей и большей сфере. Пусть r – радиус-вектор, тогда (r, t) = (a/r) Cos (t – kr + ).

a здесь уже не амплитуда в прежнем понимании, а некий коэффициент, численно равный амплитуде на единичном расстоянии от источника, а по размерности равный амплитуде, умноженной на размерность длины.

§ 3 Плоская электромагнитная волна Ранее нами было получено волновое уравнение. Здесь волновое уравнение будет получено с использованием решения плоской волны с обобщенной координатой. Построим уравнение, решением которого является решение вида (x, t) = a Cos (t – kxx + ).

Запишем вторые производные от данного решения по координате и времени 2 / x2 = - kx2 a Cos (t – kxx + ) = - kx2 / t2 = - 2 a Cos (t – kxx + ) = - 2.

Поделим левые и правые части 2 / x2 = kx22 / 2t2, k/ = 1/ = T/ = 1/v 2 / x2 = (1/v2)2 / t2.

Получили волновое уравнение для одномерного случая. В трехмерном случае будет = (1/v2) 2 / t2 ( = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2).

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.