WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 31 |

Рейнольдс для характеристики течения предложил следующую безразмерную величину Re = v l /, [] = Па с = кг/м с.

- плотность, v - средняя по сечению трубы скорость потока, - коэффициент вязкости жидкости, l - характерный размер для трубы.

Начиная с некоторого критического значения числа Re, течение из ламинарного (для данной конфигурации сечения трубы) переходит в турбулентное. Для круглого сечения это Re = 1000. Характер течения различных жидкостей или (газов) будет одинаков для одинаковых чисел Рейнольдса.

Замечание. Иногда пользуются понятием кинематической вязкости = / Re = vl/, [] = м 2/с.

§ 4 Формула Пуазейля Рассмотрим течение жидкости по трубе круглого сечения. Пусть течение ламинарное. Будем искать зависимость скорости течения жидкости в трубе от радиуса трубы.

R r l (1) (2) Выделим в трубе с текущей жидкостью воображаемый цилиндр. Так как движение жидкости равномерное, то сумма внешних сил, приложенных к этому цилиндру должна быть равна нулю.

Рассчитаем силы, действующие на цилиндр.

1. Основания цилиндра. Составим разность сил давления на основания (P1 - P2) r2. Боковая поверхность. На боковую поверхность действуют силы внутреннего трения (вязкости).

F = K/t = |dv/dr| Sбок = - 2 rl dv/dr.

Знак минус означает убывание скорости с ростом r. Сложим силы и приравняем их к 0 (силы трения препятствуют перемещению, которому способствуют силы давления).

(P1 - P2) r2 + 2rl dv/dr = dv/dr = - (P1 - P2) r/2l.

Интегрируем полученное дифференциальное уравнение.

dv = - (P1 - P2)/2 l rdr, v = C - (P1 - P2) r2/4l (*) Найдем константу интегрирования C по граничному условию v = (при r=R) = 0, то есть скорость движения у стенки жидкости равна 0, тогда C = (P1 - P2)R2/4 l (1).

Подставим (1) в (*) и преобразуем.

v = (1 - r2/R2)(P1 - P2)R2/4 l.

То есть v r2, следовательно, v(r) - парабола. В центре трубы при r = 0 скорость максимальна vмакс = v(0) = (P1 - P2) R2/4l v( r ) = vмакс(1 - r2/R2). (2) Вычислим поток жидкости (Q) - объем жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение трубы S.

dS R r r +dr Через кольцо (как это показано на рисунке) за 1с пройдет объем жидкости равный произведению площади кольца dS на среднюю скорость движения жидкости в точках кольца (v = l /t).

Замечание: в данном случае dQ - поток в единицу времени, м3/с, но если домножить его на плотность (что всегда можно сделать, так как плотность не меняется), то получим - м3 кг/с м3 = кг/с, то есть - ежесекундную массу. Итак dQ = dS v(r) = 2rdr v(r).

Подставим v (r) из (2) dQ = vмакс (1 - r2/R2) 2rdr R R Q = vмакс 2 (1 - r2/R2)rdr = 2vмакс [(r2/2) - (r4/4R2)] | = vмаксR2/2 = 0 =vмакс S/2.

Подставим значение vмакс из (2) Q = (P1 - P2)SR2/8l.

Полученное выражение носит название формулы Пуазейля. С учетом S = Rможно получить выражение вида Q = (P1 - P2) S2/8l.

Из формулы Пуазейля следует, что поток жидкости прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины при прочих равных условиях Q (P1 - P2)/l.

Расчет кинетической энергии потока жидкости dK = dm v2(r)/dm = dV, dV = dS v (r), dS = 2rdr dm = v (r) 2rdr dK = v3rdr.

Используем выражение (2) и для расчета кинетической энергии останется вычислить интеграл K = (P R /4l)3 (1 - r2/R2)3 rdr ([K] = Дж/с).

Работу, совершаемую жидкостью при движении можно вычислять по формуле A = P dV.

Чтобы перейти к интегрированию по радиальной координате (так как скорость зависит только от нее) произведем замену, получим dV = v 2rdr ([V] = м3/с), A = 2 P vrdr = = P2 R2/2l (1 - r2/R2)rdr.

Эффект Магнуса. (М. Генрих, 1802 - 1870, немецкий физик) Здесь скорость больше, давление меньше Здесь скорость меньше, давление больше Цилиндрическое тело приводится во вращательное движение внутренними средствами. Оно находится под воздействием потока частиц слева на рисунке (ветер). Возникает сила, действующая перпендикулярно направлению потока частиц, определяемая разностью давлений.

Глава 6 Строение и свойства кристаллов § 1 Простые кристаллические структуры. Плотность кристаллов и межатомные расстояния вердые тела подразделяются на тела аморфные и кристаллические. В кристаллических телах из атомов Т образуется регулярный строй, неизменный во времени. Этот регулярный строй (расположение) атомов в твердых телах называют кристаллической структурой. Иногда говорят: кристаллическая решетка или просто решетка. При этом говорят о регулярном (правильном) дальнем порядке расположения атомов, тогда как у аморфных тел реальным является только ближний порядок. Следует иметь в виду, что в реальных кристаллах дальний порядок реализуется лишь в относительно небольших областях - зернах. На границах таких зерен порядок меняется. Размер зерен составляет доли миллиметра. Если оценить межатомные расстояния (постоянную решетки) как 10А, тогда как 0,мм = 106 А, то количество атомов в такой цепочке составит 105 штук. Мы будем идеализировать весь кристалл, считая его бесконечным (подспудно подразумевая зерна).

1.1 О простых кристаллических структурах Атомам надо упаковаться в твердом теле наиболее плотно (вследствие сил взаимодействия), иначе твердые тела распадутся, и не будут таковыми.

Существуют различные виды связей атомов и молекул. Здесь мы будем априорно предполагать наличие таких связей.

Перечислим наиболее часто встречающиеся кристаллические структуры:

ПК - простая кубическая структура - атомы находятся в вершинах куба.

ОЦК - объемно-центрированная кубическая структура - к ПК добавлен атом в геометрический центр куба.

ГЦК - гранецентрированная кубическая структура - к ПК добавлено по атому в центр каждой грани.

ГЕКС - гексагональная структура с плотной упаковкой - слои шестиугольных тетраэдров с атомами в вершинах правильных шестиугольников.

Существует также много других структур.

Остановимся подробней на структуре типа алмаза. Структура типа алмаза образуется из гранецентрированной кубической решетки. Атом в одной из вершин куба и три ближайших соседних атома такой решетки, расположенные в соседних гранях куба, сходящихся к этой вершине, образуют правильный тетраэдр. В центре этого правильного тетраэдра помещается еще один атом. Также необходимо поступить и с тетраэдрами образованными у других вершин куба.

1.2 Плотность кристаллов и межатомные расстояния Координационное число – число ближайших к данному атому соседних атомов, тогда Структура Координационное число Типа алмаза Пк Оцк Гцк Гекс Природа устроена так, что при различных упаковках решетка в целом энергетически находится (для каждой отдельной упаковки) в своем равновесном состоянии. Чем меньше координационное число, тем больший объем приходится на один атом и тем более «рыхлой» является упаковка. Пример: - и - железо.

Координационное Упаковка и вид желе- Температура, °С число за 8 300 - < ОЦК - Fe ГЦК - Fe Скачек постоянной решетки плотности a Fe Fe ° ° 900 T, C 900 T, C Плотность кристалла можно связать с таким микроскопическим параметром как постоянная решетки. Постоянная решетки совпадает по смыслу с расстоянием между ближайшими соседними атомами только в случае простой кубической решетки. Ограничимся в данном случае представлением о постоянной решетки, как о некоем характерном расстоянии между соседними атомами в кристалле, тогда V = a3, где V - некоторый характерный элементарный объем в кристалле.

= m/V = m/a3 = nM/NАam - масса атомов в данном элементарном объеме M - молярная масса (или атомная) NA - число Авогадро, M/NА – масса одного атома n - количество атомов, приходящихся на данный элементарный объем (элементарную ячейку).

Более точно пишут:

= nM/kNAa3 a = (n M/k NA)1/3, в нашем случае k = 1.

Определим n для простой кубической ячейки. Для наглядности представим атомы в решетке согласно рисунку Для простой кубической ячейки за элементарную ячейку можно принять кубик, в вершинах которого находятся атомы.

Каждый атом в вершине на 1/8 часть принадлежит кубической ячейке, тогда, поскольку всего таких атомов 8, имеем n = 1.

Для ОЦК - решетки прибавится еще один атом в центре. Итого будет n = 2. Рассчитаем постоянную решетки для ОЦК решетки железа (т.е. - Fe).

a3 = n M / k NA 2 56 10-3/16,0210237,88103 210-29 м a 0,28710-9 м = 0,287 нм = 2,87 A.

Замечено, что ГЦК - решеткой обладают благородные газы и большинство металлов. В таблице приводятся постоянные решетки для некоторых элементов Элемент тип решетки постоянная решетки, А ПК (единственный - - Po - элемент с простой кубической решеткой при нормальных условиях) Fe ОЦК - не плотная 2,упаковка W ОЦК - не плотная 3,упаковка Ar (T = 4,2 K) ГЦК - плотная упа- 5,ковка Kr (T = 58 K) ГЦК - плотная упа- 5,ковка Xe (58 K) ГЦК - плотная упа- 6,ковка Ti ГЕКС - плотная упа- 2,ковка Be ГЕКС - плотная упа- 2,ковка § 2 Решетка Бравэ и ячейка Вигнера -Зейтца Необходимо более строго определить элементарную ячейку в кристалле иначе называемую примитивной ячейкой.

Примитивная ячейка:

такой минимальный объем пространства кристалла, который при всех возможных трансляциях заполнит пространство до бесконечности a R a R - вектор трансляции, ai - базовые вектора (одновременно все три - некомпланарные). Для произвольной точки трехмерного пространства можно записать R = n1a1 + n2a2 + n3a3. (1) ni - целые числа.

Первое определение решетки Бравэ:

бесконечная периодическая структура, образованная дискретными точками (узлами, атомами) и имеющая абсолютно одинаковый пространственный порядок и ориентацию независимо от исходной точки.

Второе определение решетки Бравэ:

трехмерная решетка Бравэ образована всеми точками с радиус- векторами R вида (1).

Термин “решетка Бравэ” применяется как ко множеству точек, так и ко множеству векторов, соединяющих эти точки. Иногда говорят, что решетка Бравэ понимается как множество трансляций, определяемых векторами.

Теперь можно вернуться к определению примитивной (элементарной) ячейки, основываясь на том, что параллельным переносом такой примитивной ячейки может быть образована вся решетка Бравэ.

Определение примитивной ячейки:

объем пространства, который, будучи подвергнут всем трансляциям, образующим решетку Бравэ, заполнит все пространство, нигде не перекрываясь и нигде не оставляя пустот.

Выделить примитивную ячейку не всегда легко. Это, вообще говоря, самостоятельная задача, так как существует множество разных и подчас очень сложных решеток. Ячейка Вигнера-Зейтца – одна из них: (обладает полной симметрией решетки Бравэ) Определение.

Ячейка Вигнера-Зейтца - наименьший многогранник, ограниченный плоскостями, проведенными через середины прямых, соединяющих ближайшие узлы.

На плоском рисунке плоскости заменены прямыми. Если в пространстве попытаться изобразить для ОЦК - решетки примитивную ячейку, то получим усеченный октаэдр.

Специалисты по физике твердого тела чаще интересуются всеми указанными построениями в пространстве - обратном линейному пространству. Это связано с тем обстоятельством, что в таком обратном пространстве проще перейти к пространству энергии и импульса для микроскопических объектов типа атом, электрон, фотон, а также квазичастиц: дырка, фонон, полярон и т.п.. При этом расчеты ведутся по формулам k =2/, p = ћk =2/, = h = hc/.

Здесь - длина волны, k - волновое число, p, - импульс и энергия частиц, ћ = h/2 - постоянная Планка.

Замечание о терминологии: Когда говорят “элементарная” или “условная” ячейка, то при этом не подразумевается примитивная ячейка. Обратная ячейка всегда определена по отношению к конкретной прямой решетке Бравэ.

§ 3 Кристаллические системы Рассмотрим все возможные типы симметрий решеток Бравэ по отношению к поворотам и отражениям. Такие типы симметрий носят название кристаллических систем или сингоний. Каждая из них представляет собой определенную совокупность осей и плоскостей симметрии.

1. Триклинная система (наименее симметричная из всех) Г t Параллелепипед с произвольными ребрами и углами, a b c, t - триклинная, 1 штука 2. Моноклинная система На боку- - прямой b Г, Г m m Прямой параллелепипед с произвольными основаниями = = /2, /2, a b c, m - моноклинная, Гmb - с атомами в двух гранях (центрированными основаниями), b - базовая, 2 штуки.

3. Ортогональная система (или ромбическая) Прямоугольный параллелепипед, = = = /2, abc. Г0 - ортогональный, Г0v - объемно-центрированный, Г0b - с центрированными основаниями - базоцентрированный, Г0f - гранецентрированный. b - атомы только в гранях основаниях, f - атомы в центрах всех граней, 4 штуки.

4. Квадратная система (или тетрагональная) Прямая призма с квадратными основаниями b = ac. Гq, Гqv. q - квадратная, штуки.

5 Ромбоэдрическая система (тригональная) Ромбоэдр - куб, сжатый вдоль его пространственной диагонали, Гrh, rh - ромбоэдрическая, 1 штука.

6. Гексагональная система Правильная шестигранная призма, Гh, h - гексагональная. Обязательно с атомами в центрах оснований - такова единственная реализация данной кристаллической системы, 1 штука.

7. Кубическая система Гc - Простая, Гcv - объемно-центрированная, Гcf - гране- центрированная, штуки.

Отметим, сколько величин необходимо указать, чтобы определить решетку Бравэ кристаллической системы. Прямые углы и равные стороны при этом не указываются.

Обозна- Количество Элементы Количество элеменчение реализуемых тов,необходимое для системы решеток дан- однозначного определеной системы ния системы Гt 1,,, a, b, c Гm 2, a, b, c Гo 4 a, b, c Гq 2 a, c Гrh 1, a Гh 1 a, c Гc 3 a Итого Кристаллограф Е.С.Федоров (1853 - 1919) показал, что может существовать всего:

c 36 кубических q 68 тетрагональных (квадратных) h 27 гексагональных rh 25 ромбоэдрических o 59 ромбических (ортогональных) m 13 моноклинных t 2 триклинных Итого Всего 230 пространственных групп, которые распределены по кристаллическим системам в соответствии с таблицей.

§ 4 Теплоемкость кристаллов Расположение частиц (атомов) в узлах кристаллической решетки отвечает минимуму их взаимной потенциальной энергии. Колебания вдоль произвольного направления можно представить как наложение колебаний вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. При расчете теплоемкости твердых тел по модели идеального газа имеем:

= ikT/2, i=3, U = NA 2 3 kT/2 = 3RT.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.