WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 31 |

При этом происходит процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания ее концентрации. Экспериментально установлено (Закон Фика) N dn /dz, где N число частиц, перемещающееся за единицу времени, а dn/dz - градиент концентрации в направлении оси z. Перепишем это соотношение в виде равенства, введя при этом размерный коэффициент D - коэффициент диффузии N = - D dn/dz S ([N] = c-1, [dn/dz] = м -4, [S] = м2 [D] = [м2/с]).

Здесь S - величина площадки, через которую происходит перенос молекул.

Рассчитаем число молекул, пролетающих через площадку S в единицу времени на одну координату и в одну сторону:

nS/6.

Тогда слева направо пролетает в единицу времени N1 = n1S/6, а справа налево N2 = n2S/6.

Изобразим схематично вид сбоку (посмотрим сбоку на ситуацию) z- z+ z n1 nПоследнее соударение молекулы, перед тем как она долетит до площадки S, произойдет на расстоянии - средней длины свободного пробега. Тогда, если выбрать начало координат на S и направить ось z слева направо концентрации частиц будут являться функциями z вида n1 = n(z-), n2 = n(z+) и число молекул перелетевших через площадку в одну сторону за единицу времени может быть вычислено в виде N = N1 -N2 = [n(z-) - n(z+)]S/6, а так как мало, то разложение в ряд Тейлора позволяет использовать приближение n(z-) - n(z +) = n(z) - dn/dz - n(z) - dn/dz = -2dn/dz N = -S dn/dz/3 = -DS dn/dz D = /3.

Замечание Пусть J = N/S тогда J = -D dn/dz Здесь J - плотность потока частиц, число частиц, пролетающих через единичную площадку в единицу времени. Пусть m0 - масса одной частицы Jm0 = M - масса всего переносимого вещества. Имеем nm0 = Nm0/V = M/V = - плотность вещества.

Получим соотношение M = -D d/dz.

Заметим в заключение, что в данном рассмотрении по сути дела речь шла о самодиффузии - перемешивании молекул одного и того же вещества (или молекул очень сходных по объему и массе).

§ 3 Теплопроводность. Коэффициент теплопроводности Здесь речь идет о переносе потока тепла (или энергии). Пусть в газе каким-либо образом поддерживается в различных его частях различная температура. То есть имеется градиент температуры. В данном случае через единичную площадку пролетает одинаковое число молекул в обе стороны, но эти молекулы имеют разную кинетическую энергию, по известной формуле E = i kT/2.

Если в газе (или иной среде) создать вдоль некоторой оси (пусть z) градиент тепла, то там возникает поток тепла, стремящийся скомпенсировать создавшееся неравновесное состояние. Этот экспериментальный факт можно отразить зависимостями вида:

Q S t dT/dz, где Q - теплота или энергия (Дж), или q S dT/dz, где q=Q/t - мощность, поток тепла (Дж/с = Вт), или q dT/dz, где q=Q/t S - плотность потока (Дж/с м2 = Вт/м2).

Чтобы поставить знаки равенства необходимо ввести коэффициент, размерность которого определяется из формулы, например q = - S dT/dz, [] = Вт/м К.

Чтобы к этому процессу не примешивалась диффузия, необходимо сохранять неизменным число молекул пролетающих через площадку S. Тогда число молекул пролетающих за одну секунду в одну сторону равно:

N = nS/6.

Рассчитаем поток тепла, проходящего через площадку. Будем исходить из предположения, что каждая молекула переносит энергию равную E = i kT/2, соответствующую температуре в том месте, где произошло ее последнее соударение q = N - N = N ( - ) = (ikT1/2 - ikT2/2)nS/6.

E1 Ez- z+ 0 z T1 TT1 = T(z-), T2 = T(z + ) T1 - T2 = T(z-) - T(z + ) = T(z) - dT/dz - T(z) - dT/dz = -2dT/dz.

При разложении в ряд Тейлора использована малость длины свободного пробега по сравнению с расстоянием, на которое происходит перенос тепла.

q = -(1/3)nS(ik/2)dT/dz, i k n /2 = i n k NA/2NA = (iR/2)n/NA = Cv n/NA = Cv N/VNA = Cv m/VM = cv.

i - число степеней свободы, k - постоянная Больцмана, n - концентрация, M - масса одного моля, m - масса, NA - число Авогадро, R - газовая постоянная, Cv - молярная теплоемкость, cv = Сv/M - удельная теплоемкость, - плотность вещества.

Таким образом, для мощности при переносе тепла имеем выражение q = - (cv/3) S dT/dz = cv/3.

Заметим также, что данный расчет и полученные формулы справедливы для молекул сходных по размерам.

§ 4 Динамическая вязкость. Коэффициент вязкости В данном случае происходит перенос импульса молекулами за счет так называемых сил внутреннего трения. Чтобы понять суть происхождения внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя вещества некоторой толщины z z K1 uz K2 um = m1 = mu1, u2 - скорости упорядоченного движения слоев, а K1, K2 - импульсы слоев. Запишем переносимый импульс двумя способами K* = - St du/dz, ([K] = кг м/с, [] = Н с/м2 = Па с) K=K*/t K =- S du/dz, ([K] = кг м/с2).

Здесь - коэффициент, уравнивающий левую и правую части. Используем далее последнее выражение. Через площадку S в единицу времени из одного слоя в другой переходит число молекул N = nS/6.

Переходя из одного слоя в другой, молекула либо теряет, либо приобретает импульс, а также и весь слой (через одну частицу - ближайшему окружению и далее - всему слою). Запишем величину импульса, передаваемого в единицу времени через площадку S K=Nmu=nSmu/6, K1 - K2 = K = N (mu1 - mu2) = nSm(u1 - u2)/6.

Свое последнее соударение молекула претерпевает на расстоянии свободного пробега z u(z+ ) u(z) K = nSm[u(z-) - u(z+)]/6 = - (1/3)nSmdu/dz.

nm = Nm/V = M/V= (m - масса одной молекулы, М-масса, V - объем) K = - Sdu/3dz = /3.

Приведем сравнительную таблицу явлений переноса Изменяющаяся величина Градиент Название явления (в единицу времени) (коэффициент) Число частиц концентрации Диффузия N,с-1 dn/dz, м-3/м (D) Энергия частиц температуры Теплопроводность q, Дж/с dT/dz, K/м () Импульс частиц скорости Вязкость K, импульс/с = кг м/с/с du/dz, м/с/м () § 5 Перенос заряда В среде со свободными носителями заряда (электронный газ в металле или полупроводнике, ионы в газе или жидкости) приложим в направлении z слабое однородное электрическое поле E. Пусть jz - средний электрический заряд, пересекающий в единицу времени единичную площадку в направлении z.

jz называют плотностью электрического тока или плотностью потока зарядов [jz] = Кл /м2с. Пусть q - заряд одной частицы, N - число частиц, пролетающих через единичную площадку в единицу времени, тогда jz = Nq.

С другой стороны jz E. Чтобы поставить знак равенства необходимо ввести коэффициент jz = q E. (1) Этот коэффициент пропорциональности q называется удельной электрической проводимостью вещества. Заметим аналогию N = nS/6 jz = Nq = q nq др (N = nqдр). (2) В выражении (2) отсутствует численный коэффициент 1/6, так как движение всего заряда упорядочено и направлено вдоль одной координаты. Скорость др в данном случае называют дрейфовой. Это скорость дрейфа зарядов в слабом электрическом поле.

Запишем уравнение движения частицы согласно 2-го закона Ньютона mdv/dt = qE, после интегрирования - v = qEt/m + v0.

Произведем усреднение. Тогда v0 = 0, как скорость в начальный момент времени, t = - среднему времени свободного пробега, а v заменяется на др др = qE/m.

Приравняем правые части (1) и (2) и подставим туда значение дрейфовой скорости q E = q nq др = q2nqE / m.

Отсюда получим значение удельной проводимости, выраженное через микроскопические параметры q = q2nq/m.

Так как = /др = 1/2dэфф2nдр, то q = q2nq / m2dэфф2nдр, где n - концентрация всех частиц, обусловленных столкновениями, а nq - средняя концентрация заряженных частиц. Они могут совпадать.

Глава 5 Гидродинамика §1 Понятие о гидродинамике 1.1 Модель сплошной среды одержание гидродинамики составляет изучение движения жидкостей. Все рассуждения, как правило, справедливы и для газов, хотя С здесь используется другое название - аэродинамика. Субстанция рассматривается при этом как сплошная среда. Если в гидродинамике говорят о смещении некоторой частицы, то речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента континуального объема. При этом, сколь маленький объем ни взять, в нем частичек предполагается актуально много (столько, сколько нам нужно), чем и хороша такая идеализация частичек, которые и сами в свою очередь состоят из воображаемых частичек всегда в достаточном количестве. Элемент такого объема можно рассматривать как точку, имеющую массу. Характеристиками жидкости здесь являются скорость v = v(x,y,z,t), давление P = Р(x,y,z,t), плотность = (x,y,z,t).

Подчеркнем, что скорость (давление, плотность) рассматриваются в каждой данной точке пространства с координатами (x,y,z) в момент времени t и относится не к частицам жидкости, а к точкам пространства. Температуру можно считать как неизменной, так и любой удобной для данного рассмотрения.

Плотность считаем неизменной вдоль всего объема жидкости и в течение всего времени движения. Иначе говоря, жидкость у нас несжимаемая. Сжимаемостью называется способность вещества (тела) изменять свой объем под действием всестороннего давления.

клапан Сжимаемость = (V/P) - изотермическая, адиабатическая. Пользуются понятием сжимаемости в виде = - V/VP, Па-1. Для примера в таблице приведены коэффициенты сжимаемости некоторых жидкостей Вещество P, атм t°C, 10-6 атм-H2SO4 0 1-16 302,C2H5OH 20 1-50 Hg 20 1-10 3,1.2 Уравнение непрерывности Пусть имеем объем V0, тогда масса жидкости в нем m = dV. (1) V Пусть f - площадь поверхности, ограничивающей объем V0, а df - векторный элемент этой поверхности (с направлением вне (+) или во внутрь (-) ).

v d f Здесь v - длина в единицу времени, тогда dV0 = v df, dm = dV0 = v df, m = v df. (2) f Здесь m - масса вытекающей из объема V0 жидкости или втекающей в него, а f - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V0. Выражение (2) характеризует массу жидкости, заключенную в данном объеме.

Получим из (1) массу, меняющуюся со временем в данном объеме жидкости dm/dt = d[ dV]/dt.

Тогда d[ dV]/dt + v df = V0 f На основании теоремы Остроградского-Гаусса преобразуем интеграл по замкнутой поверхности в интеграл по объему ( g ds = div g dV), где div g = g i /dxi, g i - компонента данного s V i =вектора, xi - компонента радиус вектора.) v df = div (v) dv f Vd[ dV] /dt + div (v) dV = [/t + div (v)] dV = V0 V0 VТак как V0 - произвольный объем, то и /t + div (v) = 0.

Получено так называемое уравнение непрерывности. В данном случае оно характеризует закон сохранения вещества. Часто используют v = j - плотность потока, [j] = кг/м2с. В нашем случае плотность потока массы жидкости (а может быть: газа, частиц и т.п.).

1.3 Об уравнении Эйлера Имеем определение давления P = dF/dS продифференцируем обе части по оставшейся координате | d/dx dP/dx = dF/dV = Fед. об..

Здесь Fед.об. - сила, приходящаяся на единичный объем, учтем ее векторный характер Fед.об. = Fxi + Fyj + Fzk = (P/x) i + (P/y) j + (P/z) k = grad P.

В состоянии равновесия Fед.об. = grad P.

Если равновесия нет, то можно записать уравнение движения согласно второму закону Ньютона dv/dt = Fед.об. - grad P, где v - скорость единицы объема, а если учесть и силу веса жидкости, имеем:

dv/dt = Fед.об. - grad P + g.

Полученное выражение носит название уравнения Эйлера.

1.4 Теорема неразрывности струй Картина тока жидкости представляется полем вектора скорости. Каждая линия тока является касательной к вектору скорости в данной точке. Густота линий тока пропорциональна величине скорости. Часть жидкости, ограниченная линиями тока называется трубкой жидкости. Вектора скорости не пересекают стенок трубки тока как касательные к ним.

S1 vS2 vОпределение теоремы неразрывности струй:

S v = cst Произведение величины сечения, проведенного через трубку тока в произвольной ее точке на среднюю скорость жидкости в этом сечении,есть величина постоянная.

Следовательно S1v1 = S2v2 =... = Sivi =...

§ 2 Уравнение Бернулли Вообще говоря, течение жидкости в трубке тока может быть произвольным. Течение жидкости называется стационарным или установившимся, если вектор скорости в каждой точке пространства текущей жидкости остается постоянным.

Рассмотрим трубку со стационарным течением. Пусть трубка ограничена стенками и сечениями S1 и S2. За время t сечения переместятся на длины l1 и l2.

l Slh1 S2 hЗдесь h1 и h2 - высоты центров масс элементов объемов трубки тока над заданным уровнем. Согласно теореме о неразрывности струй S1v1 = S2v2, S1l1/t1 = S2l2/t2, но так как t1 = t2 S1l1 = S2l2 V1 = V2.

То есть элементарные объемы жидкости, образующиеся около сечений S1,Sза один и тот же промежуток времени равны друг другу.

1. Рассчитаем кинетическую энергию элементарных объемов K1 = m1v12/2 = V1 v12/2, K2 = V2v22/2. Рассчитаем потенциальную энергию относительно заданного уровня W1 = m1gh1 = V1gh1, W2 = V2gh2.

Для того чтобы рассчитать полное приращение энергии при переходе жидкости от объема V1 к объему V2 сложим кинетическую и потенциальную составляющие и найдем разность энергий между вторым и первым состояниями E = E2 - E1 = V2v22/2 + V2gh2 - V1v12 - V1gh2.

Данное приращение энергии должно равняться совершаемой над объемом работе при его перемещении. Работа давления на боковые стенки равна 0 (здесь перемещения нет). Остается работа за счет разницы давлений на торцах.

A = P1S1l1 - P2S2l2 = P1V - P2V, E = A v22/2 + gh2 - v12/2 - gh1 = P1 - P2.

Произведено сокращение на элементарный объем, который в данном случае остается одинаковым.

v22/2 + gh2 + P2 = v12/2 + gh1 + P1.

Так как сечения выбирались произвольно, то v2/2 + gh + P = cst. (1) Это выражение будет точным при S 0.

Определение В стационарно текущей жидкости в отсутствие внутреннего трения вдоль любой линии тока справедливо уравнение (1), которое называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей.

Следствие.

При h1 = h2 (случай горизонтальных линий тока) уравнение имеет вид v12/2 + P1 = v22/2 + P2.

Тогда, если v1 > v2, то P1

Пример: Водоструйный насос жидкость здесь P

§ 3 Ламинарное и турбулентное течения Рассмотрим течение жидкости по трубе.

Ламинарное (слоистое):

жидкость разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга не перемешиваясь, течение стационарно.

Турбулентное:

жидкость энергично перемешивается во всех направлениях (Р. Осборн, английский физик 1842-1912).

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 31 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.