WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 20 |

dNinc Пусть количество фирм на рынке ресурса A постоянно и достаточно велико (A>>1), т.е рынок имеет совершенную конкуренцию.

Поскольку все фирмы идентичны, то у всех у них затраты на поиск новых месторождений одинаковы. Это значит, что в результате поиска всего в мире появляется ANinc новых месторождений в единицу времени.

В модели предполагается, что ресурс не хранится после его добычи. Тогда цена на ресурс определяется из обратной функции спроса:

N p = p(,t).

(3.8) qi i=Как обычно, вводится допущение, что функция спроса является убывающей, т.е. ресурс является нормальным благом. Зависимость от времени показывает возможность спроса на ресурс изменяться со N временем. Функция спроса: = Q( p,t).

qi i=В модели ищется такой ожидаемый путь цен на ресурс p(t), который бы осуществлялся затем в действительности при условии, что фирмы, ведущие поиск новых месторождений и производящие добычу ресурса, действуют оптимально в смысле максимизации приведенной прибыли. Пусть для начала путь ожидаемой цены на ресурс удовлетворяет условию:

1 t1t2 : t1 < t2 p(t1)e-rt > p(t2 )e-rt. (3.9) 3.2.2. Задача добычи ресурса Рассмотрим задачу оптимальной добычи ресурса из одного месторождения. Как следует из вышесказанного, в каждый момент времени фирма, добывающая ресурс, решает два вопроса: с какой скоростью добывать ресурс, и сколько следует инвестировать в ме сторождение. Таким образом, задача фирмы, добывающей ресурс, имеет вид:

T dK = p(t)q(t) - )e-rtdt maxK (t),q(t) ( dt T Q = q(t)dt (3.10) q(t) f (K(t)) dK(t) dt здесь r – ставка процента; – прибыль от месторождения; T – момент исчерпания ресурса.

1 В различные моменты времени t1 и t2, если p(t1)e-rt > p(t2 )e-rt, то добыча в момент t1 выгоднее добычи в момент t2. Это значит, что на оптимальном пути невозможно состояние, когда q(t1) < f (K(t1)) и q(t2 ) > 0. Для определенности необходимо также полагать, что такое состояние невозможно и при 1 p(t1)e-rt = p(t2 )e-rt. Это значит, что при прочих равных фирма добывает ресурс в более ранние моменты времени. Таким образом, было установлено, как фирма распределяет добычу ресурса при заданном пути капитала. Действительно, объем добыч будет максимален в некоторой области D и равен 0 в нее. Область D определяется из системы:

1 t1 Dt2 (0,T ) / D p(t1)e-rt > p(t2 )e-rt t D q(t) = f (K (t)) (3.11) t (0,T ) / D q(t) = Q = q(t)dt D Тогда из условия (3.9) следует, что с момента открытия месторождения и до момента его исчерпания скорость добычи максимальна.

Теперь необходимо найти оптимальный путь инвестиций в месторождение. Для этого рассматривается произвольный путь капитала K(t) и допускается, что он оптимален, т.е. является решением задачи (3.10). Очевидно, что если K(t) – решение задачи (3.10), то dK (T ) = 0, так как инвестиции в месторождение после его исчерdt пания бессмысленны.

Пусть момент времени t выбран произвольно и инвестиции в этот dK(t) момент времени положительны, т.е. > 0. Тогда рассматриваdt ется такая вариация пути капитала, при которой капитал в момент времени t сокращается на dK2, а в начальный момент времени (t=0) увеличивается на dK1 такое, что момент исчерпания ресурса не изменяется (dT=0). Поскольку инвестиции в момент времени t положительны, то такая вариация является допустимой в задаче (3.10).

Необходимо выяснить, как изменяется прибыль фирмы в результате такой вариации.

Для этого сначала нужно найти связь между изменениями капитала. Очевидно, что она определяется из уравнения:

t T df (K(x)) df (K(x)) dK1dx + (dK1 - dK2 )dx = 0.

(3.12) dK dK 0 t Из этого уравнения следует, что dK2 > dK1, т.е. первый член положителен, а второй отрицателен. Домножая обе части уравнения на p(t)e-rt, можно получить t df (K(x)) p(t)e-rt dK1dx + dK.

(3.13) T df (K(x)) + p(t)e-rt (dK1 - dK2)dx = dK t Тогда учитывая, что при x p(t)e-rt, а при x>t p(x)e-rx < p(t)e-rt (это следует из формулы (3.9)), можно получить следующее неравенство:

t df (K(x)) p(x)e-rx dK1dx + dK.

(3.14) T df (K(x)) + p(x)e-rx (dK1 - dK2)dx > dK t Далее, вариация прибыли имеет вид:

t df (K(x)) d = p(x) dK1dx + dK T (3.15) df (K (x)) + p(x)e-rx (dK1 - dK2)dx + dK t + dK2e-rt - dKНеобходимо найти достаточное условие для того, чтобы вариация прибыли была положительна ( d > 0 ). Из неравенства (3.14) следует, что d > dK2e-rt - dK1. (3.16) Отсюда следует, что достаточное условие для того, чтобы было выполнено dK2e-rt - dK1 > 0, является также достаточным условием для того, чтобы вариация прибыли была положительна. Учитывая условие связи вариаций капитала (3.12), можно записать:

T df (K(x)) dx dK dK2e-rt - dK1 > 0 > ert.

(3.17) T df (K(x)) dx dK t Переписывая неравенство из правой части выражения (3.17) в следующем виде:

t df (K(x)) dx dK 1+ > ert, (3.18) T df (K(x)) dx dK t df (K(t)) и учитывая, что производная со временем не может dK dK(t) d f (K) расти, так как 0 и < 0, можно написать:

dt dK t t df (K(x)) df (K(t)) dx dx dK dK t 0 1+ > 1+ > 1+ (3.19) T T T - t df (K(x)) df (K(t)) dx dx dK dK t t Из условий (3.18) и (3.19) следует, что достаточное условие для t того, чтобы было выполнено неравенство 1+ > ert, также явT - t ляется достаточным условием для того, чтобы было выполнено неравенство (3.18). Теперь необходимо выяснить, при каких условиях выполнено это неравенство. Для этого нужно записать его в виде T > ert (T - t), (3.20) и исследовать свойства функции F(t) = ert (T - t). В начальный момент времени (t=0) F(0) = T. Производная функции dF(t) = ert (r(T - t) -1). При rT < 1 производная функции F(t) отdt рицательна при любом t, т.е. функция F(t) является убывающей.

Следовательно, в любой момент времени, отличный от начального (t>0), выполнено F(t)

При rT>1 производная функции F(t) положительна до момента времени t = T -, а после этого момента времени отрицательна. Слеr довательно, функция F(t) имеет максимум при t = T -. Максиr мальное значение функции тогда равно r (T - ) 1 1 r (3.21) Fmax = F(T - ) = e (T - (T - )) = erT -1.

r r r Из разложения в ряд Тейлора получившейся экспоненты следует, что:

1 1 erT -1 = (1+ (rT -1) + (rT -1)2 +... > T. (3.22) r r Таким образом, при rT<1 неравенство (3.20) выполнено при любых положительных t, а при rT>1 неравенство (3.20) не выполнено при всех t.

Следовательно, было показано, что неравенство rT<1 является достаточным для того, чтобы вариация прибыли была положительной. В случае, когда это неравенство не выполнено, из изложенного не следует никаких выводов о знаке вариации прибыли. Поэтому в дальнейшем везде будет предполагаться, что данное неравенство выполнено, и можно считать, что оно является одной из предпосылок модели. Учитывая его важность, выпишем его еще раз:

(3.23) rT < При выполнении условия (3.23) вариация прибыли положительна. Отсюда следует, что перенос инвестиций в начальный момент времени увеличивает прибыль фирмы. Следовательно, все инвестиции будут осуществляться в начальный момент времени.

Из рассмотренной модели можно сделать следующие выводы.

При выполнении условия (3.9) с начального момента времени и до момента времени исчерпания месторождения фирма предпочитает добывать максимально возможный объем ресурса, который определяется количеством инвестиций в месторождение. При выполнении условий (3.9) и (3.23) все инвестиции будут осуществляться в начальный момент времени, после чего объем добыч одинаков во все моменты времени до момента исчерпания месторождения.

Необходимо заметить, что условие (3.23) не является «лишним» в модели, т.е. при отказе от этого условия инвестиции на оптимальном пути капитала могут осуществляться не только в момент открытия месторождения. Действительно, оптимальный путь добыч при заданном пути капитала, как следует из изложенного выше, определяется тогда по формуле q(t) = f (K(t)). Пусть величины и K определяются как:

x+T x+T (x) = erx p(t)q(t)e-rtdt = p(t) f (K(t))e-r (t-x)dt x x (3.24) T dK(t) K = e-rtdt dt Очевидно, что прибыль фирмы в зависимости от величины x определяется уравнением:

(x) = (x)e-rx - Ke-rx. (3.25) Из этой формулы можно найти оптимальный момент начала инвестиций в месторождение x при условии, что путь капитала от момента начала инвестиций задан. Теперь очевидно, что в случае, когда рост цен на ресурс близок к экспоненциальному, величина e-rx падает с ростом медленнее, чем растет величина - Ke-rx при любом пути капитала (и соответственно при любом значении K).

Это значит, что при достаточно близком к экспоненциальному росте цен на ресурс выгодно откладывать начало инвестиций на более поздний срок. Отсюда следует, что в общем случае одного условия (3.9) недостаточно для того, чтобы все инвестиции в месторождение осуществлялись в момент его открытия.

В предположении, что условие (3.23) выполнено, т.е. все инвестиции осуществляются в момент открытия месторождения, логично исследовать вопрос о том, как определяются эти инвестиции. Из условия (3.10) прибыль фирмы теперь можно записать в виде:

T (K) = p(t) f (K)e-rtdt - K.

(3.26) Здесь K – капитал, установленный на месторождении в начальный момент времени. Момент исчерпания ресурса T определяется из условия:

T Q = f (K)dt = Tf (K).

(3.27) Взяв производную по объему капитала от обеих частей уравнения (3.27), можно видеть:

dT df (K) dT 0 = f (K) + T f (K) = dK dK dK.

(3.28) df (K) Q df (K) = -T = dK f (K) dK Взяв производную от функции прибыли и приравняв ее к нулю, можно найти оптимальный объем капитала K:

T d dT df (K) = p(T ) f (K)e-rT + p(t) e-rtdt -1 = 0.

(3.29) dK dK dK Далее, из (3.28) и (3.29) следует:

T d df (K) df (K) = - p(T )e-rTT + p(t) e-rtdt -1 = 0.

(3.30) dK dK dK df (K) С учетом того, что величина p(T )e-rT не зависит от вреdK мени, можно записать уравнение (3.30) в виде:

T d df (K) = p(t)e-rt - p(T )e-rT ) dt -1 = 0.

(3.31) ( dK dK Решение последнего уравнения дает максимум прибыли. Это видно из выражения для второй производной функции прибыли:

T 2 d d f (K) = 2 2 ( p(t)e-rt p(T )e-rT )dt + dK dK dT df (K) + ( p(T )e-rT - p(T )e-rT ) + (3.32) dK dK T df (K) dT dp(T ) + - e-rT )dt (rp(T )e-rT dK dK dT Первое слагаемое в правой части отрицательно, так как d f (K) < 0. Второе слагаемое равно 0. Третье слагаемое отрицаdK T dT dp(T) тельно, так как < 0 и - e-rT )dt > 0, что сле(rp(T )e-rT dK dT дует из формул (3.28) и (3.29) соответственно. Следовательно, втоd рая производная прибыли отрицательна ( < 0 ). Это значит, что dK уравнение (3.31) действительно дает максимум прибыли.

Переписав выражение (3.31) в виде:

df (K) =, T dK (3.33) ( p(t)e-rt p(T )e-rT )dt можно заметить, что, во-первых, интеграл T ( p(t)e-rt p(T)e-rT )dt возрастает с ростом T. Действительно, рассмотрев два момента времени T1 < T2, можно записать:

T2 T2 - ( p(t)e-rt p(T )e-rT dt > ( p(t)e-rt p(T2 )e-rT = 0 T1 1 = p(t)e-rt - p(T1)e-rT + p(T1)e-rT - p(T2 )e-rT )dt = ( T1 T(3.34) 1 1 = p(t)e-rt - p(T1)e-rT )dt + p(T )e-rT - p(T2 )e-rT ( ( 0 T> p(t)e-rt - p(T1)e-rT )dt ( Во-вторых, из уравнения (3.33) следует, что рост интеграла T ( p(t)e-rt p(T)e-rT )dt приведет к росту оптимального значения капитала. В свою очередь, рост капитала приводит к более быстрому исчерпанию месторождения, т.е. уменьшению T, что приводит к падению значения интеграла и падению оптимального значения капитала.

Можно показать, что прямой эффект больше обратного, т.е. что в результате роста интеграла увеличивается оптимальное значение капитала. Действительно, из предположения, что это не так, т.е. оптимальное значение капитала не увеличилось, следует, что левая df (K) часть уравнения (3.33) ( ) не уменьшилась. Кроме того, не dK уменьшилось время до исчерпания месторождения. Тогда из (3.34) следует, что значение интеграла увеличилось, и правая часть уравнения (3.33) уменьшилась. Следовательно, противоречие. Значит, с T увеличением интеграла p(t)e-rt - p(T )e-rT )dt оптимальное зна( чение капитала также увеличивается.

Интересно рассмотреть в каких случаях значение интеграла T ( p(t)e-rt p(T)e-rT )dt увеличивается (падает). Здесь следует различать краткосрочный и долгосрочный периоды времени. Под краткосрочным периодом понимаются моменты времени до момента исчерпания месторождения (tT).

Если в результате каких-либо процессов в экономике в краткосрочном периоде ожидается отклонение от долгосрочного пути цен T на ресурс вверх, то значение интеграла p(t)e-rt - p(T )e-rT )dt бу( дет больше значения того же интеграла, вычисленного на долгосрочном пути цен. Это, в свою очередь, приведет к тому, что на вновь открытых месторождениях будет устанавливаться избыточный по сравнению с долгосрочным капитал, что вызовет увеличение по сравнению с долгосрочным скорости добыч и падение уровня цен на ресурс. Таким образом, описан механизм стабилизации цен на ресурс в краткосрочном периоде.

Далее, необходимо рассмотреть, как со временем меняется скорость добыч из каждого месторождения в долгосрочном периоде.

Очевидно, что если месторождение открыто в момент времени t, то уравнение (3.33), определяющее оптимальное значение капитала, перепишется в виде:

df (K) =.

t+T dK (3.35) ert p(x)e-rx - p(t + T )e-r(t+T ) )dx ( t Как и раньше, можно утверждать, что с ростом интеграла t+T ert p(x)e-rx - p(t + T )e-r (t+T ) )dx растет оптимальное значение ( t капитала. Чтобы понять, как этот интеграл меняется со временем, необходимо рассмотреть производную от него по времени:

t+T d I = (ert p(x)e-rx - p(t + T )e-r (t+T ) )dx) = ( dt t = -( p(t) - p(t + T )e-rT ) + (3.36) t+T dp(t + T ) + (rp(x)e-r( x-t) - e-rT )dx dt t Пусть за время существования месторождения T производная цены на ресурс по времени изменяется незначительно, т.е.

dp(x) dp(t) x (t,t + T ). (3.37) dt dt С учетом этого можно записать:

dp(t + T ) dp(t) p(t + T ) - p(t) dt dt T (3.38) dp(t) p(x) p(t) + (x - t) x (t,t + T ) dt Подставив эти приблизительные равенства в производную из (3.36):

t+T dp(t) I = p(t +T)e-rT - p(t) + r( p(t) + (x - t) )e-r(x-t)dx dt t t+T (3.39) p(t +T) - p(t) - e-rTdx T t и преобразовав выражение в правой части последнего равенства:

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 20 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.