WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

12( + xx11 12 + x13)+18(x21 + x22 + x23)+ 30(x31 + x32 + x33) max (3) Таким образом, целевая функция (3) и ограничения (1-2) представляют собой искомую математическую модель.

1.3. Дополнительные упражнения 1. На звероферме могут выращиваться песцы, чёрно-бурые лисы, нутрии и норки. Для их питания используются три вида кормов. В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчёте на день а также, прибыльот реализации одной шкурки каждого зверя.

Нормы расхода кормов (кгдень Ресурс кормов (кг) / ) Вид корма Песец Лиса Нутрия Норка 1.3. 1 2 1 2 II 2 4 2 0 III 1 1 3 2 Прибыль руб./шкурка 6 12 8 Построить математическую модель для определения того, сколько и каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была максимальной.

2. Автомобильный завод выпускает машины марок А и В.

Производственные мощности отдельных цехов или отделов приведены в следующей таблице:

Количество машин за год № Наименование цехов или участков Типа А Типа В 1 Подготовительное производство 125 2 Кузовной цех 80 Количество машин за год № Наименование цехов или участков Типа А Типа В 3 Производство шасси 110 4 Производство двигателей 240 5 Сборочный цех 160 6 Участок испытаний 280 Определить наиболее рентабельную производственную программу при следующих дополнительных условиях:

а) прибыли от выпуска одной машины типа А и В соответственно равны и 2400 рублей;

б) производственная мощность 1-го и 5-го цехов увеличена в 1,5 раза за счёт использования сверхурочных работ, что приводит к уменьшению прибыли от выпуска одной машины типа А до 1500 рублей и типа В – до рублей (для «сверхплановых» автомобилей).

3. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования (в станко-часах), нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем оборудовании по данному технологическому способу и прибыльот выпуска единицы деталей каждого вида даны в таблице:

Детали I II Ресурсы Технологические времени 1 2 1 способы Токарное 2 2 3 - Фрезерное 3 1 1 2 Сварочное - 1 1 4 Прибыль 11 6 9 Составить оптимальный план “загрузки оборудования”, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

4. Предприятие может выпускатьпродукцию по трём технологическим способам. При этом за 1 час по 1-му способу оно выпускает 20 единиц продукции, по 2-му – 25 единиц и по 3-му – 30 единиц продукции.

Количество производственных ресурсов, расходуемых за час при различных способах производства, и наличный объем ресурсов приведены в таблице:

Факторы Парк Рабочая Прочие Способ Сырьё Энергия Транспорт станков сила расходы производства I 2 3 7 2 1 II 1 4 3 1 0 III 3 2 4 3 1 Располагаемые 60 80 70 50 40 ресурсы факторов Спланировать работу предприятия из условия получения максимума выпуска продукции, если известно, что общее время работы предприятия составляет 30 часов.

5. Предприятие располагает тремя видами ресурсов А, Б, В, в количествах, равных соответственно 34, 16, 22 тыс. единиц. Существует четыре способа производства продукции. Расход каждого вида ресурсов в течение месяца по каждому способу производства известен и приведён в таблице.

способ производства I II III IV ресурсы А 2 4 1 Б 4 1 4 В 2 3 1 Количество выпускаемой в течение 7 3 4 месяца продукции, тыс. ед.

Определить оптимальную производственную программу таким образом, чтобы выпуск единиц продукции был бы максимальным;

6. В хозяйстве производится зерно, кукуруза на силос и содержится крупный рогатый скот. Для выращивания сельскохозяйственных культур выделяется 10 тыс. га пашни, для содержания скота – 1 тыс. га естественных О б о ру д о ва н и е пастбищ, для производства всех работ – 200 тыс. человеко-дней трудовых ресурсов. На содержание одной коровы затрачивается 25 человеко-дней труда и 40 кормовых единиц, при этом прибыль получается 460 рублей в год.

Для корма используются естественные пастбища, а также может отводиться весь урожай кукурузы на силос и до 20% валового сбора зерна. Остальные показатели производства приведены в таблице:

Наименование культуры Урожайность Затраты Коэффициент Прибыльс 1ц, с 1 га, труда на 1 га, перевода на руб.

ц чел-дней кормовую ед.

Зерновые 20 2 1,1 Кукуруза на силос 400 20 0,2 Естественные пастбища 5 - 0,5 - Требуется найти оптимальное сочетание производства продукции, дающее хозяйству максимальную прибыль.

7. “Theta Mashine Shop” производит три продукта: ротационные покрышки, корпуса подшипников и листовое железо. Управляющий столкнулся с проблемой составления наилучшего производственного плана на следующий месяц. Совместно со своими сотрудниками управляющий пришёл к следующей таблице данных на планируемый месяц:

Время на ед. Количество Цена ед. Максимальный Продукт продукции металла на ед. продукции прогнозируемый (ч) продукции (кг ($) спрос (шт.) ) Ротационные покрышки 2,5 3,25 30 Корпуса подшипников 1,0 1,50 32 Листовое железо 2,0 2,00 25 Было определено, что в планируемом месяце компания имеет не более 900 часов производственного времени и нет ограничений на поставки металла. Каждый час производственного времени будет стоить $7 (оплата труда), а каждая единица металла – $2. Расчет за поставляемую продукцию производится в конце планируемого месяца. Объем свободных денежных средств (для закупок сырья и оплаты рабочего времени) на начало месяца составляет $14960. Распределение продукции может быть осуществлено в течение этого же месяца.

Каким должен быть производственный план следующего месяца, максимизирующий прибыль § 2. Моделирование процессов перевозок и назначения 2.1. Простейшие модели Одним из распространённых процессов, при математическом моделировании которых с успехом используется транспортная задача и её модификации, является процесс перевозки и распределения продукции, сырья, трудовых и материальных ресурсов. Другими словами, речь идёт о моделировании процессов перевозки продукции с m пунктов производства в n пунктов потребления так, чтобы при этом был выполнен баланс производства и потребления и затрачены минимальные средства на транспортировку.

Математически этот процесс может бытьописан следующим образом:

n m ijxc i min j = 1 i = (1) n ij ax i i == 1,..m j=(2) m ij bx j j == 1,..n i=(3) xij 0,i = 1..m, j = 1..n (4) Здесь ai – объём запасов i-го продукта на складах (или в пунктах производства), ai>0;

bj – объём потребления j-го объекта, bj>0;

xij – количество продукции, перевозимое с i-го склада j-му потребителю;

cij – стоимость перевозки единицы груза с i-го склада j-му потребителю.

Отметим, что задача (1) – (4) является сбалансированной, если:

m n i = ba j i j == Если последнее условие не выполняется, причём объём потребления превосходит объём запасов, то ограничение (2) записывается в виде:

m ij bx j = 1,..n j i=Если же предложение превосходит потребление, то ограничение (1) записывается в виде:

n ij ax i = 1,..m i j=Нередко появляются дополнительные требования на пропускную возможность коммуникации, в этом случае появляется дополнительное ограничение:

dx i = 1,..m, j =1..n, ij ij (5) где dij – пропускная способностьпути от i-го поставщика к j-му потребителю.

Простой модификацией данной модели является модель процесса назначения. Речь идёт о назначении m различных специалистов на n мест работы при условии, что каждую работу должен выполнять лишь один специалист, и каждый специалист должен выполнять лишь одну работу.

Приоритетная возможность i-го специалиста на получение j-й работы оценивается коэффициентами cij матрицы С. При моделировании таких процессов xij вводится как булевская переменная,1 еслиi - работникй будет назначен на выполнение j - работый xij =,0 еслиi - работникй не будет назначен на выполнение j - работый Ограничения в этом случае записываются в виде:

m ij jx == 11,..n i=или n ij ix = 11,..m, j =в случае, если m>n, т.е. специалистов больше, чем мест работы.

Функция цели имеет вид:

n m ijxc ij min j =1 i =К этому же типу моделей примыкают модели задач развития и размещения, заключающихся в одновременном отыскании объёма выпуска изделий на пунктах производства и вопроса прикрепления пунктов производства к пунктам потребления. Данные модели называются моделями развития и размещения и имеют следующий вид:

n n m xc ij cijxij + min j j =1 i == m ij xx j j == 1,..n i=n ij ax i == 1,..m i j=xD D j = 1,..n j j j xij 0,i =1..m, j = 1..n Где cj – затраты производства единицы продукции у j-го производителя;

xj – объём производства j-го производителя;

, DD – верхняя и нижняя границы для выпуска продукции;

j j cij – затраты на транспортировку ед. продукции от j-го производителя к i-му потребителю;

xij – количество продукции, перевозимой от j-го производителя к i-му потребителю;

ai – потребности i-го заказчика.

В заключение приведём модель развития и размещения в общем виде, в случае, когда перевозится R видов продукции.

Найти оптимальный вариант развития транспортной сети, удовлетворяющий перевозке грузов к потребителям.

Введём обозначения:

q – номер варианта развития сети, Q – число всех вариантов развития сети;

g - вид груза, G – число всех видов груза;

i, j – пункты, между которыми осуществляется перевозка;

s – вид лимитированного ресурса; S – число всех видов лимитированных ресурсов;

Rsij – количество выделенных ресурсов s-го вида для развития транспортного участка между пунктами i и j;

q Rsijg – потребностьв s-м виде ресурсов для перевозки g-го вида грузов по участку i, j согласно q-му варианту развития сети;

q cgij – текущие затраты на перевозку g-го вида груза из пункта i в пункт j согласно q-му варианту развития сети;

Kij – выделенные капитальные вложения для развития участка сети от пункта i к пункту j;

q K – капитальные вложения, выделенные согласно q-му gij варианту развития сети для перевозки g-го груза от пункта i к пункту j;

E – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений в транспорт;

aij – пропускная способность участка I, j;

q a – план перевозок g-го вида продукции, перевозимого от gij пункта I к пункту j согласно q-му варианту;

q x – искомая величина, равная 1, если на участке от пункта I к gij пункту j выбирается q-й вариант развития сети по перевозкам g-го вида груза, и равная 0 в противном случае.

Математическая модель:

Q n m G q q q EKc )( x + min gij gij gij i = 1 j = 1 g = 1 q = – минимизация приведённых затрат;

Q q,1 ix = 1..n, j = 1..m, g = 1..G gij q =– выбирается лишьодин вариант развития;

G Q q q xR Rsij, s = 1..S,i = 1..n, j = 1..m sijg gij g =1 q=– ограничение на объёмы выделенных ресурсов;

G Q q q xK K, i 1..n, j == 1..m gij gij ij g =1 q=– ограничение на объёмы капитальных вложений;

G Q q q xa aij, i = 1..n, j = 1..m gij gij g =1 q =– ограничение на план перевозок.

Данная задача решается методами целочисленного программирования.

2.2. Закрепление приемов построения моделей Задача 1. Известен выпуск продукции на трёх заводах: 460, 340 и 300 тонн соответственно. Требования четырёх потребителей на эту продукцию составляют: 350, 200, 450 и 100 тонн. Известны также затраты на производство 1 единицы продукции на каждом заводе: 9, 8 и 2 руб.

соответственно, а также матрица транспортных расходов на доставку единицы продукции от i-го завода k-му потребителю.

643 (cC ) == 15 2 ik 854 Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заводам из условия минимизации суммарных затрат на производство и транспортировку.

Сравнить с оптимальным планом, построенным из условия минимизации только транспортных расходов.

Решение. Обозначим через xik объем поставки продукции от i-того завода kтому потребителю. Данная транспортная задача является сбалансированной (460+340+300 = 350+200+450+100). Тогда ограничения на выпуск продукции будут выглядетьследующим образом:

+ xx + x13 + x14 = 11 + xx + + xx = 21 22 23 (1) + xx + x33 + x34 = 31 Ограничения на потребление продукции:

+ xx + x31 = 11 + xx + x32 = 12 (2) + xx + x33 = 13 + xx + x34 = 14 Неотрицательностьобъемов поставок:

,0 ix = 1..3,k = 1..ik (3) Задача состоит в минимизации суммарных расходов на производство и перевозку. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение:

( + xx11 12 + x13 + x14 )+ 89 (x21 + x22 + x23 + x24 )+ 2(x31 + x32 + x33 + x34 )+ ++ 43 xx + 6x13 + x14 + 11 ++ xx + 25 x23 + 3x24 + 21 54 xx +++ 8x33 + x34 max 31 (4) Таким образом, целевая функция (4) и ограничения (1-3) представляют собой математическую модель для решения поставленной задачи.

В случае, когда необходимо минимизировать только транспортные расходы, из целевой функции исключается выражение, описывающее производственные затраты. Целевая функция в этом случае примет вид:

+ 43 xx + 6x13 + x14 + 11 ++ xx + 25 x23 + 3x24 + 21 ++ 54 xx + 8x33 + x34 max 31 (4`) При этом все ограничения останутся прежними.

Задача 2. Строительный песок добывается в трёх карьерах и доставляется на четыре строительные площадки. Данные о производительности за день (ai в тоннах), потребностях в песке строительных площадок (bk в тоннах), затраты на добычу песка (di в руб./т) и транспортных расходах (cik) приведены в следующей таблице:

bk 40 35 30 45 di ai 46 4 3 2 5 34 1 1 6 4 40 3 5 9 4 Недостающее количество песка – 30 т в день – можно обеспечить следующими тремя путями:

I – увеличение производительности первого карьера, что повлечёт за собой дополнительные затраты в 3 руб. на добычу 1 т сверх плана;

II – увеличение производительности второго карьера с дополнительными затратами в 2 руб./т сверх плана;

III – эксплуатация нового карьера с общими запасами 30 тонн, затратами на добычу 5 руб./т и на транспортировку к указанным строительным площадкам: c41 = 2, c42 = 3, c43 = 1, c44 = 2 (руб./т).

Построить модель определения плана закрепления строительных площадок за карьерами и оптимального варианта расширения поставок песка.

Решение. Обозначим через xik объем поставки продукции от i-того карьера на k-тую строительную площадку. Данная транспортная задача не является сбалансированной ( 46 + 34 + 40 40 + 35 + 30 + 45). Поэтому в задаче без дополнительных условий (I-III) ограничения на выпуск продукции будут выглядетьследующим образом:

+ xx + x13 + x14 = 11 + xx + x23 + x24 = 21 (1) + xx + x33 + x34 = 31 Ограничения на потребление продукции:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.