WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 20 |

В сложных практических задачах исходной статистической ин формации, которую можно получить в результате самых разнооб разных обследований и экспериментов, обычно явно недостаточно для сколько нибудь достоверного и в то же время достаточно пол ного статистического описания изучаемых явлений и процессов. В связи с этим крайне важно выявить частные статистические харак теристики исходной информации, на основе которых можно про извести декомпозицию системы на подсистемы меньшей размер ности, в терминах которых могут быть разумно сформулированы, количественно оценены и, что крайне важно, качественно проин терпретированы взаимосвязи исследуемой сложной системы. По видимому, именно поэтому значительная часть работ по матема тическому обеспечению решения задач идентификации сложных систем посвящена разработке статистических характеристик свя зей, непосредственных связей, силы связи и т.д. При этом боль шая размерность реальных сложных систем и ограниченный ста тистический материал, который может быть получен в результате наблюдений за ними, предъявляют специальные – и притом весь ма специфические – требования к формальному аппарату анализа и синтеза этих систем и к получению их качественных и количест венных характеристик.

В теории вероятностей четко определены понятия «зависи мость» и «независимость» случайных событий через основные по нятия этой дисциплины. Два случайных события независимы меж ду собой, если вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей наступления каждого из них. Это формальное определение понятия «независимость» соответствует содержательному интуитивному его пониманию и здравому смыс лу. В то же время с определением понятий «связь», «взаимовлия ние», «структура связей» ситуация не столь четкая. Здесь нет одно значного соответствия между интуитивными и содержательными представлениями об этих понятиях, с одной стороны, и их фор мальным определением – с другой.

Естественно считать, что элементы сложной кибернетической системы взаимодействуют друг с другом или связаны между со бой, если изменение состояния и/или поведения одного из них с необходимостью влечет за собой изменение состояния и/или по ведения другого. Однако этому интуитивно ясному представлению о взаимосвязи можно поставить в соответствие множество раз личных формальных определений, характеризующих разные ас пекты понятий «связь», «взаимовлияние».

Так, например, связи между элементами статистической систе мы, описываемыми компонентами случайного вектора, можно ха рактеризовать элементами корреляционной или ковариационной матрицы этого случайного вектора. Наличие или отсутствие корре ляции между переменными можно интерпретировать как наличие или отсутствие связи между ними. Это наиболее распространен ный способ описания связей между элементами системы. Однако такая интерпретация далеко не всегда правомерна. Коррелиро ванность компонент случайного вектора между собой может озна чать лишь то, что соответствующие элементы моделируемой им статистической системы связаны одновременно с одной или не сколькими другими составляющими рассматриваемой системы. В литературе описываются различные приемы «очищения» корреля ции двух переменных от влияния других показателей системы. Та ким образом, возникают естественные понятия о непосредствен ной и опосредованной связях между элементами сложных стати стических систем.

Определение понятия «непосредственная связь» с помощью ча стных коэффициентов корреляции учитывает только вторые мо менты совместного распределения вероятностей компонент слу чайного вектора – модели системы. Иначе говоря, частные коэф фициенты корреляции позволяют устанавливать непосредствен ные связи только между компонентами нормально распределенно го случайного вектора и не гарантируют выявления независимости между элементами негауссовых случайных величин. В общем слу чае необходимо более совершенное определение непосредствен ной связи, для которого определение связей по коэффициентам корреляции было бы частным случаем, применимым для гауссовых случайных векторов. Это особенно важно для причинного анализа – исследования взаимосвязей элементов системы во времени.

Первым, кто ввел операциональное определение непосредст венной связи между элементами сложной кибернетической систе мы, был, по видимому, У.Р. Эшби (Эшби, 1962). Согласно Эшби, между парой переменных существует непосредственное взаимо действие тогда и только тогда, когда при фиксированных значени ях остальных переменных системы изменение значений одной пе ременной влечет за собой закономерное изменение другой.

Если каждому элементу системы поставить в соответствие вершину помеченного графа, ребра которого отвечают наличию непосредственных связей между элементами, отвечающими вер шинам, инцидентным этим ребрам, то получится очень наглядное представление непосредственных связей в системе. Этот граф называется схемой непосредственных взаимодействий или гра фом непосредственных связей изучаемой системы.

Приведем в соответствие изучаемой статистической системе набор признаков, характеризующих ее. Результаты наблюдений за этими показателями будем рассматривать как реализации значе ний случайного вектора = (1,…, n) – модели статистической сис темы, – имеющего совместное распределение вероятностей p(x) = p(x1,…, xn). Обозначим через (j) I = {1,…, n} подмножество индексов таких, что при p(xI\{j}) 0 выполняются соотношения:

i I \ {j, ( j)} p(x | xI \{j})= p(x | xI \{i, j})x X ;

j j (2.1) i (j)x X : p(x | xI \{j}) p(x | xI \{i, j}).

j j Тогда в соответствии с качественным определением Эшби по меченный граф15 с матрицей смежности S = sij, где Помеченным называется граф, каждой вершине которого поставлена в соответст вие некоторая метка (в нашем случае – номер координаты случайного вектора, мо делирующего статистическую систему). Здесь и далее терминология теории гра фов соответствует приведенной в работе (Харари, 1973).

1,i (j), sij = (2.2) 0,i (j), называется графом непосредственных связей случайного вектора (схемой непосредственных взаимодействий статистической сис темы, моделью которой является случайный вектор ).

При всей своей наглядности определение графа непосредст венных связей (2.1)-(2.2), к сожалению, является малоконструк тивным, поскольку его построение в соответствии с этим опреде лением требует знания совместного распределения вероятностей случайного вектора, что при немалой размерности, как прави ло, нереально. Кроме того, существенным недостатком такого оп ределения непосредственных взаимодействий является тот факт, что «попарная независимость некоторой совокупности элементов» далеко не всегда означает «независимость этих элементов в сово купности». Другими словами, равенство p(xj xI \ { j }) = p(xj xI \ ( j )) вы полняется не всегда. Этого недостатка лишены структуры случай ных векторов.

Ю.Н. Гаврилец (Гаврилец, 1969) предложил в развитие схемы непосредственных взаимодействий Эшби понятие структуры мно гомерной случайной величины (структуры статистической систе мы, индуцирующей этот случайный вектор). Структура, в отличие от графа непосредственных связей, отражает уже не только пар ные, но и групповые взаимодействия признаков – компонент изу чаемой системы. Грубо говоря, структура n мерной статистиче ской системы – это граф с n вершинами, отсутствие ребра в кото ром свидетельствует об отсутствии непосредственной связи меж ду соответствующими элементами системы.

Уже из этого грубого определения виден один из основных не достатков понятия «структура». Структура, в отличие от схемы не посредственных взаимодействий, не обладает свойством мини мальности, т.е. любой граф, содержащий структуру в качестве ос товного подграфа, также является структурой этой системы. В ча стности, полный граф Kn является структурой любой n мерной сис темы. Для устранения этого недостатка введено понятие сущест венной структуры – структуры, никакой остовный подграф которой уже не является структурой системы. Однако, вообще говоря, сис тема может иметь неединственную существенную структуру. В тех случаях, когда существенная структура единственная (это так на зываемая жесткая структура), она совпадает со схемой непосред ственных взаимодействий (Родионов, 1980; 1982), а в общем слу чае схема непосредственных взаимодействий статистической сис темы, индуцирующей случайный вектор, совпадает с пересече нием всех существенных структур.

Структура статистической системы (случайного вектора, моде лирующего статистическую систему) – весьма богатое понятие.

Отличаясь большой наглядностью, структуры очень полезны при качественном анализе сложных статистических систем. Выделяя для каждого элемента системы группу элементов, непосредствен но с ним связанных, структуры позволяют существенно упростить количественный анализ, снижая размерность рассматриваемой в каждый момент системы. В связи с этим возникает задача – по строение структуры по статистической информации (обычно весь ма ограниченной) о системе.

Для некоторых частных классов случайных векторов – моделей статистических систем – определение нетривиальной структуры (т.е. структуры, не являющейся полным графом), если она сущест вует, не представляет принципиальных трудностей. Например, для систем, моделируемых нормально распределенными случайными векторами, наборами псевдонезависимых случайных величин и некоторыми другими классами случайных векторов, построены достаточно эффективные алгоритмы определения их структуры благодаря использованию специфических особенностей этих классов случайных векторов. Однако в общем случае построение структуры многомерной случайной величины (соответственно ста тистической системы, индуцирующей этот случайный вектор) представляет собой весьма трудоемкую работу (вычислительная сложность данной задачи – башня экспонент).

Приведем теперь формальное определение структуры случай ного вектора. Для этого сначала введем определения вспомога тельных понятий.

Для любого помеченного графа назовем тройку {A, B, C} непе ресекающихся подмножеств множества вершин I = {1, 2,…, n} мар ковской тройки в графе, если любая простая цепь, соединяющая в графе любую вершину i A с любой вершиной j C, непремен но имеет вершину k B. Напомним, что подмножество вершин Lj = {i = k0, k1,…, kr–1, kr = j} графа с матрицей смежности S = sij i r образует цепь, если t-1,t s = 1; цепь называется простой, если t=kt kl при t l. Будем обозначать марковскую тройку вершин в гра фе как {A, B, C}. Таким образом, {A, B, C} = {A, B, C} i A, j C k iLj : k B iLj.

Пусть = (1, 2,…, n) – n мерная случайная величина с совмест ным распределением вероятностей p(x). Назовем тройку случай ных векторов {A, B, C} (A, B, C I = {1,…, n}, A I B = A I C = B I C = ) марковской тройкой случайных величин, если p(xAxB, xC) = p(xAxB) xC : p(xB, xC) 0.

Будем обозначать марковскую тройку случайных величин {A, B, C}p.

Помеченный граф с n вершинами называется структурой n мерной случайной величины с совместным распределением ве роятностей p(x), если для любой марковской в графе тройки подмножеств вершин соответствующие подвектора случайного вектора являются марковской тройкой случайных величин. Дру гими словами, граф – структура случайного вектора тогда и только тогда, когда {A, B, C} {A, B, C}p {A, B, C}.

Любой случайный вектор имеет структуру. Причем очевидно, что если граф – структура некоторого случайного вектора, то любой граф, для которого является остовным подграфом, также является структурой. В частности, полный граф Kn является структурой любого n мерного случайного вектора. Поэтому струк тура тем «лучше», чем меньше ребер она содержит.

Структура случайного вектора называется его существенной структурой, если никакой ее остовный подграф не является струк турой. Другими словами, граф – существенная структура слу чайного вектора тогда и только тогда, когда, во первых, – структура и, во вторых, при удалении из любого ребра полу чаемый граф уже не является структурой. Понятие существенной структуры является аналогом графа непосредственных связей.

Однако, в отличие от схемы непосредственных взаимодействий, существенная структура статистической системы может быть не единственной.

Для практических расчетов и оценок взаимосвязей между эле ментами статистических систем целесообразно ввести эквива лентное определение структуры случайного вектора в терминах теории информации. Понятия «энтропия» и «количество информа ции» представляют собой естественные меры неопределенности и зависимости компонент случайного вектора.

Энтропия дискретной случайной величины (т.е. случайной ве личины, принимающей не более чем счетное число значений), принимающей значения x X с вероятностями p(x), равна H( )= - p(x)log2 p(x).

xX Количество информации о случайной величине, содержащее ся в случайном векторе, определяется как I(A, B) = H(A) + H(B) – H(A, B).

В соответствии со свойствами количества информации (cм., например, (А. Яглом, И. Яглом, 1973)) имеет место утверждение I(A, (BC)) = I(A, B) {A, B, C} = {A, B, C}p, т.е.

I(A, (B, C) = I(A, B) (2.3) тогда и только тогда, когда случайные вектора A, B, C образуют марковскую тройку случайных величин.

Таким образом, граф является структурой случайного вектора в том и только в том случае, если для всех марковских троек под множеств вершин {A, B, C} графа выполняется соотношение (2.3). Такое определение структуры соответствует интуитивным представлениям о связях между компонентами случайного вектора и удобнее, а главное конструктивнее, предыдущего, поскольку имеет дело уже не с функциями (распределениями вероятностей), а с числами (количествами информации)16.

Понятие графа для характеристики связей между элементами сложной кибернетической системы используется довольно широ ко. Определение графа непосредственных связей по У.Р. Эшби, приведенное выше, далеко не единственное определение, отве чающее в большей или меньшей степени интуитивным представ лениям о непосредственной связи между элементами сложных систем. Например, О. Ланге (Ланге, 1969) называет структурой системы ориентированный граф, указывающий на наличие функ циональных зависимостей между соответствующими элементами системы. Разрабатываются и другие определения силы и структу ры связей (cм., например, (Blalock, 1969); (Елисеева, 1982);

(Suppes, 1970)).

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 20 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.