WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 20 |

h yT +i i=Первые две статистики качества прогнозов зависят от размер ности прогнозируемого показателя и, следовательно, могут при нимать довольно большие значения. Поэтому они используются аналогично информационным критериям при сравнении качества моделей: лучшей считается та модель, у которой статистика мень ше. С этой точки зрения последняя статистика является более удобным инструментом для оценки качества прогнозов, поскольку измеряется в процентах от истинного значения прогнозируемого показателя и может быть использована и как сравнительная харак теристика качества прогнозов, построенных по различным моде лям, и как характеристика качества прогноза конкретной модели при некотором критическом уровне.

В книге «Принципы прогнозирования» (Principles of Forecasting, 2003) рассмотрена традиционная схема построения прогноза с ис пользованием эконометрического метода5 и приведены некоторые аргументы в ее пользу. По мнению авторов, методика построения эконометрического прогноза включает следующие этапы:

• определение цели построения эконометрической модели (анализ экономической политики либо прогнозирование само по себе);

• определение множества переменных, которые будут включены в модель, с опорой на экономическую теорию и результаты предыдущих исследований;

• сбор по возможности наиболее длинных временных рядов дан ных, используемых в модели;

• определение начальной спецификации модели;

• оценивание исходной модели;

• проверка адекватности модели при помощи тестов на пра вильность спецификации;

• упрощение модели, насколько это возможно;

• сравнение прогнозных свойств полученной модели (или моде лей) относительно прогнозных свойств некоторой тестовой модели.

Подробно об этом см. главу 11 упомянутой книги.

1.2. Прогнозирование с использованием моделей временных рядов Прогнозирование с использованием моделей временных рядов является одним из наиболее простых и распространенных спосо бов прогнозирования социально экономических показателей6. На ~ помним, что в данном случае под прогнозом fT,h (или yT +h ), полу ченным в момент времени Т на h шагов вперед (h>0), понимается условное математическое ожидание значения yT+h при наличии ин формации о данном временном ряде (и только о нем) на момент времени Т, т.е.

fT, h = T +h = E(yT +h T ), где T = {yT, yT -1,K, y1,K} – множество всех имеющихся известных значений временного ряда на момент времени Т.

Прогнозы, полученные таким способом, с одной стороны, явля ются условно несмещенными, а с другой – обладают наименьшей среднеквадратичной ошибкой прогнозирования7 – MSFE (Mean Square Forecast Error) – в классе прогнозов, построенных только на основе информационного множества T = {yT, yT -1,K, y1,K}.

Прогнозы, полученные как условное математическое ожидание временного ряда при известных прошлых значениях этого ряда, обладают различными свойствами в зависимости от статистиче ских характеристик временного ряда. Можно показать, что если временной ряд является стационарным в широком смысле (т.е. его безусловные математическое ожидание и дисперсия, а также ко вариации различных порядков являются конечными и не зависят от времени), то прогноз, рассчитанный в момент времени Т на h ша гов вперед, стремится к его безусловному математическому ожи данию при увеличении горизонта прогнозирования h, иными сло вами, к ситуации, когда h стремится к бесконечности. При этом Проблеме прогнозирования временных рядов посвящено довольно много работ. В частности, можно отметить две монографии Клементса и Хендри (Clements, Hendry, 1998; 2001), в которых наиболее подробно и полно освещена данная проблематика.

Доказательство того, что такой прогноз обладает наименьшей среднеквадратич ной ошибкой прогнозирования в описанном классе моделей, можно найти, напри мер, в работе (Hamilton, 1994).

дисперсия ошибки прогнозирования8 сходится к безусловной дис персии временного ряда при h, стремящемся к бесконечности.

Аналогичными свойствами обладают прогнозы временных ря дов, являющихся стационарными относительно детерминирован ного тренда. Различие состоит лишь в том, что в этом случае без условное математическое ожидание не является конечным и не зависящим от времени, а прямо зависит от характеристик детер минированного тренда и, соответственно стремится к бесконечно сти при увеличении горизонта прогнозирования.

Таким образом, если временной ряд является стационарным в широком смысле (или стационарным относительно детерминиро ванного тренда), то прогнозы, полученные с использованием адек ватной модели временных рядов, являются устойчивыми с точки зрения сходимости последовательностей как самих прогнозов, так и их ошибок (точнее, дисперсий ошибок прогнозирования) к неко торым константам.

Если же временной ряд является интегрированным случайным процессом любого порядка, то, во первых, прогноз для такого ря да зависит от значения временного ряда в момент прогнозирова ния и не имеет конечного предела при увеличении горизонта про гнозирования, а, во вторых, дисперсия ошибки прогнозирования стремится к бесконечности при увеличении горизонта прогнози рования, т.е. в отличие от стационарного случая ошибки прогнози рования накапливаются9 при стремлении h к бесконечности. Ины ми словами, точность прогноза, получаемого для нестационарного временного ряда, снижается при увеличении горизонта прогнози рования.

Известно, что проблему наличия единичных корней у временных рядов можно решать несколькими способами. Применительно к вопросу о качестве получаемых прогнозов можно сказать, что Ошибкой прогнозирования в момент времени Т на h шагов вперед (обозначаем – eT, h ) называется разность между значением временного ряда в момент времени (T+h) и его прогнозом fT,h, т.е. eT, h = yT +h - ft, h.

В данном случае под «накапливанием» ошибки прогнозирования понимается тот факт, что дисперсия этой ошибки неограниченно возрастает при увеличении гори зонта прогнозирования.

предварительное тестирование рядов на наличие единичных кор ней и последующее построение моделей в разностях позволяют улучшить качество прогнозов (см. раздел 1.3).

Еще одним способом решения проблемы наличия стохастиче ского тренда в данных (но уже многомерных временных рядов) яв ляется оценка так называемых моделей коррекции ошибок, в кото рые включаются не только разности нестационарных рядов, но и (если они существуют) запаздывающие на один шаг их стационар ные линейные комбинации, отражающие долгосрочные связи ме жду переменными и с этой точки зрения являющиеся более пред почтительными по сравнению с моделями в разностях, которые отражают лишь краткосрочную динамику ряда.

Кроме того, использование моделей многомерных временных рядов может улучшить качество прогнозов и в случае, когда мно гомерный временной ряд является стационарным. Обоснование этой гипотезы стандартное: привлечение информации о причин ных связях должно повлечь за собой улучшение качества прогно зов. Стандартные модели, которые используются в такой ситуа ции, – это модели векторной авторегрессии порядка p (VAR(р)).

Как и в случае одномерного временного ряда, под прогнозом fT,h понимается условное математическое ожидание значения yT+h при наличии информации о данном временном ряде (и только о нем) на момент времени Т. Различие заключается в том, что в данном случае yt – это многомерный временной ряд.

1.3. Методы оценки качества прогнозов При сравнении качества прогнозов, полученных по различным моделям, как правило, используют некоторые стандартные стати стики, являющиеся характеристиками этого качества: корень квадратный из средней квадратичной ошибки прогнозирования, средняя абсолютная ошибка, средняя абсолютная процентная ошибка (см. выше). Одним из главных недостатков использования данных статистик является отсутствие возможности ответить на вопрос о наличии значимых различий между полученными прогно зами. Иначе говоря, используя эти статистики, исследователь мо жет сказать, какая из рассмотренных моделей лучше, а какая хуже по своим прогнозным свойствам с точки зрения каждого критерия.

Но он не может сказать, являются ли данные различия статистиче ски значимыми.

Ответ на вопрос о статистически значимом различии прогнозов, построенных на основе различных моделей, довольно важен в све те одного из принципов прогнозирования – «выбирай простейшую модель», поскольку при выборе двух моделей (простой и сложной) хотелось бы знать, действительно ли использование более слож ной модели позволяет достичь значимых улучшений качества про гнозов. В противном случае использование более сложной модели необоснованно, особенно в тех случаях, когда эта модель требует применения более сложных методов оценивания.

В связи с этим кратко остановимся на описании основных про цедур, позволяющих выявлять значимые отличия между прогноза ми, полученными по различным моделям.

В работе Диболда и Мариано (Diebold, Mariano, 1995) приведен небольшой обзор тестов такого рода, а также предложен новый, позволяющий выявлять значимые различия между прогнозами, полученными на основе различных моделей. Этот тест является устойчивым к различным отклонениям от стандартных предполо жений о свойствах ошибок прогнозирования. А именно предпола гается, что ошибки прогнозирования могут не удовлетворять клас сическим критериям, т.е. могут не быть нормальными, иметь нену левой средний уровень, а также быть серийно и одновременно коррелированными.

Тест, предложенный Диболдом и Мариано, довольно прост в T T использовании. Пусть {~ и {~ – прогнозные значения yAt} yBt} t =1 t =T временного ряда {yt}, полученные на основе моделей А и В. Обо t =~ значим через g(yt, yit ) функцию потерь (economic loss function), характеризующую отклонения прогнозных значений в момент времени t, оцененных на основе модели i=А (или В), от истинного значения ряда в этот момент времени. Нередко в качестве функции потерь берется некоторая функция от ошибки прогнози ~ рования, т.е. g(yt, yit ) = g(eit ). Тогда нулевая гипотеза об отсутствии различий между прогнозными свойствами двух моделей (т.е.

E[g(eAt )]= E[g(eBt )]) эквивалентна гипотезе о равенстве нулю сред него уровня разности между функциями потерь сравниваемых мо делей (т.е. E[dt]= 0, где dt = g(eAt )- g(eBt )).

Если последовательность разностей между функциями потерь T {dt} является слабостационарным временным рядом, то можно t=показать, что T(d - µ)d N(0, 2fd (0)), T где d = At (g(e )- g(eBt )) представляет собой среднее значение T t= ряда разностей между функциями потерь, а fd (0) = d ( ) – =значение в нуле спектральной плотности разности функций потерь;

( ) – автоковариации разности между функциями потерь поряд d ка.

Таким образом, получаем, что в больших выборках выборочное среднее значение разности потерь d является приблизительно нормально распределенной случайной величиной со средним зна 2fd (0) чением µ и дисперсией, где µ – теоретическое среднее T значение разности потерь. И тогда в качестве статистики для про верки гипотезы о совпадении качества прогнозов, полученных по двум различным моделям, можно использовать статистику:

d S1 =, 2fd (0) T где fd (0) является состоятельной оценкой спектральной плотности fd (0). В работе предлагается в качестве такой оценки использо вать оценку 2fd (0) как взвешенной суммы некоторого количествавыборочных автоковариаций разности потерь.

Выбор количества автоковариаций (ширины окна) в подобных процедурах неод нозначен. В данной работе авторы предлагают суммировать выборочные автокова Рассмотренный способ проверки гипотезы о совпадении каче ства прогнозов, основанных на различных моделях, является на дежным для широкого класса функций потерь. В частности, функ ции потерь не обязаны быть квадратическими или симметричными и непрерывными. Помимо этого, отметим еще раз, что ошибки прогнозирования могут не быть гауссовскими, а также могут иметь ненулевой средний уровень и быть коррелированными (как серий но, так и одновременно). Последнее допущение особенно важно, поскольку сравниваемые прогнозы являются прогнозами одного и того же временного ряда и основаны на довольно сильно совпа дающих информационных множествах, вследствие чего ошибки прогнозирования могут быть сильно одновременно коррелирован ными. Однако ошибки прогнозирования в общем случае являются серийно коррелированными, и предложенный тест позволяет учи тывать и эту особенность.

Помимо теста Диболда–Мариано, в своей работе авторы опи сали три более простых теста для сравнения качества прогнозов.

Простейший F тест. Данный тест можно использовать, если функция потерь имеет квадратичный вид, а ошибки прогнозирова ния удовлетворяют всем стандартным требованиям: имеют нуле вой средний уровень, являются нормальными, а также серийно и одновременно некоррелированны. Тогда тестовая статистика вы глядит следующим образом:

eBeA eBeA h F = = ~ F(h, h), eBeB eBeB h где h – горизонт прогнозирования; eA и eB – (h 1) векторы оши бок прогнозирования. Очевидно, что использование данной стати стики сильно ограничено предпосылками об ошибках прогнозиро вания.

Тест Моргана–Гренджера–Ньюболда. В данном случае предпо лагается выполнение всех требований F теста, за исключением последнего требования об одновременной некоррелированности d риации разности потерь ( ) для значений, меняющихся от –(h–1) до h–1, где h – горизонт прогнозирования. Помимо предложенного способа выбора ширины окна существуют и другие (см., например, (Newey, West, 1987); (Schwert, 1989)).

ошибок прогнозирования. Пусть xt = eAt + eBt и zt = eAt - eBt пред ставляют собой соответственно ряды суммы и разности ошибок прогнозирования, полученных в различных моделях, а x = eA + eB и z = eA - eB – соответствующие векторы. Тогда тестовая статистика имеет вид:

xz MGN = ~ t(T -1), 1- xz T - x z где xz =.

(x x)(z z) Заметим, что Диболд и Мариано в своей статье отмечают, что единственным из предположений о характере ошибок прогнозиро вания, которое не может быть ослаблено, является предположение о том, что функции потерь имеют квадратичный вид.

Тест Миза–Рогова. Наконец, в случае, если ошибки прогнози рования являются и серийно и одновременно коррелированными, можно использовать тест Миза–Рогова:

xz MR = ~ N(0, 1), T xz x z где =, T S(T ) xx zz xz zx = - [ ( ) ( )+ ( ) ( )], T =-S(T ) T x zt, 0, xz T t = +1 t ( ) = (- ), < zx T z xt-, 0, zx T t= +1 t ( ) = (- ), < xz T xx 1 t ( )= x xt, T t = +T zz 1 t ( ) = z zt и S(T) – является возрастающей по Т, но бо T t = +лее медленными темпами.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 20 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.