WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

Судя по всему, строгое аксиоматическое описание концепции предпочтений впервые появилось в работе R. Frisch: Sur un problme d’conomie pure, Norsk Matematisk Forenings Skrifter, Serie 1 16 (1926): 1–40 2.3. Неоклассические предпочтения Отношение безразличия (эквивалентности). Тот факт, что потребитель безразличен между альтернативами x и y или, другими словами, альтернатива x для него эквивалентна альтернативе y, будет обозначаться как x y.

Определение 3:

Тройка бинарных отношений,, соответствует неоклассическим предпочтениям, если она обладает следующими свойствами:

строгое отношение предпочтения является асимметричным (если x лучше y, то y не может быть лучше x) и отрицательно транзитивным (если неверно, что x лучше y, и неверно, что y лучше z, то неверно, что x лучше z);

нестрогое отношение предпочтения является полным (для двух наборов, x и y, либо x не хуже y, либо y не хуже x) и транзитивным (если x не хуже y, и y не хуже z, то x не хуже z);

отношение безразличия рефлексивно (если x эквивалентен y, то y эквивалентен x), симметрично (любой набор эквивалентен сам себе) и транзитивно (если x эквивалентен y, и y эквивалентен z, то x эквивалентен z);

отношения связаны между собой следующим образом:

x y тогда и только тогда, когда неверно, что y x, (P1) (или, что эквивалентно, x y тогда и только тогда, когда неверно, что y x) x y тогда и только тогда, когда как x y, так и y x неверны, (P2) x y тогда и только тогда, когда x y и y x. (P3) Предположение о том, что потребитель является рациональным или, другими словами, упорядочивает альтернативы (потребительские наборы) на основе неоклассических предпочтений, является традиционным для экономической теории, и мы будем в дальнейшем всюду следовать этой традиции (если не противоположное не оговорено особо).

Предположения о свойствах неоклассических предпочтения тесно связаны с понятиями рациональности потребителя, непротиворечивости вкусов, их внутренней состоятельности.

Предпочтения,, удовлетворяют всем свойствам, которым, исходя из экономической и житейской интуиции, должны удовлетворять предпочтения рационального потребителя.

Заметим, что если верны соотношения (P1) и (P3), то нестрогое отношение предпочтения однозначно определяет строгое отношение и отношение безразличия. Значит, его свойства однозначно определяют свойства двух других отношений. Аналогично, если верны соотношения (P1) и (P2), то строгое отношение предпочтения однозначно определяет нестрогое отношение и отношение безразличия. Поэтому возникает вопрос о непротиворечивости всех перечисленных требований к неоклассическим предпочтениям, а также об их избыточности13.

Приведем предварительно некоторые факты относительно взаимосвязей свойств бинарных отношений, на которые будет опираться проверка непротиворечивости определения неоклассических предпочтений.

Теорема 2:

(1) Пусть отношения и связаны соотношением (P1). Тогда (a) асимметричность эквивалентна полноте ;

(b) отрицательная транзитивность эквивалентна транзитивности.

Очевидно, что требования к отдельным бинарным отношениям, составляющим предпочтения, непротиворечивы. Например, отношение = X X будет полным и транзитивным, т.е. некоторое полное транзитивное бинарное отношение всегда существует.

2.3. Неоклассические предпочтения (2) Пусть отношения и связаны соотношением (P2). Тогда (a) симметрично;

(b) если отрицательно транзитивно, то транзитивно;

(c) если асимметрично, то рефлексивно.

(3) Пусть отношения и связаны соотношением (P3). Тогда (a) симметрично;

(b) если транзитивно, то транзитивно;

(c) если полно, то рефлексивно.

Доказательство: (1a) Полноту отношения можно переформулировать следующим эквивалентным образом: если не выполнено x y, то y x. Поскольку и связаны соотношением (P1), то следующие два свойства эквивалентны:

(x y) y x и x y (y x).

Первое означает полноту, а второе — асимметричность.

(1b) Очевидно, что поскольку и связаны соотношением (P1), то отрицательная транзитивность отношения ( (x z) и (z y)) (x y) эквивалентна транзитивности отношения :

(z x и y z) y x.

(2a) Согласно (P2) как x y, так и y x определяются одинаковым образом — как одновременное выполнение соотношений x y и y x.

(2b) Пусть x y и y z. Согласно (P2) это означает, что (x y), (y x), (y z) и (z y). По отрицательной транзитивности отношения из этого следует, что (x z) и (z x). В свою очередь это, согласно (P2), означает x z.

(2c) Из асимметричности следует, что x x неверно. Поэтому из (P2) следует x x.

Пункт (3) доказывается так же, как пункт (2).

На основе доказанного утверждения легко установить совместность требований в определении неоклассических предпочтений. Другими словами, верно следующее утверждение.

Теорема 3:

(i) Пусть отношение («строгое отношение предпочтения») асимметрично и отрицательно транзитивно, отношение определяется на основе предположения (P1), отношение определяется на основе предположения (P2). Тогда полно и транзитивно, рефлексивно, симметрично и транзитивно, и выполнено предположение (P3).

(ii) Пусть отношение («нестрогое отношение предпочтения») полно и транзитивно, отношение определяется на основе предположения (P1), отношение определяется на основе предположения (P3). Тогда асимметрично и отрицательно транзитивно, рефлексивно, симметрично и транзитивно, и выполнено предположение (P2).

Это утверждение показывает также, что совокупность требований к неоклассическим предпочтениям является избыточной, поскольку, например, строгое отношения предпочтения и его свойства полностью определяют два других отношения предпочтения и их свойства. Поэтому для полного описания неоклассических предпочтений достаточно описать либо соответствующее строгое, либо нестрогое отношение предпочтения (либо то, что из промежуточных курсов 2.3. Неоклассические предпочтения микроэкономики известно как карта кривых безразличия). Существуют две устоявшиеся традиции построения теории поведения потребителя, различающиеся способом описания предпочтений индивидуума. Первая берет за основу описание строгого отношения предпочтения (как асимметричного и отрицательно транзитивного отношения предпочтения). Вторая же традиция исходит из нестрогого отношения предпочтения, которое по исходным предположениям удовлетворяет свойствам полноты и транзитивности. Обе эти традиции приводят к одним и тем же неоклассическим предпочтениям, если строгое и нестрогое отношения предпочтения строятся на основе друг друга вышеуказанным способом, т. е. x y 2.3. Неоклассические предпочтения (6) Для x, y, z X выполнено (a) (x y и y z) x z;

(b) (x y и y z) x z;

(c) (x y и y z) x z;

(d) (x y и y z) x z;

(e) (x y и y z) 2.4. Представление предпочтений функцией полезности 2.3.1 Задачи 13. Какое наименьшее число вопросов требуется задать индивидууму с неоклассическими предпочтениями, чтобы выявить его предпочтения на потребительских наборах, состоящих из 5 благ, каждое из которых может потребляться в количестве 0 или 1 14. Пусть некто предложил в качестве аксиом строгого отношения предпочтения постулировать асимметричность и транзитивность. Какие проблемы на этом пути Вы видите 15. Пусть — нестрогое отношение предпочтения (полное и транзитивное бинарное отношение), заданное на X, а (x y (x y) и 2.4. Представление предпочтений функцией полезности = («лучше или безразлично»). Если для каждой пары наборов x, y X выполнено не более, чем одно из соотношений x y, x y, x y18, то, зная, отношения и можно однозначно восстановить по следующим правилам:

x y, если x y и (y x); (P4) x y, если x y и y x. (P5) В нижеприведенной теореме мы будем исходить именно из этих допущений.

2.4. Представление предпочтений функцией полезности • AN =. Тогда можно взять u(xN+1) = u(x) + 1.

+ • AN =. Тогда можно взять u(xN+1) = u(x) - 1.

• AN =, AN =, AN AN =. Тогда можно взять u(xN+1) = (u(x) + u(x))/2.

+ - + 2.4. Представление предпочтений функцией полезности предпочтения непрерывны. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности. Мы дадим одно из таких определений, а затем укажем другие возможные определения.

Определение 8:

Неоклассические предпочтения,, на X Rl, называются непрерывными, если для любых сходящихся последовательностей допустимых наборов {xn}, {yn} (xn, yn X ), таких что xn yn при всех n, пределы которых x = limn x 2.4. Представление предпочтений функцией полезности (3) (1) Возьмем некоторые сходящиеся последовательности допустимых наборов {xn}, {yn}, такие что xn yn n. Если бы y x, где x = limn xn, y = limn yn, тогда для точек x, y нашлись бы окрестности Vx и Vy, такие что для любых допустимых наборов x Vx и y Vy выполнено y x. Это означает, что при достаточно больших значениях n имеем 2.4. Представление предпочтений функцией полезности по следующему принципу: в эту систему попадают непустые пересечения исходной системы шаров с множеством X. Обозначим через L--(x) множество потребительских наборов из X, которые строго хуже x, т. е. L--(x) = { y X | x y }. Введем в рассмотрение множество индексов тех множеств On, все точки которых хуже x: N(x) = { n | On L--(x) }.

Покажем, что On = L--(x) nN(x)

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.