WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

Товары с такой структурой информированности называют experience goods.

Товары с такой структурой информированности называют credence goods.

Вообще говоря, это не единственный подход к определению объекта (области определения) предпочтений.

Так, например, К. Дж. Ланкастер (K. J. Lancaster: A New Approach to Consumer Theory, Journal of Political Economy 74 (1966): 132–157) в качестве такой области определения предлагал рассматривать характеристики благ, а не сами блага.

2.2. Бинарные отношения и их свойства которых может быть отрицательной величиной, например, труд. Но потребление труда потребителем не может превосходить естественно определенной величины — 24 часа.

Свойство «продолжаемости вверх» означает, что, потенциально, потребителю доступно неограниченное количество блага. Конечно, этого свойства хотелось бы избежать, и во многих современных работах, например, по общему равновесию, оно отсутствует, но ряд основных классических результатов теории потребителя значительно проще формулируется и получается в случае его выполнения. Действительно, при отсутствии этого свойства мы уже, например, не можем быть уверены о том, что потребитель израсходует весь получаемый им доход (т. е.

что выбор потребителя принадлежит бюджетной линии).

Наконец, поясним значение свойства выпуклости. Выпуклость множества X — не такое безобидное и естественное предположение, как может показаться на первый взгляд. Существует достаточное число содержательных экономических вопросов, при изучении которых данное предположение неприемлемо. Например, некоторые из рассматриваемых благ могут потребляться исключительно в дискретных количествах. Подобная ситуация значительно усложняет дело и требует более тонких рассуждений, на которых мы не останавливаемся.

Свойство 0 X имеет достаточно прозрачный смысл, оно фактически означает, что потребитель потенциально может ничего не потреблять. Такая ситуация не означает что это будет его выбором, но мы признаем за ним такую возможность. Иногда бывает удобно предполагать, что множество допустимых альтернатив представляет собой неотрицательный ортант Rl, т. е. X = Rl. В дальнейшем, в каждом конкретном случае, будет либо указано, либо ясно + + из контекста, какой из вышеприведенных случаев имеется в виду8.

Как мы уже говорили выше, в основе поведения потребителя лежат его предпочтения, в соответствии с которыми он осуществляет выбор между доступными ему наборами из множества допустимых альтернатив. Естественным языком для обсуждения концепции предпочтений является теория бинарных отношений, краткое описание которой дается в следующем параграфе.

2.2 Бинарные отношения и их свойства Чтобы мотивировать и пояснить понятие бинарного отношения, рассмотрим известную детскую игру «камень-ножницы-бумага». Предполагается, что: камень побеждает ножницы (тупит), ножницы побеждают бумагу (режут), бумага побеждает камень (оборачивает), в остальных случаях (например, камень — камень) — боевая ничья. Будем говорить, что x находится в отношении R к y и писать x R y, в случае, если x побеждает y, где x и y принадлежат множеству {камень, ножницы, бумага}. Естественно отождествить отношение R с множеством, элементами которого являются упорядоченные пары9 камень, ножницы, ножницы, бумага, бумага, камень и только они. Отметим, что так определенное отношение (множество) R, очевидно, является подмножеством множества, состоящего из всевозможных упорядоченных пар, где каждый элемент пробегает множество {камень, ножницы, бумага}.

Этот простой пример приводит нас к следующему определению бинарного отношения.

Определение 1:

Пусть X — произвольное непустое множество. Декартовым квадратом множества X назовем множество, обозначаемое X X, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары x, y, где x, y пробегают все множество X. Под бинарным отношением R, заданным на множестве X, будем понимать, некоторое подмножество декартова квадрата X X, т. е. формально R X X.

Более подробное обсуждение понятия блага и множества допустимых альтернатив см. в книге Э. Маленво:

Лекции по микроэкономическому анализу, М.: Наука, 1985, гл. 1, § 3 и гл. 2, § 4.

Выражение «упорядоченная пара» означает, что пары a, b и b, a считаются различными.

2.2. Бинарные отношения и их свойства Другими словами бинарное отношение — это некоторое множество упорядоченных пар x, y, где x и y — элементы множества X. Понятие бинарного отношения имеет достаточно простую графическую иллюстрацию (см. Рис. 2.1).

xR X xX Рис. 2.1. Бинарное отношение R, заданное на множестве X При рассмотрении бинарных отношений в случае, когда пара x, y принадлежит множеству R, вместо x, y R обычно пишут x R y и говорят, что x находится в отношении R к y.

Определим теперь некоторые свойства бинарных отношений, которые мы в дальнейшем будем использовать при рассмотрении предпочтений.

Определение 2:

Бинарное отношение R называется • рефлексивным, если x X выполнено x R x • иррефлексивным11, если x R x не выполняется ни при каком x X (т. е. x X (x R x));

• симметричным, если x, y X из x R y следует y R x;

• асимметричным, если x, y X из x R y следует, что y R x неверно;

• транзитивным, если x, y, z X выполнено (x R y и y R z) x R z;

• отрицательно транзитивным, если x, y, z X выполнено ( (x R y) и (y R z)) (x R z);

• полным, если x, y X выполнено либо x R y, либо y R x, либо и то и другое.

Проиллюстрируем эти свойства бинарных отношений на примерах.

Здесь и далее, под A мы подразумеваем отрицание A.

Часто это свойство также называют нерефлексивностью, но такая терминология приводит к парадоксальным выражениям. Например, «бинарное отношение не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным». Чтобы избежать этой игры слов, мы и используем термин «иррефлексивность».

2.2. Бинарные отношения и их свойства Пример 1:

Пусть X — множество студентов, учащихся в этом учебном году в Новосибирском Государственном Университете, R — отношение «выше ростом, чем» заданное на X. Посмотрим, каким из указанных выше свойств удовлетворяет данное бинарное отношение.

Очевидно, что какого бы мы студента ни взяли, его рост не может быть больше его же роста, т. е., например, 175 не может быть больше 175. Таким образом, это отношение является иррефлексивным и не удовлетворяет свойству рефлексивности.

Это отношение также является асимметричным и не является симметричным. Действительно, пусть h(a) — рост некоторого студента a, а h(b) — рост студента b, и a R b, т. е. студент a имеет больший рост, чем b (h(a) > h(b)). Тогда вполне понятно, что неверно (h(b) > h(a)), что и означает, что неверно b R a. Таким образом, с учетом произвольности выбора a и b получили желаемое.

Проверим теперь, что данное отношение является транзитивным. Из множества X возьмем трех произвольных студентов a, b, c, чей рост составляет h(a), h(b) и h(c) соответственно, причем выполнено следующее: h(a) > h(b) и h(b) > h(c). Очевидно, что по свойству сравнения действительных чисел мы имеем, что h(a) > h(c). Это в точности означает, что a R c и мы, таким образом, показали транзитивность R.

Выполнение свойства отрицательной транзитивности мы проверим чуть позже, а сейчас перейдем к проверке свойства полноты. Как несложно понять, данное отношение не является полным, если среди студентов есть хотя бы двое с одинаковым ростом. В этом случае ни один из этих двух студентов не будет выше другого и, таким образом, мы имеем нарушение полноты. Если же среди нашего множества X нет ни одной пары студентов с одинаковым ростом, то введенное на X отношение «выше ростом, чем» обладает свойством полноты.

Пример 2:

Пусть на множестве X = R2 задано отношение R по правилу (x1, x2) R (y1, y2) + x1 + y2 y1 + x2. Перед тем как отвечать на вопрос о том, каким свойствам удовлетворяет данное бинарное отношение, заметим, что x1 + y2 y1 + x2 x1 - x2 y1 - y2, т. е.

(x1, x2) R (y1, y2) x1 - x2 y1 - y2. Как несложно догадаться, данное бинарное отношение удовлетворяет тем же свойствам, что и отношение на действительной прямой, т. е. полнота, транзитивность, рефлексивность. (Проверьте самостоятельно выполнение/невыполнение условий симметричности/асимметричности и отрицательной транзитивности.) Замечание: При проверке указанных выше свойств предпочтений следует быть осторожным и не делать поспешных выводов. В частности, если окажется, что отношение не является рефлексивным, то из этого, вообще говоря, не следует, что отношение является иррефлексивным. Та же ситуация возникает при рассмотрении связки свойств симметричность/асимметричность.

Эти определения также легко проиллюстрировать графически в духе Рис. 2.1. Так, например, рефлексивность означает, что вся диагональ декартова квадрата X X принадлежит R.

Свойство симметричности означает, что множество R симметрично относительно диагонали декартова квадрата. Полнота означает, что если мы «согнем по диагонали» декартов квадрат, то в итоге получим треугольник без выколотых точек.

Выше мы ввели и обсудили ряд часто встречающихся свойств бинарных отношений. Теперь рассмотрим взаимосвязь между этими свойствами.

Теорема 1:

• Каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.

• Каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.

2.2. Бинарные отношения и их свойства • Каждое иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение является асимметричным.

• Отношение R является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда x, y, z X из x R y следует x R z или z R y.

Доказательство: Доказательство свойств тривиально. С целью демонстрации техники доказательства мы докажем только третий пункт теоремы.

Предположим противное, т. е. пусть отношение R иррефлексивно, транзитивно, но не является асимметричным. Тогда найдется пара x, y X такая, что x R y и y R x. Так как отношение R транзитивно, то из x R y и y R x следует x R x. Получили противоречие с иррефлексивностью.

Пример 3 (продолжение Примера 1):

Нам осталось проверить свойство отрицательной транзитивности. Для его проверки воспользуемся представлением этого свойства из только что доказанного утверждения. Для этого из множества X возьмем трех произвольных студентов a, b, c, чей рост составляет h(a), h(b) и h(c) соответственно, причем выполнено h(a) > h(b). Очевидно, что каким бы ни был h(c), должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств h(a) > h(c) или h(c) > h(b). Таким образом, видим, что для данного отношения R выполнено свойство отрицательной транзитивности.

Теперь, вооружившись понятием бинарного отношения, мы можем перейти к обсуждению неоклассического подхода к моделированию предпочтений и выбора.

2.2.1 Задачи 1. Предположим, условно, что существует всего два города, в каждом из которых продаются по три товара. Какова размерность пространства благ, исходя из определения блага по Дебре 2. Пусть X — множество всех ныне живущих людей на планете Земля. Проверьте выполнение следующих свойств:

• полнота, • рефлексивность, • симметричность, • транзитивность, • отрицательная транзитивность для следующих бинарных отношений, заданных на X :

(a) «является потомком»;

(b) «является внуком»;

(c) «является родителем такого же числа детей, что и»;

(d) «состоит в браке с» (допуская полигамию);

(e) «состоит в браке с» (предполагая моногамные отношения);

(f) «состоит в родстве с»;

(g) «хотя бы раз в жизни думал о».

3. Пусть X — множество населенных пунктов на планете Земля. Какими свойствами обладают следующие отношения:

(a) «расположен восточнее» (в случае, если Земля круглая);

(b) «расположен восточнее» (в случае если, Земля плоская и стоит на черепахах);

(c) «имеет ту же численность, что и... »;

(d) «имеет то же число безработных, что и... » 2.3. Неоклассические предпочтения 4. Какими из свойств (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асимметричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) обладает отношение R, заданное на R2 :

++ x1 y(a) (x1, x2) R (y1, y2) > ;

x2 yx1 x(b) (x1, x2) R (y1, y2) ;

y1 y(c) (x1, x2) R (y1, y2) (x1 - x2)(y1 - y2) > 0;

(d) (x1, x2) R (y1, y2) x1x2 y1y2 ;

(e) (x1, x2) R (y1, y2) min{x1 + x2, y1 + y2} 0;

(f) (x1, x2) R (y1, y2) min{x1, x2} > min{y1, y2} В случае, если отношение обладает свойством, предоставьте формальное доказательство, если же не обладает, то приведите пример, показывающий это.

5. Отношение лексикографического упорядочения, заданное на R2, определяется следую++ щим образом:

x RL y (x1 > y1 или (x1 = y1 и x2 > y2)).

Каким свойствам (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асимметричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) удовлетворяет данное отношение 6. Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству рефлексивности, ни свойству иррефлексивности.

7. Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству симметричности, ни свойству асимметричности.

8. Покажите, что каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.

9. Приведите пример симметричного, но не рефлексивного бинарного отношения.

10. Объясните, почему каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.

11. Несложно понять, что для любых высказываний A и B выполнено следующее логическое правило: ( A B) (B A). Используя этот факт, докажите, что отношение R является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда для всех x, y, z X выполнено x R y (x R z или z R y).

12. Не прибегая к исчислению высказываний (т. е. рассуждениям вида ( A B) (B A)), докажите, что для любого бинарного отношения R свойство x, y, z X : x R y (x R z или z R y) эквивалентно свойству отрицательной транзитивности.

2.3 Неоклассические предпочтения В экономической теории предпочтения потребителя — единственная его характеристика, которая принимается во внимание при объяснении его поведения. Поэтому в дальнейшем в теории потребления мы отождествляем потребителя с его предпочтениями12.

Предпочтения потребителя в неоклассической традиции представляются (описываются) тройкой бинарных отношений, заданных на множестве допустимых альтернатив X :

Строгое отношения предпочтения. Тот факт, что данный потребитель предпочитает альтернативу x альтернативе y или, другими словами, альтернатива x лучше, чем альтернатива y, будет обозначаться как x y;

Нестрогое отношение предпочтения. Тот факт, что потребитель нестрого предпочитает альтернативу x альтернативе y или, другими словами, альтернатива x для него не хуже, чем альтернатива y, будет обозначаться как x y;

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.