WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

6. Вопрос: Разложение вектора по ортам осей криволинейной системы координат. Контравариантные и ковариантные компоненты вектора Разложение любого вектора a по ортам осей криволинейной системы координат можно представить следующим образом a = a1e1 + a2e2 + a3eпричем в общем случае eeµ 0, µ, (e1, e2, e3) Компоненты вектора a (a1, a2, a3) по осям являются его косоугольными проекциями на эти оси или контравариантными компонентами. В случае ортогональных проекций вектора a на эти оси они называются ковариантными компонентами. Ортогональные проекции вектора a на оси [qi], т.е. ковариантные компоненты, выражаются соотношениями aq1 = ae1, aq 2 = ae2, aq3 = aeДля нахождения контравариантных компонентов вектора a (a1, a2, a3) спроектируем этот вектор на три ортогональные оси основного координатного базиса и получим ai = a1e1i + a2e2i + a3e3i aj = a1e1 j + a2e2 j + a3e3 j ak = a1e1k + a2e2k + a3e3k Перепишем эти равенства с учетом выражений 1 r ei =, i = 1,3 в следующем виде Hi qi a1 x a2 x a3 x ax = + + H1 q1 H2 q2 H3 qa1 y a2 y a3 y ay = + + H1 q1 H2 q2 H3 qa1 z a2 z a3 z az = + + H1 q1 H2 q2 H3 qЗная проекции ax,ay,az вектора a на оси прямоугольного базиса и располагая соотношениями x = x(q1, q2, q3 ), y = y(q1, q2, q3 ), z = z(q1, q2, q3 ), решаем выше написанную систему уравнений и находим контравариантные компоненты a1,a2,aвектора a.

Заметим, что эта система уравнений допускает указанное решение при условии неравенства нулю ее определителя. А это условие выполняется, так как оно вытекает из предположения, что (e1,e2,e3) 0.

7. Вопрос: Скорость точки в криволинейной системе координат Рассмотрим криволинейную систему координат q1, q2, q3, которую в общем случае будем считать неортогональной. Радиус-вектор движущейся точки выражается функцией выбранных координат, которые изменяются с течением времени, т.е.

r = r (q1 (t), q2 (t),q3 (t)).

r Вектор скорости v =. Первая часть этого равенства является производной от t сложной векторной функции трех переменных. Составляя полную производную радиусавектора точки по времени, получим скорость точки r r v = = qi t qi i=q1 q2 qПроизводные q1 =, q2 =,q3 = называются обобщенными скоростями.

t t t r Учитывая, что = Hiei, перепишем формулу скорости в виде qi r v = = qiei = H1q1e1 + H2q2e2 + H3q3eHi t i =Эта формула дает разложение скорости V по ортам осей криволинейной системы координат. Здесь множители перед ортами e1,e2,e3 являются контравариантными компонентами скорости или косоугольными проекциями на оси криволинейной системы.

Обозначив их v1,v2,v3, получим v1 = H1q1, v2 = H2q2, v3 = H3qДля получения ковариантных компонентов умножим скалярно вектор скорости V соответственно на орты e1,e2,e3, после чего получим vq1 = ve1 = H1q1 + H2q2e2 e1 + H3q3e3 evq2 = ve2 = H1q1e1 e2 + H2q2 + H3q3e3 evq3 = ve3 = H1q1e1 e3 + H2q2e2 e3 + H3qОтметим, что ковариантные компоненты vqi, вообще говоря, не совпадают с его контравариантными компонентами vi. В случае ортогональности векторов e1,e2,e3 в силу условий ei ej = 1, ei ej = 0, при i j выполняются равенства vi = Vqi. Совпадение ковариантных и контравариантных компонентов в криволинейной ортогональной системе координат имеет место для любого вектора.

В задачах механики квадрат скорости определяет кинетическую энергию движущейся точки. Напишем выражение для V в криволинейных координатах точки.

3 v2 = vv = H qiqjei ej Hi j i =1 j -Для ортогональных координат квадрат скорости v2 = H q12 + H2q22 + H3qТак как коэффициенты Ламе выражаются через криволинейные координаты точки, то v2 в общем случае является функцией, зависящей как от криволинейных координат, так и от обобщенных скоростей 3 v2 = v, где vi = Hiqi,vqi = qjej ei vi H j i=1 j =qi Заметим, что эта формула дает общее правило вычисления квадрата модуля любого вектора путем сложения произведений его ковариантных и контравариантных компонент, отнесенных к некоторой криволинейной системе координат. Так как квадрат модуля вектора является инвариантом, то и указанная сумма будет инвариантна по отношению к любому преобразованию координатной системы.

8. Вопрос: Ускорение точки в криволинейной системе координат.

В задачах механики, при составлении уравнений Лагранжа второго ряда применяются прямоугольные проекции вектора ускорения точки W на криволинейные оси, причем сами оси криволинейной системы, вообще говоря, не должны удовлетворять условию ортогональности.

Ортогональные проекции wq i на направления единичных векторов e1,e2,e3, которые касаются в данной точке координатных линий, направленных в сторону возрастания координат q1, q2, q3, вычисляются с помощью скалярного произведения wq i = wei = vei.

1 r Подставляя сюда выражения для ei =, найдем Hi qi v r 1 d r d r wq i = = (v ) - v ( ) Hi qi Hi dt qi dt qi v r d r v =, ( ) = qi qi dt qi qi При дальнейшем преобразовании используем два тождества Лагранжа:

Первое получается сразу непосредственным дифференцированием вектора скорости dr r r r v = = q1 + q2 + q3 по обобщенной скорости qi. Для вывода второго dt q1 q2 qv d r тождества составим отдельно левую и правую части равенства = ( ).

qi dt qi Так как получаются одинаковые выражения для обеих частей равенства, то это и является доказательством справедливости второго тождества.

Произведя несложные преобразования, получим 1 d v2 vwq i = ( ) - ( ), i=1, 2, 3.

Hi dt qi 2 qi Из этой формулы и определяются ортогональные проекции вектора ускорения точки в произвольных криволинейных координатах.

Итак, для составления ковариантных компонентов ускорения W на оси криволинейной системы координат необходимо:

1. вычислить коэффициенты Ламе для выбранной системы координат;

2. составить выражения квадрата скорости точки в виде;

3 v = vv = H qiq eie, для произвольной системы или Hi j j j i=1 j=v = H12q12 + H2 2q2 2 + H3 2q3 2 для ортогональной системы.

3. Выполняя необходимые операции, находим искомые проекции Wq i.

9. Вопрос: Определите выражения для скорости и ускорения точки в цилиндрической системе координат r=r(t), = (t), z=z(t) Учитывая связь декартовых координат с цилиндрическими имеем x = r cos, y = r sin.

Введем криволинейные координаты q1=r, q2=, q3=z.

Найдем коэффициенты Ламе. Так как dS1=H1dq1, dS2=H2dq2, dS3=H3dq3, и, кроме того, dS1=dr, dS2=rd dS3=dz, то имеем H1=1, H2=r, H3=1.

, Найдем проекции скорости. Vq1=Vr= q1H1= r, Vq2=V = q2H2 = r, Vq3=Vz= q3H3 = z Так как цилиндрическая система координат является ортогональной, то модуль скорости находим по формуле 2 2 2 V = (q1H1)2 + (q2H2)2 + (q3H3)2 = r + r + z Определим ускорение.

1 2 2 2 T= V + (r + r + z2 ), 2 T T T = r, = r, = z r z T T T = r, = 0, =r z d T T По формуле W = ( - ), j=1,2,q i dt qj q H j j Находим проекции ускорения на оси заданной криволинейной системы координат Wz = r - r, W = r + 2r, Wz = z.

10. Вопрос: Определите скорость точки в сферической системе координат = (t), = (t), = (t) Координаты точки x, y, z в декартовой системе координат выражаются через сферические координаты равенствами x = sin cos, y = sin sin, z = cos, где 0 <, 0 < 2, 0 Введем криволинейные координаты q1 =, q2 =, q3 =.

Найдем коэффициенты Ламе.

Так как dS1 = H1dq1 = Hd, dS2 = H2dq2 = Hd, dS3 = H3d и, кроме того, dS1 = d, dS2 = sind, dS3 = d, то получаем H1 = H = 1, H2 = H = sin, H3 = H = Найдем проекции скорости. v q1 = v = q1H1 = rH =, v q2 = v = q2H = H = sin, v q3 =v = H3 = H = Так как сферическая система координат является ортогональной, то квадрат 2 2 2 2 скорости равен v2 = + sin + 2.

11. Вопрос: Определите ускорение точки в сферической системе координат = (t), = (t), = (t) Декартовые координаты точки М выражаются через сферические координаты равенствами x = sin cos, y = sin sin, z = cos, Найдем значения коэффициентов Ламе для координатных линий ( ), (), ().

Для ортогональной криволинейной системы координат квадрат дифференциала дуги dS примет вид dS2 = H12dq12 + H22dq22 + H32dqДля сферической системы координат имеем 2 dS2 = H 2d + H 2d + H 2dДифференциалы дуг, соответствующих координатным линиям:

d1S = H1dq1, d2S = H2dq2, d3S = H3dq3, для сферической системы координат H d = d S = d, Hd = d S = sind, Hd = dS = d Откуда коэффициенты Ламе для сферической координатной системы имеют следующие значения:

H =, H = sin, H = 1.

Проекции скорости на оси сферической системы координат и квадрат скорости равны:

2 2 2 = 2 2 + sin2 + Для получения проекций ускорения точки на оси сферических координат предварительно найдем производные 2 ( ), ( ) qi 2 qi Вычисляя эти произведения для каждого i, получим 2 ( ) = 2 sin2 cos, ( ) = 2 2 2 ( ) = 0, ( ) = sin 2 2 ( ) = ( 2 + sin2 ), ( ) = 2 Подставляя эти выражения в формулы для ортогональных проекций W на q i криволинейные оси [qi] 2 1 d W = ( ) - ( ), q i Hqi dt qi 2 qi Найдем проекции ускорения:

1 d 2 W = ( ) - 2 sin cos dt 1 d W = (2 sin ) sin dt W = - ( 2 + sin2 ) В силу ортогональности сферической системы координат модуль ускорения определяется из равенства W = W 2 +W 2 +W 12. Вопрос: Пространство и время В классической механике, основанной на законах Галилея-Ньютона, считается, что время и пространство не зависят от движения тел. Механическое движение заключается в изменении пространственного положения тела с течением времени. Для изучения законов природы необходимо знать свойства пространства и времени. В теоретической механике, пространство, в котором происходит движение тел, рассматривается как трехмерное евклидово пространство. Таким образом, свойства пространства в классической механике полностью определяется системой аксиом и теорем геометрии Евклида4.

Трехмерность пространства означает, что для указанного места достаточно трех чисел, например, трех пространственных координат. Однородность пространства проявляется в независимости физических законов от положения в пространстве. Опыт, поставленный в одинаковых физических условиях в различных местах, дает одинаковый результат.

Изотропность пространства проявляется в независимости физических законов от ориентации системы в пространстве, что означает одинаковость свойств объектов по всем направлениям.

Что касается времени, то в классической механике оно предполагается одномерным и однородным. Одномерность времени означает, что для указания момента наступления события или длительности какого-либо процесса достаточно одного числа. Однородность времени проявляется в неизменяемости законов с течением времени. Опыты, поставленные в одинаковых физических условиях в разные моменты времени, дают одинаковые результаты.

При изменении времени в кинематике различают такие понятия, как промежуток времени, момент времени, начальный момент времени.

Промежутком времени называется время, протекающее между двумя событиями.

Моментом времени называется граница между двумя смежными промежутками времени.

Начальным моментом времени называется момент времени, с которого начинается отсчет.

Заметим, что однородность и изотропность пространства м времени имеют место не во всех системах отсчета, а лишь в инерциальных системах. Так называются системы отсчета, по отношению к которым механическое движение описывается законами Евклид (ок.340-287 гг. до н.э.) – математик эпохи эллинизма. Занимался геометрией, оптикой и музыкой. Одним из первых начал изучать логические основания математики. Написал трактат по прикладным вопросам, в которых теория выводилась строго дедуктивно из сформулированных физических гипотез и математических постулатов. Его знаменитый труд «Начала» состоит из 13 книг, первой из которых предшествует пять постулатов и пять аксиом. В «Началах», кроме собственно геометрии, изложены геометрическая алгебра, решение квадратных уравнений, теория чисел и т.д. Пространство, свойства которого описываются аксиомами геометрии Евклида, называют евклидовым пространством. Он доказал бесконечность множества простых чисел, ввел понятие иррационального числа. Именем Евклида назван кратер на видимой стороне Луны.

Ньютона5. Первый из этих законов, закон инерции, утверждает существование инерционных систем отсчета.

Все указанные свойства пространства и времени – результаты обобщения многовековой практической деятельности людей. Только практика на рубеже XIX и XX столетий потребовала внесения изменений в эти представления (специальная теория относительности).

В отличие от классической механики современная физика, построенная на основе теории относительности А.Эйнштейна6 (1879-1955), приводит к иным представлениям о пространстве и времени. Этому содействовало появление новой геометрии гениального русского математика Н.И.Лобачевского7 (1792-1856), которая была изложена в труде «Новые начала геометрии».

Ньютон дал определение основных понятий механики – массы, плотности, количества движения, силы, пространства, времени. Ему принадлежат концепции абсолютного пространства и времени и развитие идеи относительности Г.Галилея. Сформулировал три закона. Первый закон – закон инерции Галилеяньютона, сформулированный впервые Г.Галилеем в 1638г. для изолированной материальной точки, движущейся в инерциальной системе отсчета: изолированная материальная точка в инерциальной системе отсчета движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя. Второй закон Ньютона:

изменение количества движения материальной точки в каждый момент времени пропорционально силе, действующей на движущуюся точку. Третий закон Ньютона: тело А действует на тело В с силой FA, равной по величине и противоположной по направлению силе FB, с которой тело В действует на тело А. Величина m1mэтих сил определяется законом всемирного тяготения, открытого И.Ньютоном F =, где r – r расстояние между материальными объектами, - постоянная гравитационного воздействия нм-( =6,672*10 ).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.