WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики – процессов управления Кафедра механики управляемого движения Г.В.Алферов Механика в криволинейных координатах.

В вопросах и ответах Пособие для подготовки к коллоквиуму Санкт – Петербург 2006 1 Содержание 1. Вопрос:Ретроспектива кинематики.................................................................. 3 2. Вопрос:Понятие криволинейных координат точки......................................... 5 3. Вопрос:Геометрические характеристики криволинейных координат............ 6 4. Вопрос:Коэффициенты Ламе............................................................................ 7 5. Вопрос:Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности................................................................................................ 8 6. Вопрос:Разложение вектора по ортам осей криволинейной системы координат. Контравариантные и ковариантные компоненты вектора............ 9 7. Вопрос:Скорость точки в криволинейной системе координат..................... 10 8. Вопрос:Ускорение точки в криволинейной системе координат................... 11 9. Вопрос:Определите выражения для скорости и ускорения точки в цилиндрической системе координат r=r(t), = (t), z=z(t)............................ 12 10. Вопрос:Определите скорость точки в сферической системе координат = (t), = (t), = (t).................................................................................. 13 11. Вопрос:Определите ускорение точки в сферической системе координат = (t), = (t), = (t)......................................................................................... 14 12. Вопрос:Пространство и время........................................................................ 15 13. Вопрос:Система отсчета. Тело отсчета.......................................................... 19 14. Вопрос:Модели материальных объектов в механике.................................... Кинематика точки в криволинейных координатах 1. Вопрос: Ретроспектива кинематики Первые исследования по кинематике связаны с появлением огнестрельного оружия.

Вопросы определения траектории полета снаряда, уточнение понятий о неравномерном и криволинейном (параболическом) движения точки стали актуальными. Итальянский ученый и живописец Леонардо да Винчи (1452-1519) первым изучил вопрос о свободном вертикальном падении тяжелого тела. Однако, первые научные положения в области кинематики отражены в исследованиях итальянского механика и астронома Галилео Галилея (1564-1642).

Г.Галилей ввел понятие об ускорении и показал, что траекторией движения снаряда, брошенного в пустоте под некоторым углом к горизонту, является парабола. Законы, выведенные Г.Галилеем, нашли свое дальнейшее развитие в исследованиях итальянского математика, физика и механика Эванжелиста Торричелли (1608-1647), получившего формулу для определения скорости падения тела.

Нидерландскому механику и математику Христиану Гюйгенсу (1629-1695) принадлежит дальнейшее развитие понятия ускорения точки в криволинейном движении.

Х.Гюйгенс впервые обратил внимание на возможность разложения ускорения на касательное и нормальное, строгое доказательство которого дал петербургский академик Леонард Эйлер (1707-1783).

Эйлеру принадлежат основополагающие исследования по кинематике точки при естественном способе задания движения, по кинематике вращательного движения твердого тела около неподвижной точки.

Развитие кинематики системы точек связано с именем французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813).

В XIX веке развилась кинематика относительного движения. Была сформулирована теорема о сложении ускорений, которая была доказана французским механиком Гюставом Кориолисом (1792-1843). Однако есть основания полагать, что эта теорема была ранее известна немецкому математику и астроному Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855), который ее не опубликовал. К.Гаусс вычислил орбиту малой планеты Цереры, написал книгу «Теория движения небесных сил» (1809), в которой содержатся положения, до сих пор лежащие в основе вычисления планетных орбит.

Развитие теории механизмов и машин в XIX веке позволило выделить кинематику в особый раздел механики1. Эта идея принадлежит французскому ученому Андре Амперу (1775-1836), который и ввел сам термин кинематика.

Теоретическая кинематика развивалась в тесной связи с теорией механизмов и машин. Особое развитие получила кинематика твердого тела, в частности, теория плоскопараллельного движения. Глубокие исследования в этом направлении принадлежат французким ученым Мишелю Шалю (1793-1880), Луи Пуансо (1777-1859), Жан Виктору Понселе (1788-1867).

В России основателем научной школы по кинематике механизмов является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894). П.Л.Чебышев указал особые методы синтеза механизмов, которые были названы аналитическими в отличие от геометрических методов.

Задача построения механизма, осуществляющего некоторое заданное движение, т.е.

задача синтеза механизмов часто содержит несовместимые условия. Ввиду этого задача построения механизма, выполняющего заданное движение, может быть решена с известными ограничениями лишь приближенно. Разрабатывая приближенные аналитические методы синтеза механизмов, П.Л.Чебышев расширил методы математического анализа и указал способы построения функций, осуществляющих наилучшее приближение в указанном им смысле. В настоящее время научное наследие П.Л.Чебышева по кинематике механизмов разрабатывали российские ученые, среди которых отметим Ивана Ивановича Артоболевского (1905-1977), Александра Петровича Котельникова (1865-1944), Николая Борисовича Делоне (1856-1931), Дмитрия Степановича Зернова (1860-1922), Леонида Владимировича Ассура (1878-1920) и др.

Николаю Егоровичу Жуковскому (1847-1921) принадлежат многие работы по теоретической механике, в том числе по кинематике, в которых широко используются геометрические методы доказательств различных теорем. Ряд глубоких исследований по Наиболее полная система античной механики предложена древнегреческим ученым Аристотелем (384-322гг. до н.э.) в сочинениях «Механика», «Физика», «О мире и небе», в которых он систематизировал и обобщил научные наблюдения и выводы, накопленные древнегреческими натуралистами и ввел сам термин механика. Система механики Аристотеля сыграла исключительную роль в дальнейшем развитии механики, оставаясь до XVI века основным ее стержнем. Основоположником теоретической механики как науки следует считать не Аристотеля, а великого сиракузского математика и механика Архимеда (287-212гг. до н.э.), родившегося несколько лет спустя после смерти Аристотеля. Архимед, опираясь на строгую систему аксиом, дал первое строго научное изложение теории рычага и тем самым заложил основы новой науки – механики.

кинематике провел Валериан Николаевич Личин (1846-1900), создав в Одессе школу в области кинематики механизмов.

В настоящее время развитие ракетной и космической техники, создание роботовманипуляторов и мехатронных систем дало новый толчок в развитии кинематики твердых тел и пространственных механизмов.

2. Вопрос: Понятие криволинейных координат точки Положение точки в пространстве обычно задается декартовыми координатами X, Y, Z. В некоторых случаях для определения положения точки удобнее использовать какиенибудь другие параметры.

Любые три независимые переменные, однозначно определяющие положение точки в пространстве, могут быть выбраны в качестве координат этой точки. Такие координаты точки называются криволинейными или независимыми обобщенными координатами q1,q2,q3.

Примерами криволинейных координат являются полярные, цилиндрические, сферические и др.

В задачах механики криволинейные координаты движущейся точки являются функциями времени и однозначно определяют ее положение в пространстве в любой момент времени q1 = q1(t), q2 = q2(t), q3 = q3(t) Радиус-вектор точки r будет векторной функцией обобщенных (криволинейных) координат q1,q2,q3.

r = r (q1,q2,q3) Изучая движение точки в трехмерном пространстве, свяжем с этим пространством неподвижную систему прямоугольных осей, которую назовем основным координатным базисом. Обозначая орты этой системы i, j, k и, пользуясь разложением радиус-вектора r = xr + yj + zk, напишем x = x(q1,q2,q3) y = y(q1,q2,q3) z = z(q1,q2,q3) Решая эту систему, находим обратные соотношения, выражающие криволинейные координаты точки в функции от декартовых координат базиса.

3. Вопрос: Геометрические характеристики криволинейных координат Рассмотрим общие геометрические свойства, характерные для всех систем криволинейных координат.

Фиксируя поочередно значения двух координат из трех, т.е. допуская изменение только одной координаты, приходим к представлению координатной линии q1, которая вычерчивается концом вектора r, согласно уравнению r = r (q1, q20, q30 ).

Аналогично получаем уравнения еще двух координатных линий (q2) и (q3).

(q2 ) : r = r(q10, q2, q30 ) (q3 ) :r = r (q10, q20, q3 ) Таким образом, координатные линии являются годографами векторной функции r(q1,q2,q3), образованными непрерывным изменением этой функции при изменениях поочередно только одной из трех криволинейных координат.

Координатные линии (qi ),i = 1,2,3 проходят через общую точку пространства M, определяемую криволинейными координатами q10, q20, q30 (см. рис.).

Касательные, проведенные к координатным линиям в данной точке M, называются координатными осями [qi ].

Координатные оси образуют триэдр координатных осей, которые в различных точках пространства изменения криволинейных координат образуют между собой различные углы.

Если для всех точек пространства координатные оси образуют между собой прямые углы, то система криволинейных координат называется ортогональной.

Направления координатных осей [qi ] соответствуют возрастанию координат и связываются соответственно с единичными векторами ei (i = 1,3).

Особенность осей криволинейной системы Каждой позиции движущейся в пространстве точки соответствует своя система координатных линий и, следовательно, свои координатные оси.

4. Вопрос: Коэффициенты ЛамеКоординатные линии являются годографами векторных функций r = r (q1, q20, q30 ), r = r (q10, q2, q30 ), r = r(q10,q20, q3 ). Орты координатных осей e1, e2,eсовпадают по направлению с частными производными векторной функции r = r (q1, q2, q3 ), взятыми по соответствующим криволинейным координатам.

r Поэтому = Hiei, i = 1,2,3, qi где ei - единичный вектор, касательный к координатной линии, проходящей через данную точку пространства, направленный в сторону возрастания координаты qi, множители Hi > 0 называются коэффициентами Ламе или дифференциальными параметрами Ламе.

Коэффициенты Ламе – функции обобщенных координат q1, q2, q3, которые удобно r определять по формуле Hi =.

qi r x y z Если учесть, что = i + j + k, qi qi qi qi 2 2 x y z тогда Hi = + + qi qi qi Габриэль Ламе (1795-1870) французский математик и механик, член Парижской АН (с 1843), чл.кор. Петербургской АН (с 1829). Основные труды по математической физике, геометрии и алгебре. В 1816г.

представил в Парижскую АН «Мемуар о пересечении линий и поверхностей», содержавший несколько новых теорем. В 1818г. опубликовал сочинение «Исследования различных методов, применяемых для решения геометрических задач», которые высоко оценили Ж.Понселе и М.Шаль.

В дальнейшем он работал над вопросами математической физики, теории упругости, разработал теорию криволинейных координат и их применения в механике и теории упругости, ввел функции Ламе.

Разработал (1859) идеи, положенные в основу тендерного анализа. Доказал (1840) неразрешимость в целых числах уравнения x7 + y7 = z7. Написал «Курс рациональной математической физики» (1865). Автор «Лекций по математической теории упругости твердых тел» (1852) – первого трактата по теории упругости.

Именем Ламе назван кратер краевой зоны Луны.

5. Вопрос: Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности Рассмотрим условие ортогональности осей криволинейной системы. Чтобы в любой точке пространства координатные оси были взаимно перпендикулярны, необходимо выполнение условия 0 i j ei ej = 1 i = j r r Вектор направлен по касательной к координатной линии, поэтому = Hiei, qi qi где ei - единичный вектор, касательный к координатной линии, Hi - коэффициент Ламе.

1 r Отсюда ei =, i = 1,2,3, Hi qi 2 2 x y z Где Hi = + + qi qi qi Условие ортогональности осей криволинейной в аналитической форме принимает вид x x y y z z + + = Hi H j ij qi q qi q qi q j j j Здесь ij символ Кронекера0, если i j ij = 1, если i = j Леопольд Кронекер (1823-1891) – немецкий математик, член Берлинской АН (с 1861), члю-кор.

Петербургской АН (с 1872). Основные работы относятся к теории чисел, теории квадратных форм и теории групп, а также к теории эллиптических функций. Был сторонником арифметизации математики, считал, что только арифметика обладает подлинной реальностью, что математику следует свести к арифметике целых чисел.

Вел упорную борьбу против теоретико-функциональной школы К.Вейерштрасса и теоретикомножественной школы Г.Кантора. Усовершенствовал технику счета, для этого ввел ряд символов. Доказал теорему о сходимости бесконечного ряда. Ввел (1866) символ Кронекера ij - функцию двух целочисленных аргументов i и j. Этот символ находит применение в матричном и тензорном исчислении.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.