WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

i xi(ti) + (Qi - xi(ti))e- (ri,xi-1 (ti ),ui )t Задача (5) является «аддитивной», так как в ней критерий эффективности представляет собой разность функционала от терминального значения траектории и функционала, зависящего от всей траектории, причем моменты переключений априори упорядочены.

Поэтому данная задача может быть отнесена к классу задач оптимального управления [5, 35]с фазовыми координатами, разрывными во внутренних точках [7]. Для ее решения, в случае известных моментов переключений, могут быть использованы известные методы [18], в общем же случае следует сначала искать оптимальные управления при фиксированных моментах переключений, а затем – применять метод динамического программирования для поиска моментов переключения при условии, что оптимальные инвестиции между моментами переключений ищутся из решения соответствующих задач оптимального управления.

Решение задачи (5) в ряде случаев может быть получено численно, что позволяет, во-первых, при заданных исходных данных находить оптимальную инновационную и инвестиционную политику (см. пример ниже). Во-вторых, появляется возможность посредством имитационного моделирования анализировать различные политики, оценивать их эффективность, сравнивать между собой и т.д. Кроме того, отметим, что в предложенной модели фигурирует достаточно много параметров, поэтому, опуская часть из них, можно получать более простые модели, вводя для которых содержательно интерпретируемые предположения, можно получать аналитические решения (см. (8)).

Итак, в предложенной модели фигурируют следующие параметры1.

1. Характеристики технологий: {qi, ci, Qi, i()}, где qi – одномоментные потери (или выигрыш) в уровне развития технологий, связанные с внедрением новой технологии, ci – инвестиции в новую технологию, Qi – максимальный уровень ее развития (технологический предел), i() – зависимость скорости развития от инвестиций и характеристик объекта, внедряющего новые технологии, i N.

2. Характеристики объекта: x0 – начальный уровень развития технологий, T – горизонт планирования.

3. Характеристика внешней среды: (t) – коэффициент дисконтирования.

Задача (6) заключается в совместном (!) выборе инновационной политики (в какие моменты времени начинать внедрение той или иной новой технологии, включая принятие решений о целесообразности ее внедрения вообще) и инвестиционной политики – каков оптимальный график инвестиций в новые технологии.

Содержательные интерпретации задачи (6) могут быть самыми разными – начиная от анализа государственной политики стимулирования инновационного развития экономики, отраслей и отдельных предприятий, и заканчивая выбором фирмой стратегии своего инновационного развития. Приведем иллюстративный пример.

Пример 5. Пусть n = 2, T = 100, x0 = 0,1, Q1 = 1, Q2 = 3, q2 = 0, = 1, H(X) = 100 X 2, F() 0, u1 = Const, u2 = Const, 1 = 20 u1 x0, 2 = 3 u2 x2(t2), где x2 (t2) = x1(t2 –1) – q2. Оптимальное решение приведено на Рис. 4 (пунктирная линия соответствует динамике первой технологии, непрерывная – второй).

Разбиение параметров на группы достаточно условно, так как в зависимости от моделируемой ситуации один и тот же параметр может быть отнесен к различным группам.

2,1,0,1 11 21 31 41 51 61 71 81 Рис. 4. Оптимальное решение u1 = 0,022; u2 = 0,051, t2 = (параметры модели: q2 = 0, x0 = 0,1) Расчеты производились в MS Excel (модуль «Поиск решения»), поэтому уверенности, что найдено оптимальное (а не локально оптимальное) решение, нет. Более того, рассматриваемая задача является существенно невыпуклой, поэтому ее решения не устойчивы по параметрам модели (начальным данным).

Изменим q2 = 0,4, x0 = 0,3. Оптимальное решение приведено на Рис. 5.

2,1,0,1 11 21 31 41 51 61 71 81 Рис. 5. Оптимальное решение u1 = 0,008; u2 = 0,087, t2 = (параметры модели: q2 = 0,4, x0 = 0,3) Изменим теперь 1 = 6 u1 x0, 2 = 0,01 u2 x2(t2), x0 = 0,1, q2 = 0,2.

Оптимальное решение приведено на Рис. 6.

2,1,0,1 11 21 31 41 51 61 71 81 Рис. 6. Оптимальное решение u1 = 1,123; u2 = 2,222, t2 = (параметры модели: q2 = 0,2, x0 = 0,1) Если уменьшить, например, в 100 раз по сравнению с предыдущим случаем, скорость 2 второй технологии, то окажется, что ее реализовывать вообще не выгодно – оптимальное решение приведено на Рис. 7.

0,0,0,0,0,0,0,0,0,1 11 21 31 41 51 61 71 81 Рис. 7. Оптимальное решение u1 = 0,113; u2 = 0, t2 = (параметры модели: q2 = 0,2, x0 = 0,1) Таким образом, в настоящем разделе рассмотрена динамическая модель смены технологий, в рамках которой сформулирована задача совместного выбора инновационной и инвестиционной политики. Перспективными представляются следующие направления дальнейших исследований (помимо численной реализации методов решения задачи (5) и получения для нее условий оптимальности).

1. Анализ чувствительности – изучение зависимости оптимального решения от начальных данных и параметров модели.

2. Введение неопределенности – получение решения, оптимального в условиях априорной неопределенности относительно различных параметров модели.

3. Сценарный анализ – исследование свойств оптимальных решений в зависимости от предположений, вводимых относительно диапазонов значений параметров модели (обобщение пп. 1 и 2).

Данный этап является существенным, так как необходимо различать предпосылки и следствия из них – бессмысленно сравнивать различные стратегии инвестиций в новейшие технологические уклады и сценарии их развития, если в их основе лежат отличающиеся между собой оценки эффективности инвестиций.

4. Обобщение результатов пп. 1-3 на случаи, когда динамика развития технологий описывается другим дифференциальным уравнением, нежели (1) – постановка задачи при этом сохранится.

5. Управление портфелем технологий – обобщение модели на случай выбора из нескольких технологий в момент переключения, причем множество альтернатив на каждом шаге может зависеть от множества уже реализованных технологий.

В последнем случае теряется аддитивный характер задачи и, соответственно, усложняются методы ее решения. Но, появляются и новые возможности – например, допуская зависимость qi от ci, i N, получаем возможность анализировать различные стратегии – ориентацию на приобретение технологий (имитационный характер деятельности) или на собственные новации (инновационный характер деятельности), или на разработку и внедрение уже имеющихся технологических решений (стратегия «подхватывания» – catching up) и т.д.

6. Следующим этапом может служить разработка и исследование игровой модели, в которой имеются несколько агентов и отдача от инвестиций в новые технологии каждого зависит от действий его конкурентов.

3.3. КОНКУРЕНЦИЯ НА РЫНКЕ ИННОВАЦИЙВ настоящем разделе рассматривается следующая модель.

Имеются несколько экономических агентов, каждый из которых принимает (одновременно с другими агентами и независимо от них) решения об инвестициях в новые технологии [29, 41]. В фиксированный и известный всем агентам момент времени тот агент, который достиг наилучших результатов – назовем его «победитель», получает фиксированный доход – например, продает результаты разработок, или выходит на рынок производства и сам становится монополистом в развиваемом им продукте. Остальные агенты не получают ничего, то есть их затраты произведены впустую. Требуется найти равновесие игры агентов.

Обозначим N = {1, 2,..., n} – множество агентов. Агент номер i выбирает свое действие yi 0 – уровень развития технологии.

Действительнозначные функции затрат агентов {ci(yi)}iN известны всем агентам.

Обозначим (1) x(y) = max{yi}, iN где y = (y1, y2,..., yn) – вектор действий агентов. Содержательно (1) характеризует наилучший результат, достигнутый агентами.

Агента с номером k(y) = arg max{yi}, которым достигнут этот iN результат, назовем победителем. Если максимальный результат достигнут одновременно несколькими агентами, то будем считать, что априори известна процедура, в соответствии с которой из них выбирается единственный победитель. Например, условимся, что побеждает агент с большим номером. Можно также полагать, что если победителей несколько, то они делят между собой вознаграж Раздел написан совместно с М.Б. Искаковым.

дение поровну. Однако в последнем случае устойчивого равновесия взаимодействия агентов не существует.

Пусть задана действительнозначная функция H(x). Ее содержательная интерпретация такова – победитель получает доход H(x), зависящий от результата (1). Проигравшие агенты не получают ничего.

То есть, выигрыш победителя равен H(x) – ck(x), а выигрыши проигравших равны их затратам, взятым со знаком минус:

H (x) - ck (x), если i = k(y) (2) fi(y) = - ci(yi), если i k(y), i N.

Введем следующие предположения.

А.1. Функции затрат агентов непрерывны и строго возрастают.

А.2. Затраты от выбора нулевого действия равны нулю.

А.3. Существует упорядочение агентов, такое, что (3) y > 0 c1(y) > c2(y) >... > cn(y).

B.1. H() – непрерывная неубывающая положительнозначная функция.

B.2. y+ > 0, y+ < + : z y+ H(z) < min ci(z).

iN B.3. x 0 H(x) = h.

В ходе дальнейшего изложения будем каждый раз обговаривать, какая из комбинаций предположений считается выполненной (естественно, при разных предположениях получаются различные результаты). Сначала рассмотрим наиболее частный случай (когда все предположения считаются выполненными), затем будем последовательно отказываться от части предположений.

Итак, имеем игру агентов в нормальной форме [26]: множество агентов N, их целевые функции (2) и множества допустимых действий заданы; считаем, что агенты производят свой выбор однократно, одновременно и независимо, а описание игры является общим знанием [58] среди агентов. Задача заключается в нахождении решения (равновесия) игры агентов.

Прежде чем приступать к решению данной задачи, сделаем ряд качественных замечаний.

С одной стороны, рассматриваемая модель близка к задаче синтеза оптимальной соревновательной системы стимулирования, исследованию которой посвящена многочисленная литература [48, 55, 62, 70]. В соревновательных системах стимулирования управляющий орган – центр – фиксирует процедуру сравнительной оценки деятельности агентов, задает число классов и число мест в каждом из классов, а также величины поощрений агентов, попавших в тот или иной класс. Таким образом, в соревновательных системах стимулирования индивидуальное поощрение агента зависит не столько от абсолютной величины выбранного им действия, а определяется тем местом, которое он занял в упорядочении показателей деятельности всех агентов. Следует отметить, что теоретико-игровой анализ соревновательных систем стимулирования гораздо более сложен и трудоемок, нежели, чем «обычных» или нормативных [55] систем стимулирования. Основная сложность заключается в том, что при использовании принципа «конкурса» у агентов не существует равновесных по Нэшу стратегий, следовательно, возникает необходимость введения гипотез о поведении элементов [55, 62] и искусственного построения множества решений игры. Одним из возможных вариантов является следующий (используемый в настоящей работе) – следует проверять условие «угроз» [55, 62]: произвольный агент не может быть спокоен до тех пор, пока другой агент может угрожать ему изменением своей стратегии.

Определение. Угрозой агенту называется такая игровая ситуация, при которой какой-либо из его партнеров может изменить свою стратегию, увеличив при этом свой выигрыш и одновременно уменьшив выигрыш того, кому он угрожает. Равновесием в безопасных стратегиях в таком случае будет такой набор стратегий, при отклонении от которого в одиночку, любой игрок или уменьшает значение своего выигрыша, или попадает в угрожающее ему состояние [30].

С другой стороны, рассматриваемая модель близка к модели аукциона, для которой обычно используется равновесие БайесаНэша [77, 81]. Можно также искать равновесие в смешанных стратегиях [81]. Рассмотрение упомянутых типов равновесий представляется интересной с точки зрения будущих исследований задачей.

В настоящей работе ограничимся равновесиями в безопасных стратегиях (РБС), далее под термином «равновесие» подразумевая именно РБС.

Рассмотрим сначала случай, когда выполнены предположения А.1-А.3 и В.1-В.3. Тогда победителем является агент с номером n.

Фиксируем h > 0 и обозначим (4) xi(h) = ci-1(h), i N, где ci-1() – функция, обратная функции затрат i-го агента (эта функция существует в силу предположения А.1). Из предположения А.3 следует, что (5) h > 0 x1(h) < x2(h) <... < xn(h).

Обозначим РБС через y*. В рассматриваемом случае равновесие зависит от размера вознаграждения h, то есть * * * y* = y*(h) = ( y1 (h), y2 (h),..., yn (h)). Из определения РБС (см.

условие отсутствия угроз выше) и теоремы 5.2.1 [55] получаем справедливость следующего утверждения.

Утверждение 1. Пусть выполнены предположения А.1-А.3 и В.1-В.3. Тогда:

а) существует РБС, такое, что:

* * (6) i n yi (h) = 0; yn (h) = xn-1(h) +, где (7) (0; xn(h) – xn-1(h));

б) зависимость соответствующего равновесию результата x* от вознаграждения h имеет вид:

(8) x*(h) = xn-1(h) +.

Если ввести гипотезу, что агент, получающий в результате победы нулевую полезность, предпочтет выбирать нулевое действие, то можно положить константу равной нулю. Эту гипотезу будем считать выполненной в дальнейшем (в противном случае можно считать сколь угодно близкой к нулю).

Содержательно утверждение 1 означает, что победителем будет агент с минимальными затратами – который за фиксированное вознаграждение может добиться максимального результата (при условии неотрицательности его целевой функции, то есть – в рамках предположения А.2 – при условии, что затраты не превышают вознаграждения). Он выберет такое действие, чтобы ему не мог угрожать ни один другой агент. А угрожать ему может, в первую очередь, предыдущий в упорядочении затрат агент. Поэтому победитель, стремясь минимизировать свои затраты, выберет действие xn-1(h), на котором обращается в ноль выигрыш угрожающего ему агента. Этот качественный принцип определения РБС справедлив и при более слабых предположениях – см. ниже.

Откажемся теперь от предположения А.3. Фиксируем h > 0.

Перенумеруем агентов таким образом, чтобы больший номер соответствовал большему значению величины (4):

i1(h) < i2(h) <...< in(h).

Если оказывается, что у нескольких агентов величина (4) одинакова, то упорядочиваем этих агентов в порядке возрастания их номера в исходном упорядочении. В результате получим упорядочение (8) h > 0 xi (h) (h) xi (h) (h)... xi (h) (h).

1 2 n Утверждение 2. Пусть выполнены предположения А.1-А.2 и В.1-В.3. Тогда:

а) существует РБС, такое, что:

* * (9) i in(h) yi (h) = 0; yi (h) (h) = xi (h) (h);

n n-б) зависимость соответствующего равновесию результата x* от вознаграждения h имеет вид:

(10) x*(h) = xi (h) (h).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.