WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |

В модели ДАС3 в силу = T – 1 центру также известны функции полезности во всех будущих периодах, но так как он взял в первом периоде на себя обязательства относительно нескольких следующих периодов, и обязан их выполнять, то за последние T – 1 периодов сумма его полезности будет меньше, чем если бы он мог поменять свое решение, то есть действовал бы в рамках модели ДАС2. Учитывая, что в первый момент времени центр в обеих моделях получает одинаковую полезность, получаем, что ДАС2 не менее эффективна, чем ДАС3. • Теорема 8. В трехпериодной модели режим управления ДАС2 всегда более эффективен, чем ДАС3.

Действительно, в трехпериодной модели (T = 3), условие, накладываемое на дальновидность для моделей ДАС2 и ДАС(1 < < T), оставляет единственно возможное значение дальновидности = 2. Следовательно, для трехпериодной модели имеем = T – 1, что попадает под условия леммы 2.

Отметим, что результат теоремы 8 не противоречит примеру 7, иллюстрирующему возможность превосходства ДАС3 над ДАС2, так как в этом примере T = 4.

5. ЭФФЕКТЫ НАКОПЛЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ АКТИВНЫХ СИСТЕМАХ Важным случаем общей задачи управления ДАС является модель, в которой текущий доход центра или затраты активного элемента зависят не от каких-то конкретных действий в прошлом, а от суммы всех действий за предыдущие периоды. При этом можно говорить об эффекте накопления, который проявляется в том, что на настоящее оказывает влияние сумма предыдущих действий.

Итак, рассмотрим частный случай общей задачи управления ДАС, когда функция дохода центра зависит от действия АЭ в текущем периоде и суммы действий за предыдущие периоды:

t -t H ( y1,t ) = yt g( y ), а функция затрат активного элемента =зависит только от действия в текущем периоде: ct = c( yt ). Пусть центр обладает не зависящими от времени дальновидностью и горизонтом обязательств L0. Предполагается также, что функции g( ) и c( ) являются непрерывными и дифференцируемыми, множества допустимых действий активного элемента At 1 явля+ ются отрезками, содержащими ноль. Задача, как и в разделе 3.5, заключается в сравнении эффективности различных режимов управления и различной дальновидности.

В момент времени t центр находит оптимальный план xt (если рассматривается ДАС3, то xt,, xt + L0 ) при уже известных для него оптимальных планах на предыдущие периоды, решая задачу максимизации:

t+ -t (1) max-1 -1 ( y g(x + yt + + y -1) - c( y )), ytAt,,yt+ 0 At+ 0 =t t-t где x = x =Сначала найдем решение этой задачи во внутренней точке области допустимости At,t+ 0-1 = At At+ 0-1, а потом будем исследовать когда решения лежат на границе, и что это за решения.

Для отыскания внутреннего решения продифференцируем выражения, стоящие под знаком максимума в (1), по переменным yt,, yt + 0 -1, и приравняем первые производные к нулю. В итоге получим систему из уравнений с неизвестными:

0 t t g(x ) - c( yt ) + yt +1g(x + yt ) + + t + yt + 0 -1g (x + yt + + yt + 0 -2 ) = t t g(x + yt ) - c ( yt +1) + yt +2g (x + yt + yt +1) + (2) t + + yt + 0 -1g (x + yt + + yt + 0 -2 ) = t + g(x + yt + + yt - ) - c ( yt + 0 -1) = Вычитая попарно последующие уравнения из предыдущих, можно упростить систему (2) к виду:

t t g(x + + yt + -1) - c( yt + ) + yt + +1g(x + + yt + ) = = t (3) g(x + + yt + ) - c ( yt + +1) t + -2 + -g(x + + yt 0 ) - c( yt 0 ) = Рассмотрим случай с линейной функцией g(x) = + x, подставляя которую в первое выражение из (3), получаем yt + +1 + c ( yt + +1) = yt + + c ( yt + ). Таким образом, независимо от вида функции затрат АЭ c(x), при линейной функции g(x) оптимальной является точка, в которой yt = yt +1 = = yt + 0 -1.

Из второго выражения (3) находим что t (4) + x + ( -1) yt - c ( yt ) = 0.

Зная функцию затрат АЭ и подставив ее в выражение (4), t можно найти yt = f (x, ).

Чтобы получить аналитическое решение уравнения (4), ограничимся рассмотрением конкретного вида функции затрат xс(x) = и случаем неотрицательных действий. Тогда решение задачи (1) для периода t будет даваться выражением:

t + x (5) yt* = yt +1* = = yt + 0 -1* =.

1 - ( - 1) Эффективность управления K определяется следующим выражением:

T T t -K = (x1,t ) = ( + ) - ) = t (xt x (xt )t =1 t =1 =T T (6) = + xt xi x j - 1 (xt )2 = 1 i, j =1 T,i j T T T + = ( + xt 2 xt ) - ( 2 1) (xt )1 1 Остается важный вопрос о том является ли найденная точка экстремума искомой точкой максимума. В общем случае ответить на этот вопрос непросто, но в нашем конкретном случае с линейной функцией g(x) и квадратичными затратами c(x), матрица вторых производных максимизируемой функции (1) имеет размерность, имеет на диагонали -1, а во всех остальных 0 клетках. При > 0, > > -1, матрица является отрица - тельно определенной, а значит найденная точка экстремума является точкой максимума.

Найдем оптимальные планы и вычислим эффективность для моделей ДАС1 – ДАС4.

ДАС1. В модели ДАС1 = L0 = 1, план xt = yt*. Таким образом, из (6) имеем, что оптимальные внутренние планы будут:

(7) xt = (1 + )t -1, t = 1,T.

Для того чтобы найти эффективность K1 ДАС1, подставим планы (7) в формулу (6):

(1 + )2T - (8) K1 = 2 ( + 2) Рассмотрим вопрос от том, когда решение будет достигаться внутри области A1 AT = T, то есть при каких значениях + параметров и (7) будет действительно решением (1), а когда решение будет достигаться на границе и каким будет решение в этом случае.

При < 0 для любого решение достигается на границе и равно xt = 0, t = 1,T, эффективность K1 в этом случае равна нулю.

При > 0, -1 решение достигается на границе области T, и оптимальными планами будут + xi =, x1,, xi-1, xi+1,, xT = 0. Подставляя эти планы в выражение для эффективности (6), получаем, что эффективность в этом случае равна K1 =.

При > 0, > -1 решение достигается внутри области T + и, следовательно, оптимальные планы выражаются формулой (7), а эффективность – формулой (8).

ДАС2. В модели ДАС2 1 < < T, L0 = 1, план xt = yt*. Таким образом, учитывая, что как только центр в момент времени t = T - + 1 начинает «видеть период T», для него согласно принципу оптимальности Беллмана оптимальными планами в последующие периоды будут являться решения задачи (1) для периода t = T - + 1, из (5) имеем, что оптимальные внутренние планы определяться следующей формулой:

x1 = 1- ( -1) t- xt (9) =, где t = 2,,T -.

1+ 1- ( -1) 1- ( -1) 0 T - xT - += = xT = 1+ 1- ( -1) 1- ( -1) 0 Подставляя планы из (9) в выражение (6), находим эффективность:

2(T - )+ (1 + )1 + + 2( - 1) - 1 - ( - 1) (10) K2 =.

2 (2(1 - ( - 1) ) + ) Также как и в случае с ДАС1, определим при каких значениях параметров и "внутренние" планы (9) будут действительно решениями поставленной задачи.

При < 0 для любого решение достигается на границе и равно xt = 0, t = 1,T, а эффективность K2 в этом случае равна нулю.

При > 0, -1 решение достигается на границе области T и оптимальными планами будут + xi =, x1,, xi -1, xi +1,, xT = 0. Подставляя эти оптимальные планы в выражение для эффективности (6) получаем, что эффективность в этом случае равна K2 =.

При > 0, - 1< < 1/( - 1) решение достигается внутри области T +, и, следовательно, оптимальные планы выражаются формулой (9), а эффективность – формулой (10).

При > 0, 1/( - 1) оптимальными будут сколь угодно большие планы (бесконечные) во всех периодах, так как, несмотря на квадратичные затраты, при данных значениях параметров и затраты окупаются уже во втором периоде. Эффективность в этом случае бесконечно большая. Конечно, такой результат обусловлен отсутствием ограничений, которые обычно присутствуют в реальной жизни. Например, обычно экономические агенты не готовы терпеть в первый период огромные убытки, даже если знают, что уже во втором периоде они будут компенсированы. Но более серьезное ограничение состоит в том, что множество возможных действий обычно ограничено сверху.

ДАС3. В модели ДАС3 1 < < T, 1 m0 L0, план на 0 период обязательств определяется из (5) L0 +km0 -1* xL0 +km0 -1,, xL0 +(k +1)m0 = y. Учитывая, во-первых, то, что решая задачу (1) для периода t, в котором принимается решение, мы находим план не только на этот период, но и на период обязательств, и, во вторых, принимая во внимание лемму 1, получаем оптимальные (внутренние) планы для ДАС3:

x1 = = xL0 = x xL0 +1 = = xL0 +m0 = x0b (11), x -1)m0 +L0 +(n = = xT = x0bn где - ( - 1 - L0 ) x0 =, b = 1 - ( - 1 - L0 + m0 ), 1 - ( - 1) 0 - T n = целая часть 0.

m Подставляя планы из (11) в выражение (6), находим выражение для эффективности K3 ДАС3:

bn - K3 = (L0x0 + m0bx0 + (T - L0 - m0n)x0bn ) + b - bn - + (L0x0 + m0bx0 + (T - L0 - m0n)x0bn )2 (12) 2 b - + 1 b2n - - (L0(x0 )2 + m0b2 (x0 )b2 - + (T - L0 - m0n)(x0 )2 b2n ) Анализ значений параметров и, при которых планы, выражаемые (11), будут действительно решениями нашей задачи, аналогичен анализу, проведенному для ДАС2 и дает такой же результат, поэтому не будем его повторять.

ДАС4. В модели ДАС4 = T0, планы определяются как xt = y1*, то есть они одинаковы для всех периодов, и выражаются формулой:

(13) xt =, t = 1,T.

1 - (T - 1) Соответственно, эффективность модели ДАС4 будет:

T (14) K4 =.

2(1 - (T - 1) ) Мы не будем здесь приводить анализ допустимости решения (13), так как он полностью аналогичен анализу для ДАС2, и результаты получаются такими же, но с = T.

Отметим, что модели ДАС1, ДАС2, ДАС4 являются частными случаями модели ДАС3. Действительно, при = L0 = m0 = ДАС3 переходит в ДАС1, при 1 < < T, L0 = m0 = 1 ДАС3 переходит в ДАС2, при = T ДАС3 переходит в ДАС4. Таким образом, подставляя в формулы (11) и (12) планов и эффективности для ДАС3 соответствующие значения дальновидности, горизонта обязательств и частоты принятия решения, получим формулы (7) и (8) планов и эффективности для ДАС1, формулы (9) и (10) планов и эффективности для ДАС2, формулы (13) и (14) планов и эффективности для ДАС4.

Таким образом, для того, чтобы понять какая модель лучше в смысле эффективности, достаточно исследовать поведение K(далее будем пользоваться обозначением K3 = K(,,, L0,m0,T ) ) в зависимости от изменения параметров дальновидности, горизонта обязательств L0, и частоты принятия решения m0.

На рисунке 7 изображены графики зависимости эффективностей от для всех четырех моделей при > 0. Видно, что есть две особые точки на графике, где все четыре кривые пересекаются – при = 0 и = 1. При этом в нуле для эффективностей K1, K2, K3 происходит излом.

K KK KK T/ /1 1/(T-1) -1) 1/( Рис. 7. Сравнение эффективности моделей ДАС1, ДАС2, ДАС3, ДАС4.

Для рассматриваемой линейной модели выполняется соотношение K1 K3 K2 K4, то есть самой эффективной является модель ДАС4 (что и должно было получиться, как было показано в Теореме 5), далее в порядке уменьшения эффективности идет модель ДАС2, потом ДАС3, и наконец наименее эффективной является модель ДАС1.

Также верно утверждение, что чем больше дальновидность, тем выше эффективность. Это продемонстрировано на рисунке 8, где для модели ДАС2 изображена зависимость эффективности Kот величины дальновидности.

9.K2 8.7.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Рис. 8. Зависимость эффективности модели ДАС2 от дальновидности центра при = 0.05, T = Таким образом, можно сделать вывод о том, что в рассматриваемой модели чем больше центр информирован о будущем в каждый момент времени (если рассматривать модель ДАС3 как модель ДАС2 с переменной дальновидностью – см. лемму 1), тем выше эффективность.

Как показано на рисунке 9, при < 0 оптимальные планы убывают со временем. Содержательно это означает то, что, раз сумма действий за предыдущие периоды негативно влияет на доход в этом периоде, то со временем план следует понижать, чтобы сдерживать негативное влияние на будущее. Такая ситуация может возникнуть, например, в модели загрязнения окружающей среды.

x 0.0.0.x1 0.x2 0.x3 0.x4 0.0.0.t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Рис. 9. Оптимальные планы для моделей ДАС1 – x1, ДАС 2 – x( = 5), ДАС3 – x3 ( = 5, L0 = 4, m0 = 2) и ДАС4 – x0 в случае < 0, T = Рассмотрим несколько иллюстративных примеров.

Пример 8 (модель загрязнения окружающей среды). Рассмотрим город, построенный около крупного предприятия химической промышленности. В процессе функционирования предприятие выбрасывает вредные вещества в атмосферу, тем самым загрязняя окружающую среду. Пусть количество загрязнений линейно зависит от объема выпускаемой продукции, а степень загрязнения зависит от суммы всех выбросов, начиная с момента начала функционирования до текущего момента. Это неявно предполагает, что со временем негативный эффект от выбросов сохраняется довольно долго, не диссипируя во времени. Благополучие города зависит не только от объема выпускаемой предприятием продукции, но и от самочувствия людей, живущих в городе, а значит – от состояния окружающей среды.

Рассмотрим, как эта ситуация может быть отражена в вышеизложенной модели с накоплением. Центром является город, агентом (активным элементом) является предприятие. Производя действие – производство некоторого количества продукции в год, предприятие этим самым оказывает определенное негативное воздействие на окружающую среду, накопление которого скажется в том числе в будущих периодах. Этой модели соответствует значение < 0. Если администрация города не знает к каким последствиям в будущем могут привести действия в настоящем, то есть, если центр недальновиден и соответственно действует в рамках модели ДАС1, то в первый период администрация утверждает большой план для производства. Уже во втором периоде последствия от этого действия начинают сказываться, что выражается в достаточно сильном ухудшении состояния окружающей среды. Это приводит к резкому уменьшению оптимального плана на следующий период (см. рисунок 9).

Если администрация города более информирована о вредном влиянии производства на окружающую среду, т.е. реализуется модель ДАС2 или ДАС3, то уже в первый момент времени назначается сравнительно небольшой план. Поэтому оптимальные планы для этих моделей не так резко уменьшаются в начальных периодах, как это происходит в случае недальновидного центра.

Можно сказать что к реальной ситуации наиболее приближены модели ДАС2 и ДАС3, так как обычно о вредном воздействии на атмосферу руководство города и завода знает и учитывает этот фактор, вопрос в том насколько далеко вперед (в будущее) центр «заглядывает» при принятии текущих решений.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.