WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 15 |

(24) N+(t) = max { N(t)}, t = 1,T.

Теорема 5б. Если выполнены предположения А.0, А.1, А.2’’, А.3, А.4 и любое из следующих условий (25) min J -( ) > t + L0(t) – 1, t = 1,T, >t + (t) (26) max N+( ) (t), t = 1,T, t t+L0(t)-то в ДАС со связанным стимулированием режимы управления ДАС2 и ДАС3 эквивалентны: K2 = K3.

Доказательство. Во-первых, заметим, что теорема 5а является частным случаем настоящей теоремы, так как, если выполнено (19)-(21), то из (25) с учетом (23) следует (22). Кроме того, из (18), (23) и (24) следует, что условия (25) и (26) эквивалентны, то есть доказательство можно проводить либо пользуясь одним из них, либо обеими условиями независимо.

Запишем определение (14) планов, выбираемых в ДАС2, для периодов от t до t + L0(t) – 1:

t+ (t) t J ( ), (27) x2 Projt Arg maxt,t+ (t ) ( y ) yt,t+ 0 (t) A =t … t (28) x2+L0(t)-1 Projt+L0(t)-Arg maxt+L (t )-1,t+L0 (t )-1+ (t+L0 (t )-1) 0 yt+L0 (t)-1,t+L0 (t )-1+ 0 (t+L0 (t )-1) A t+L0(t)-1+ (t+L0(t)-1) J ( ), ( y ).

=t+L0(t)-Запишем определение (15) планов, выбираемых в ДАС3, для периодов от t до t + L0(t) – 1:

t+ (t) t J ( ), (29) x3 Projt Arg maxt,t+ (t ) ( y ) yt,t+ 0 (t ) A =t … t+ (t) t J ( ), (30) x3+L0(t)-1 Projt+L0(t)-1 Arg maxt,t+ (t ) ( y ).

yt,t+ 0 (t ) A =t Докажем, что в рамках условий (25) или (26) планы (28) и (30) совпадают (аналогично можно доказать и совпадение других планов из рассматриваемого временного промежутка).

Идея доказательства заключается в следующем: разобьем максимизацию в (28) на вычисление максимумов по множествам от t + L0(t) – 1 до t + (t) и от t + (t) + 1 до t + L0(t) – 0 1 + (t + L0(t) – 1), а в (30) – от t до t + L0(t) – 2 и от t + L0(t) – до t + (t), а затем воспользуемся (25)-(26).

Фиксируем произвольный момент времени t. Из (25) следует, что всегда имеет место t + L0(t) – 1 + (t + L0(t) – 1) t + (t) t + L0(t) – 1.

0 Запишем (28) в виде:

t (31) x2+L0(t)-1 Projt+L0(t)-1 Arg maxt+L (t )-1,t+ (t) 0 yt+L0 (t )-1,t+ 0 (t )A maxt+ (t )+1,t+L0 (t )-1+ (t+L0 (t )-1) 0 yt+ 0 (t )+1,t+L0 (t )-1+ 0 (t+L0 (t )-1)A t+ (t) t+L0(t)-1+ (t+L0(t)-1) 0 - J ( ), J ( ), [ ( y ) + ( y ) ] = =t+L0(t)-1 =t+ (t)+t+ (t) J ( ), = Projt+L0(t)-1 Arg maxt+L (t )-1,t+ (t ) [ ( y ) + 0 yt+L0 (t )-1,t+ 0 (t)A =t+L0(t)-+ maxt+ (t )+1,t+L0 (t )-1+ (t+L0 (t )-1) 0 yt+ 0 (t )+1,t+L0 (t )-1+ 0 (t+L0 (t )-1)A t+L0(t)-1+ (t+L0(t)-1) J ( ), ( y ) ].

=t+ (t)+Запишем (30) в виде t (32) x3+L0(t)-1 Projt+L0(t)-1 Arg maxt,t+L0 (t )-yt,t+L0 (t )-2A t+L0(t)-J ( ), maxt+L (t )-1,t+ (t ) [ ( y ) + 0 yt+L0 (t )-1,t+ 0 (t )A =t t+ (t) J ( ), + ( y ) ] = =t+L0(t)-t+L0(t)-J ( ), Projt+L0(t)-1 Arg maxt,t+L0 (t )-2 [ ( y ) + yt,t+L0 (t )-2A =t t+ (t) J ( ), + maxt+L (t )-1,t+ (t) ( y ) ].

0 yt+L0 (t )-1,t+ 0 (t )A =t+L0(t)-Заметим, что в силу (25)-(26) второе слагаемое в (31) не зависит явным образом от плана, выбираемого центром в периоде t + L0(t) –1, а первое слагаемое в (31) совпадает со вторым слагаемым в (32). Таким образом, планы (28) и (30) совпадают, следовательно эффективности режимов ДАС2 и ДАС3 одинаковы. • Рассмотрим случай, в котором множество периодов функционирования ДАС может быть разбито на набор непересекающихся и «невзаимодействующих» подмножеств. Для этого необходимо формализовать понятие «взаимодействия».

Предположим, что существует разбиение множества {1, 2, …T} на подмножества [, ], где границы подмножеств i i+{ }qi=1, такие, что 1 q T,, 1, T и для этого разi i i-1 1 q биения выполняется (33) ( ) –, i = 1, q -1, 0 i i+1 i (34) t [ ; ] N+(t).

i i+1 i+Теорема 5в. Если выполнены предположения А.0, А.1, А.2’’, А.3, А.4 и условия (33)-(34), то в ДАС со связанным стимулированием все режимы управления1 эквивалентны: K2 = K3 = K4.

Доказательство. Справедливость утверждения теоремы следует из принципа оптимальности Беллмана и того, что в силу (33)-(34) имеет место: t [ ; ] J(t) {1, …, – 1} =. • i i+1 i Содержательно, условия (33)-(34) означают, что в моменты { }qi=1 «рвется связь времен», то есть множество всех периодов i (от единицы до T) может быть разбито на q подмножеств, таких, что внутри каждого из них центр полностью дальновиден – см.

условие (33), и решения, принимаемые внутри периодов, принадлежащих любому подмножеству, не влияют на выигрыши в пе За исключением, естественно, скользящего режима управления (ДАС1), при котором дальновидность центра равна единице (в этом случае ДАС2 и ДАС3 совпадают с ДАС1).

риодах, принадлежащих другим подмножествам – см. условие (34).

Результат теоремы 5 позволяет сравнивать различные режимы управлений по эффективности и, в частности, дает ответ на вопрос о том – в каких случаях взятие обязательств не снижает эффективности управления. Тем не менее, сам факт того, что наличие обязательств может приводить не только к не снижению, но и к повышению (см. пример 7) эффективности управления, представляется несколько удивительным и противоречащим здравому смыслу. Качественное объяснение этого факта таково – так как в рассматриваемой модели ДАС неопределенность будущего заключается в полн о м незнании функций выигрыша вне горизонта дальновидности, то любое принятое решение может оказаться как эффективным, так и неэффективным с точки зрения значений функций выигрыша в некоторых будущих периодах.

Для того, чтобы исключить подобные явления необходимо ввести предположения о "монотонности" функций выигрыша, которое исключало бы возможность резких и непредвиденных ее изменений. Приведем формальные определения.

Пусть функция выигрыша в периоде t зависит от истории y1,t, действия yt в этом периоде и неопределенного параметра t t rt, то есть (y1,t, rt), t = 1,T. Информированность центра (ту информацию, которой он обладает о неопределенном параметре) будем описывать совокупностью множеств (t, ), t, отражающих его знание в момент времени t о возможных значениях неопределенного параметра в настоящий ( = t) и будущие ( = t +1,T ) моменты времени.

Неопределенность будущего будем отражать следующим условием:

t (35) t = 1,T, t (, t) (, t).

1 2 2 Из (35) следует, что (36) t = 1,T, t (t, ) (t, ) 2.

1 2 1 Содержательная интерпретация условий (35)-(36), которые будем называть условиями монотонности, заключается в том, что по мере удаления (приближения) рассматриваемого момента времени от оцениваемого, и наоборот, неопределенность не уменьшается (не увеличивается).

Введем критерий сравнения неопределенностей. Будем говорить, что, в первой ситуации, которой соответствует информированность (), центр более информирован (неопределенность меньше), чем во второй ситуации, которой соответствует информированность (), если выполнено (37) t = 1,T, = t,T (t, ) (t, ).

1 Введем также предположение о том, что центр при принятии решений устраняет неопределенность, ориентируясь на максимальный гарантированный в рамках своей информированности результат. В рассматриваемой модели дальновидность, как таковая, отсутствует1, а текущий режим управления совпадает со скользящим. В отсутствии обязательств в периоде t центр при известной истории x1,t-1 решает задачу определения плана на текущий период:

T (38) xt = Projt Arg max1,T min (x1,, r ), t = 1,T.

y1,T A0 =t r (t, ) В присутствии обязательств в периоде t центр при известной истории x1,t-1 решает задачу определения планов на текущий период и на горизонт принятия решений, состоящий из L0(t) – будущих периодов:

T t (39) xt,t+L0(t)-1 = Projt,t+L0(t)-1 Arg maxt,T min (x1, -1, r ), t,T y A0 =t r (t, ) где t = 1, 1 + L0(1),....

Эффективность управления определяется значением суммарного по всем периодам гарантированного априори выигрыша от траекторий (38) – в отсутствии обязательств, или (39) – в присутствии обязательств, то есть Следовательно, при фиксированной информированности бессмысленно говорить о режиме ДАС4 (то есть о полной дальновидности), но можно условно считать, что более информированный центр обладает большей дальновидностью.

T (40) K(y1,T) = rmin t ( y1,t,rt ).

t t t =Теорема 6. Если выполнены предположения А.0, А.1, А.2’’, А.3, А.4 и условие монотонности, то в ДАС со связанным стимулированием:

а) с ростом неопределенности (в смысле (37)) эффективность управления не увеличивается;

б) взятие обязательств не увеличивает эффективности управления.

Справедливость утверждения теоремы 6 следует из (38)-(40) с учетом (35)-(37).

Таким образом, результаты настоящего раздела дают возможность сравнивать эффективности различных режимов управления ДАС, в том числе – выгодность взятия обязательств. В то же время, во многих моделях реальных АС, например, условия (25) или (26), или условия монотонности и т.д., не выполнены, поэтому с тем, чтобы, учитывая результаты примеров 6-7 и др., разобраться в качественной специфике влияния дальновидности и обязательств на эффективность управления ДАС, рассмотрим частные модели, а именно ДАС, функционирующие в течение двух и трех периодов (аналогом теоремы 5 для которых являются соответственно теоремы 7 и 8), ДАС с накоплением и др.

4. ДВУХПЕРИОДНЫЕ И ТРЕХПЕРИОДНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ АКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ В настоящем разделе рассматриваются частные случаи общей модели ДАС, а именно – двухпериодная ДАС и трехпериодная ДАС (см. обоснование необходимости их рассмотрения в конце предыдущего раздела), на примере которых анализируется сравнительная эффективность различных режимов управления.

Рассмотрим двухпериодную ДАС, то есть динамическую АС, функционирующую в течение двух периодов (T = 2).

В модели ДАС 1 в первом периоде центр решает задачу планирования1:

(1) x1 = arg max {H1(y1) – c1(y1)}, y1Aи назначает систему стимулирования 1 c1(x1 ), y1 = x1 (2) ( x1, y1) =.

K 0, в остальных случаях Во втором периоде в модели ДАС1 решается задача планирования:

2 1 (3) x1 = arg max {H2( x1, y2) – c2( x1, y2)}, y2A2 (x1 ) и назначается система стимулирования 2 c2 ( y1, x1 ), y2 = x2 (4) ( x1, y1, y2) =.

K 0, в остальных случаях Как отмечалось выше, использование системы стимулирования (4) исключает ЭОР в моделях НТ-ДТ и др.

Так как рассматривается двухпериодная ДАС, то дальновидность центра эквивалентна его полной дальновидности (то есть модели ДАС 2, ДАС 3 и ДАС 4 в случае двух периодов эквивалентны) и независимо от режима управления (программного или скользящего, с обязательствами или без них) оптимальны планы 1 (5) ( x4, x4 ) = arg max {H1(y1)+H2(y1, y2)-c1(y1)-c2(y1, y2)} y1A1, y2A2(y1 ) и системы стимулирования вида (2), (4) с планами (5). Сравнивая 2 2 1 эффективности, получаем, что K1 = F2( x1, x1 ) F2( x4, x4 ) = K4.

Таким образом, мы обосновали следующий достаточно очевидный вывод:

Теорема 7. В двухпериодных ДАС имеет место K1 K2 = K3 = K4, то есть увеличение дальновидности центра и/или использование обязательств в скользящем режиме управления не снижает эффективности управления.

Напомним, что верхний индекс обозначает номер периода, а нижний – номер модели.

Качественно, в двухпериодных системах еще не проявляются все эффекты, характерные для ДАС (см. теоремы 5 и 7). Поэтому перейдем к рассмотрению трехпериодной ДАС (T = 3).

В модели ДАС 1 в первом периоде центр решает задачу планирования (1) и назначает систему стимулирования (2). Во втором периоде решается задача планирования (3) и назначается система стимулирования (4). В третьем периоде решается задача планирования 3 1 2 1 (6) x1 = arg max {H3( x1, x1, y3) – c3( x1, x1, y3)}, 1 y3A3(x1, x1 ) и назначается система стимулирования3 c3( y1, y2, x1 ), y3 = x3 (7) ( x1, y1, y2, y3) =.

K 0, в остальных случаях Как отмечалось выше, использование систем стимулирования (4), (7) исключает ЭОР в моделях НТ-ДТ и др.

Модели ДАС 2 и ДАС 3 в трехпериодной ДАС различаются планами, назначаемыми центром во втором и третьем периодах.

Это объясняется тем, что дальновидность, но не полная дальновидность, центра означает, что при принятии решений в первом периоде он учитывает свои полезности за первый и второй период, а при принятии решений во втором периоде – за второй и третий периоды. Следовательно, в ДАС 2 во втором и третьем периодах центр назначает планы, которые оптимальны с точки зрения суммы выигрышей по соответствующим двум периодам:

(8) x2 = Proj1 arg max {H1(y1) +H2(y1, y2) y1A1, y2A2( y1) -c1(y1) – c2(y1, y2)}, 2 1 (9) x2 = Proj2 arg max {H2( x2, y2) +H3( x2, y2, y3) 1 y2A1(x2 ), y3A3( x1, y2 ) 1 – c2( x2, y2) – c3( x2, y2, y3)}, 3 1 2 1 (10) x2 = arg max {H3( x2, x2, y3) – c3( x2, x2, y3)}.

3 y A3 (x1, x ) 2 Повторяться и выписывать системы стимулирования, оптимальные в трехпериодных ДАС 2, ДАС 3 и ДАС 4 мы не будем.

В ДАС 3 с обязательствами1 (ДАС 3 без обязательств совпадает с ДАС 2) план в первом периоде определяется (8), план на второй период фиксируется в первом периоде:

(11) x3 = Proj2 arg max {H1(y1) +H2(y1, y2) y1A1, y A2 ( y1 ) -c1(y1) – c2(y1, y2)}, а план на третий период фиксируется во втором периоде:

3 1 2 1 (12) x2 = arg max {H3( x3, x3, y3) – c3( x3, x3, y3)}.

3 y A3 (x1, x3 ) В ДАС 4 оптимальны планы 1 2 (13) ( x4, x4, x4 ) = arg max {H1(y1) + y1A1, y2A2(y1), y3A3(y1, y2) + H2(y1, y2) + H3(y1, y2, y3) – c1(y1) – c2(y1, y2) – c3(y1, y2, y3)}.

Объединяя (1), (3), (6), (8)-(13), получим:

1 2 3 1 2 (14) K1 = F3( x1, x1, x1 ), K2 = F3( x2, x2, x2 ), 1 2 3 1 2 K3 = F3( x3, x3, x3 ), K4 = F3( x4, x4, x4 ).

Сравним эффективности управления ДАС2 и ДАС3 в трехпериодной модели. Для этого введем следующую гипотезу о консервативности центра: если при решении задачи оптимального планирования при различных режимах управления центр получит в обоих случаях одинаковые множества оптимальных планов, то из этих множеств он в обоих случаях выберет одинаковые планы.

Лемма 2. Если дальновидность центра = T – 1, и выполнена гипотеза о консервативности центра, то K2 K3.

Доказательство. Задачи максимизации, которые решает центр, при выборе плана в первом периоде для моделей ДАС2 и ДАС3 совпадают. Это значит что оптимальный план на первый период для обоих этих моделей будет одним и тем же, при условии выполнения гипотезы о консервативности центра. Во втором периоде в модели ДАС2 в силу = T – 1 центру известны функции полезности во всех будущих периодах, поэтому он может выбрать планы которые максимизируют сумму его полезности за В трехпериодной ДАС обязательства центра имеют место только относительно второго периода.

последние T – 1 периодов в условиях «полной дальновидности».

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 15 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.