WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |

В принципах планирования (2), (5) (6), (8)-(11) планы на текущий и будущий периоды (в зависимости от распределения дальновидности и горизонта принятия решений) определяются исходя из максимизации целевой функции центра в предположении, что действия АЭ в предыдущих периодах совпадали с планами. Как отмечалось выше, отказ от этого предположения, то есть зависимость будущих планов от наблюдаемой траектории реализаций, является эффективным средством борьбы с эффектом обмена ролями и т.д.

...

t T 2 3 5 T-4... T-Рис. 2. Последовательность принятия решений центром в модели ДАС...

t 1... T 2 3 5 T-4 T-Рис. 3. Последовательность принятия решений центром в модели ДАС...

t T 2 3 5 T-4... T-Рис. 4. Последовательность принятия решений центром в модели ДАСt T 2 3 5 T-4... T-Рис. 5. Последовательность принятия решений центром в модели ДАСОбсудим специфику модели ДАС3. Пусть центр обладает фиксированной дальновидностью (1 < < T), принимает ре0 шения через каждые m0 периодов, и фиксирует свои планы на Lпериодов вперед. Условием того, что центр распланирует каждый период времени, является 1 m0 L0. Таким образом, предполагая что центр в каждый момент времени может принимать решения только на те периоды, которые лежат в пределах его дальновидности, получаем условие 1 m0 L0 < T (последнее неравенство отличает ДАС 3 от ДАС4).

Лемма 1. Пусть центр обладает фиксированной дальновидностью (1 < < T), принимает решения через каждые m0 перио0 дов, и фиксирует свои планы на L0 периодов вперед (см. рисунки 6а) и 6б)). Такой способ принятия решения центром эквивалентен тому, что в первый период времени центр принимает и фиксирует план на L0 периодов вперед с дальновидностью, далее центр принимает и фиксирует решение на m0 периодов вперед в моменты времени L0 + 1, L0 + m0, L0 + 2 m0, …, L0 + n m0, где - L T n =, с дальновидностью – L0 + m0 (см. рисунок 6б).

m Доказательство. В первый момент принятия решений центр находит планы по следующей формуле:

x1,L0 = Pr oj arg max1, [ ( y1, )] y1,L0 y1, 0 A0 0 =Опишем поведение центра в следующий момент m0 принятия решения. Согласно описанной выше модели поведения ДАС3, в этот момент центр должен принять и зафиксировать решения на следующие L0 периодов. Но так как в прошлый раз (в первый момент времени) он уже фиксировал план на L0 первых периодов, а рассматривается момент принятия решения m0, и план на L0 – mпериодов вперед уже существует, то центр не имеет права его менять. Таким образом, в момент m0 центр принимает и фиксирует план на m0 периодов, начиная с L0 + 1. Оптимальные планы находятся по следующей формуле (здесь и далее до окончания настоящего раздела в целях упрощения обозначений зависимость множеств допустимых действий от истории будет опускаться):

m0+ xL0+1,, xL0+m0 = Proj arg max (x1,min(,L0), yL0+1,L0+m0 yL0+1,m0+ 0AL0+1 Am0+ =mLL0+ y ) = Pr oj arg max1 { (x1, ) + +1,m0 + + + yL0 +1,L0 +m0 yL0 0AL0 Am0 =mm0 + L0 +1, + (x1,L0, y ) } = = L0 += Pr oj arg max+1,m0 + + + yL0 +1,L0 +m0 yL0 0AL0 Am0 L0 +( +m0 - L0 ) (x1,L0, yL0 +1, ).

= L0 +Последнее соотношение означает, что поведение центра в момент времени m0 равносильно такому его поведению, при котором он принимает решения в момент L0 + 1 на m0 периодов вперед с дальновидностью + m0 – L0.

Аналогично можно показать, что задача оптимального выбора L0 (фактически – выбора m0) планов в периоде n m0 (где nT - Lцелое и n ) для центра с дальновидностью, эквиваmлентна задаче оптимального выбора m0 планов в периоде L0 + (n – 1) m0 + 1 с дальновидностью + m0 – L0. Действительно:

xL0 +(n-1)m0 +1,, xL0 +nm0 = Proj arg max+(n-1)m yL0+(n-1)m0+1,L0+nm0 yL0+(n-1)m0+1, 0+nm0AL0 0+1, 0+nm +nmL0+(n-1)m0+1, (x1,min(L0+(n-1)m0, ), y ) = =nmProj arg max+(n-1)m L 0 + - 1 ) m ( n yL0+(n-1)m0+1,L0+nm0 yL0+(n-1)m0+1, 0+nm0AL0 0+1, 0+nm0 1, ( x ) + nm = +nm +(n-1)m0 0 +(n-1)m0 +1, ) = (x1,L, yL = L0 +(n-1)m0 +Proj arg max+(n-1)m yL0+(n-1)m0+1,L0+nm0 yL0+(n-1)m0+1, 0+nm0AL0 0+1, 0+nmL0 +(n-1)m0 +( +m0 -L0 ) L0 +(n-1)m0 +1, (x1,L0 +(n-1)m0, y ). • =L0 +(n-1)m0 +На рисунке 6, иллюстрирующем лемму 1, ромбиком обозначен момент принятия решения, жирной стрелкой – горизонт принятия решения (или на какие периоды принимаются решения в данный момент времени), жирной точкой обозначен горизонт дальновидности.

a)...

t 2 3 T-1 4 T-1 T...

б)...

t 3 4 T-2 T-1 T...

Рис. 6а), 6б). Принятие решений в модели ДАСв соответствии с леммой Завершив обсуждение специфики модели ДАС3, введем следующие функции1:

Отметим, что при переходе к целевым функциям вида (12) «автоматически» учитывается требование принадлежности плановой траектории соответствующей допустимой области (см. описание метода штрафов в [59]), что позволяет в (13)-(16), в отличие от (8)-(11), искать в каждом периоде максимумы по независимым от предыстории t (x1, ), x1,t A0,t, t = 1,T, (12) F t(x1,t) = = -, x1,t A0,t тогда плановые траектории (8)-(11) можно определить следующим образом (положим F0( ) = 0):

t ~ (13) x1 = x1t (x11,t-1) Arg maxt [F t(x11,t-1, yt) – F t-1(x11,t-1)], t = 1,T ;

t y A t t ~ (14) x2 = x2 (x21,t-1) t + (t) Projt Arg max1 [ F (x21,t-1, yt,t + 0 (t) ) – t,t+ (t) y At At+... At+ 0 (t ) F t(x21,t-1)], t = 1,T ;

(15) x 3i, i+1 Arg max+1 [ F i+1 ( x1, i -1, y i, i+1 ) – y i, i+1A i A i...A i+- F i ( x1, i -1 )], i = 1,imax -1;

t (16) x4 Projt Arg max1,T F T(y1,T), t = 1,T.

y1,T A В соответствии с выражениями (13)-(16), эффективности управления в моделях ДАС1-ДАС4 можно записать в виде:

1,T (17) Ki = FT( xi ), i = 1, 4.

Вернемся к сравнению эффективностей различных режимов управления в динамических АС.

Обозначим J(t) – множество периодов, от которых зависит выигрыш в периоде t. В силу принципа причинности и введенных выше предположений J(t) t, t = 1,T. Положим также, что t J(t), t = 1,T.

Обозначим N(t) – множество периодов, выигрыши в которых зависят от стратегий, выбираемых в периоде t. В силу принципа причинности и введенных выше предположений N(t) t, t N(t), t = 1,T.

Множества J(t) и N(t) взаимозависимы:

допустимым множествам.

(18) J(t) = { t | t N( )}, N(t) = { t | t J( )}, t = 1,T.

Предположим, что существуют целые числа J и N не меньшие единицы и не большие T, такие, что (19) t = 1,T J(t) = {max (1, t – J); …; t}, (20) t = 1,T N(t) = {t; …; min (t + N, T)}.

Очевидно, что, если выполнено (18)-(20), то J = N.

Параметр J назовем памятью АС (точнее – памятью центра), так как он отражает максимальное число предыдущих периодов (исключая текущий), влияющих на выигрыш в текущем периоде.

Напомним, что выше были введены такие параметры центра как: (t) – его дальновидность, отражающая число будущих периодов (исключая текущий период), которые он принимает во внимание при выборе своей стратегии в текущем периоде (периоде t), и горизонт принятия решений L0(t), который в модели ДАСсоответствует числу будущих периодов (включая текущий период), на которые центр берет обязательства в текущем периоде.

Обозначим (21) = min (t), L0 = max L0(t) 0 t =1,T t =1,T и рассмотрим соотношение между памятью J, дальновидностью и обязательствами L0. Введем следующее условие:

(22) J + (L0 – 1).

Выполнение условия (22) можно назвать принципом адекватности1 для ДАС (адекватности возможностей системы управления – центра – условиям функционирования и сложности управляемой системы), так как оно требует, чтобы в любой момент времени дальновидность центра, то есть его возможности по учету будущих последствий принимаемых решений, были не ниже суммы сложности системы (отражаемой ее памятью) и условий функционирования (отражаемых вынужденными обязательствами).

Принцип адекватности позволяет выявить условия, при которых взятие обязательств не изменяет эффективности управления – ниже приводится ряд формальных результатов.

См. аналоги и ссылки в [51].

Теорема 5а. Если выполнены предположения А.0, А.1, А.2’’, А.3, А.4 и условие (22), то в ДАС со связанным стимулированием режимы управления ДАС2 и ДАС3 эквивалентны: K2 = K3.

Теорема 5а является частным случаем формулируемой и доказываемой ниже теоремы 5б.

Если условия типа (22) не выполняются,1 то существуют ДАС, в которых реализуются любые соотношения между эффективностями K2 и K3 (обоснованием справедливости этого утверждения являются приводимые ниже примеры 6 и 7).

Интуитивно можно было бы предположить, что ДАС1 должна обладать минимальной эффективностью, далее должна была бы следовать ДАС3 (дальновидность увеличилась по сравнению с ДАС1, но имеются обязательства), затем – ДАС2 (отказ от обязательств), и, наконец, ДАС4. То, что ДАС4 обладает максимальной (среди базовых четырех ДАС) эффективностью очевидно. Однако, оказывается, что возможны любые соотношения между эффективностями ДАС1 и ДАС2, а также ДАС2 и ДАС3. Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие противоречия "здравому смыслу": в примере 6 рассматривается модель ДАС, в которой эффективность ДАС1 выше, чем ДАС2 (то есть увеличение дальновидности не приводит к увеличению эффективности), а в примере 7 – модель ДАС, в которой эффективность ДАС3 выше, чем ДАС2 (наличие обязательств приводит к повышению эффективности).

Пример 6. (эффективность ДАС1 выше эффективности ДАС2).

Рассмотрим трехпериодную модель, в которой человек (например, чиновник) выбирает свою судьбу – быть ли ему богатым, но брать взятки, или не купаться в роскоши, но быть честным.

Чиновник имеет два возможных действия: "Воровать" или работать честно ("Не воровать"). Во все три периода у него для выбора есть эти два действия.

В первом периоде, если он выбирает "Не воровать", то его полезность 1( y1) равна 3. Если он выбирает действие "Воро Для этого достаточно нарушения принципа адекватности в одном периоде.

вать", то в этом периоде его полезность равна 1, то есть меньше, чем если бы он не воровал из-за угрызений совести, которые он испытывает:

1("Не воровать") = 3, 1("Воровать") = 1.

Во втором периоде полезность 2( y1, y2 ) зависит как от действий, выбранных во втором периоде, так и от действий, выбранных в первом периоде и равна:

2 ("Не воровать","Не воровать") = 3, 2 ("Воровать","Не воровать") = 3, 2 ("Не воровать","Воровать") = 1, 2 ("Воровать","Воровать") = 15.

Таким образом, если чиновник брал взятки и в первом, и во втором периоде, то он получает очень большую полезность по сравнению с тем, если бы он был честным оба периода.

В третьем периоде полезность, вне зависимости от выбранного действия y3, зависит только от действия, которое чиновник выбрал в первом периоде – 3( y1) :

3("Не воровать") = 3, 3("Воровать") = -100.

Эта ситуация означает, что вора однозначно выявляют в третьем периоде и, например, сажают в тюрьму. Таким образом, если чиновник выбирает "Воровать" в первом периоде, это означает что в третьем периоде он сядет в тюрьму, то есть понесет ущерб несравнимо больший, чем он бы заработал за первые два периода.

Рассмотрим ДАС1 – случай недальновидного чиновника. В первом периоде он выберет "Не воровать", во втором – "Не воровать", а в третьем – все равно какую стратегию он выберет, всего за три периода он получит полезность равную 3 + 3 + 3 = 9.

В модели ДАС2 – дальновидный чиновник с дальновидностью 2 в первом периоде видит, что если он будет воровать в этом периоде, то во втором он получит за это много большую полезность, чем если бы он был честным. Таким образом, в первом периоде он выбирает "Воровать", во втором периоде он уже "видит" третий период и понимает, что сделал неверный шаг, но уже поздно, и выбирает "Воровать". В третьем периоде все равно что он выбирает, в любом случае он садится в тюрьму, и его суммарная полезность за три периода равна 1 + 15 – 100 = – 84.

Итак в рассматриваемом примере ДАС1 обладает более высокой эффективностью, чем ДАС2. • Пример 7. (эффективность ДАС3 выше эффективности ДАС2). Рассмотрим ДАС, в которой T = 4, а множество допустимых действий в каждом периоде содержит две альтернативы At = {0; 1}, t = 1,4. Следовательно, возможны шестнадцать траекторий – выигрыши центра в каждый момент времени приведены в узлах дерева на рисунке 6в (в квадратных скобках жирным шрифтом для каждой траектории приведены суммарные по всем четырем периодам выигрыши).

[13] [12] 8 [15] [14] 5 [12] 2 [11] [10] [9] [7] [6] [8] 0 [9] [11] [8] [10] 2 [7] t = 1 t = 3 t = t = 0 t = Рис. 6в. Выигрыши центра в примере Пусть центр обладает дальновидностью = 2 и может брать обязательства на один будущий период. Тогда в модели ДАС(полная дальновидность – программное управление) оптимален * план x4 = (1; 1; 0; 1) (будем считать, что ноль соответствует движению вниз, а единица – движению вверх), а эффективность равна K4 = 15. В модели ДАС1 (недальновидность – текущее * управление) оптимален план x1 = (0; 0; 0; 1), а эффективность равна K1 = 10.

Легко видеть, что наличие обязательств (в модели ДАС3 оп* тимален план x3 = (0; 0; 1; 1), в модели ДАС2 оптимален план * x2 = (0; 1; 0; 0)) выгодно для центра, так как K3 = 11 > K2 = 9.

Таким образом, в данном примере имеет место следующее соотношение между эффективностями различных режимов управления:

K4 > K3 > K1 > K2. • Примеры 6 и 7 свидетельствуют, что в общем случае возможны любые соотношения между эффективностями ДАС1, ДАС2 и ДАС3 – единственная априорная оценка:

K4 max {K2, K3} K1.

Для упорядочения режимов управления по эффективности необходимо вводить определенные предположения, либо на взаимосвязь между периодами – см. теоремы 5а-5в, либо на монотонное увеличение информированности центра с ростом его дальновидности – см. теорему 6.

Вернемся к обсуждению результата теоремы 5а, который справедлив и для бесконечного T.

Следствие 2. Взятие центром обязательств на max {1, – J + 1} периодов (включая текущий период) не снижает эффективности управления.

Следствие 3. Принимать решения центру следует не реже, чем каждые max {1, – J + 1} периодов1.

Выражения (19) и (20), во-первых, означают, что память постоянна (не зависит от номера периода), а, во-вторых, что отсутствуют «разрывы» в прошлом, то есть, если некоторый период оказывает влияние на выигрыш в текущем периоде, то и все последующие (лежащие между ним и текущим) периоды также оказывают влияние на текущий период. Кроме того, в (22) фигурируют гарантированные оценки дальновидности и обязательств (см. условие (21)). Поэтому результат теоремы 5а может быть обобщен (условия (19)-(21) ослаблены) на случай переменных памяти, обязательств и дальновидности следующим образом.

Введем следующие величины:

(23) J -(t) = min { J(t)}, t = 1,T, Результаты следствия 2 и леммы 1 позволяет для данной ДАС ввести эквивалентную ДАС с меньшим числом периодов принятия решений, и разрабатывать для последней аналоги метода динамического программирования.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.