WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |

Условия (5)-(9) накладывают ограничения на допустимые комбинации распределений дальновидности и управлений. Рассмотрим их более подробно.

Введем следующее предположение, которого будем придерживаться в ходе всего последующего изложения (подробное обсуждение роли этого предположения проводится в разделе 3.5).

А.0. Дальновидность и горизонт принятия решений АЭ не превышают соответственно дальновидности и горизонта принятия решений центра.

Предположение А.0 означает, что выполнено следующее условие:

(10) ( ) ( ), L( ) L0( ), = 1,T.

Содержательно предположение А.0 (ГПР АЭ не может превышать ГПР центра – см. условия (5)-(9)) исключает необходимость прогнозирования АЭ будущих управлений со стороны центра.

Отказ от этого предположения, приводящий к эффекту обмена ролями, обсуждается в разделе 3.5.

В таблице 1 перечислены возможные комбинации РД и ГПР центра и АЭ. Режимы принятия решений обозначены: «Т» – текущий, «С» – скользящий, «П» – программный.

Случаи, исключаемые условиями (8)-(9), заштрихованы.

Случаи, нарушающие предположение А.0, затенены.

На пересечении соответствующих строк и столбцов1 указаны условные обозначения моделей (ДАС1 – ДАС4), исследуемых ниже (см., в частности, раздел 3.5).

Таким образом, в качестве базовых моделей ДАС выделены:

- ДАС1, характеризуемая текущим режимом управления;

- ДАС2, характеризуемая скользящим режимом управления без обязательств;

- ДАС3, характеризуемая скользящим режимом управления с обязательствами;

- ДАС4, характеризуемая программным режимом управления.

В рамках введенной системы классификаций любая модель детерминированной ДАС описывается указанием РД и ГПР центра и АЭ. Например, обозначение ДС-ПТ означает, что рассматривается ДАС с дальновидным центром, использующим скользящий режим ПР, и полностью дальновидным АЭ, использующим текущий режим ПР, и т.д.

Затененная половина ячейки соответствует случаям, в которых дальновидность АЭ превышает дальновидность центра (см. теорему 4).

Табл. 1. РД и ГПР центра и АЭ АЭ Полностью Недальновиден Дальновиден дальновиден Т С П Т С П Т С П Центр Т ДАСС П ДАС2 ДАСТ ДАСДАС3 ДАСС ДАСП ДАС4 ДАС4 ДАС4 ДАС4 ДАСТ ДАСДАС4 ДАС4 ДАС4 ДАС4 ДАСС ДАСП ДАС4 ДАС4 ДАС4 ДАС4 ДАС4 ДАСВведя систему классификаций и рассмотрев возможные взаимоотношения между распределениями дальновидности и горизонтами принятия решений, отражающими степень учета игроками будущего, перейдем к решению задач синтеза оптимальных управлений в динамических активных системах.

виден НедальноДальновиден Полностью дальновиден 3. ЗАДАЧИ СТИМУЛИРОВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ АКТИВНЫХ СИСТЕМАХ 3.1. Задача стимулирования в статической активной системе Рассмотрим многоэлементную детерминированную статическую двухуровневую активную систему (АС), состоящую из центра и n активных элементов (АЭ). Стратегией АЭ является выбор действий, стратегией центра – выбор функции стимулирования, то есть зависимости вознаграждения каждого АЭ от его действий и, быть может, действий других АЭ или других показателей их деятельности.

Обозначим: yi Ai – действие i-го АЭ, i I = {1, 2, …, n} – n Ai множество АЭ, y = (y1, y2,..., yn) A' = – вектор действий i=АЭ, y-i = (y1, y2, …, yi-1, yi+1, …, yn) A-i = Aj – обстановку игры ji для i-го АЭ.

Интересы и предпочтения участников АС – центра и АЭ – выражены их целевыми функциями. Целевая функция центра является функционалом (, y) и представляет собой разность между его доходом H(y) и суммарным вознаграждением (y), выплачиваемым n АЭ: (y) = ( y), где (y) – стимулирование i-го АЭ, i i i= (y) = ( (y), (y), …, (y)), то есть 1 2 n n (1) ( ( ), y) = H(y) – ( y).

i i=Целевая функция i-го АЭ является функционалом fi(, y) и i представляет собой разность между стимулированием, получаемым им от центра, и затратами ci(y), то есть:

(2) fi( ( ), y) = (y) – ci(y), i I.

i i Отметим, что индивидуальное вознаграждение и индивидуальные затраты i-го АЭ по выбору действия yi в общем случае явным или неявным образом зависят от действий всех АЭ (случай сильно связанных АЭ с несепарабельными затратами [59]).

Примем следующий порядок функционирования АС. Центру и АЭ на момент принятия решения о выбираемых стратегиях (соответственно – функциях стимулирования и действиях) известны целевые функции и допустимые множества всех участников АС.

Центр, обладая правом первого хода, выбирает функции стимулирования и сообщает их АЭ, после чего АЭ при известных функциях стимулирования выбирают действия, максимизирующие их целевые функции.

Относительно параметров АС введем следующие предположения, которые, если не оговорено особо, будем считать выполненными в ходе всего последующего изложения:

А.1. i I Ai – отрезок 1 с левым концом в нуле.

+ А.2. i I 1) функция ci( ) непрерывна по всем переменным;

2) yi Ai ci(y) не убывает по yi, i I; 3) y A’, ci(y) 0; 4) y-i A-i, ci(0, y-i) = 0.

А.3. Функции стимулирования кусочно-непрерывны и принимают неотрицательные значения.

А.4. Функция дохода центра непрерывна и достигает максимума при ненулевом векторе действий АЭ.

Обозначим P( ) – множество равновесных по Нэшу при системе стимулирования действий АЭ – множество реализуемых действий (то есть будем считать, что АЭ выбирают свои стратегии одновременно и независимо друг от друга, не имея возможности обмениваться дополнительной информацией и полезностью). Минимальными затратами центра на стимулирование по реализации вектора действий АЭ y’ A’ будем называть минимальное значение суммарных выплат элементам, при которых данный вектор действий является равновесием Нэша в игре АЭ, то есть решение следующей задачи: ( y') min, где (y’) = { () | i ()( y') iI y’ P( )}. Как и в одноэлементной АС [56, 58], гарантированной эффективностью (далее просто "эффективностью") стимулирования является минимальное значение целевой функции центра на соответствующем множестве решений игры (всюду, где встречаются минимумы и максимумы, будем предполагать, что они достигаются):

(3) K( ( )) = min ( ( ), y).

yP( ()) Задача синтеза оптимальной функции стимулирования заклю* чается в поиске допустимой системы стимулирования, имеющей максимальную эффективность:

* (4) = arg max K( ( )).

() В [59] доказано, что оптимальной (точнее – -оптимальной, где n = ) является квазикомпенсаторная система стимулирования i i= :

K * * ci ( yi, y-i ) + i, yi = yi (5) =, i I, iK * yi yi 0, где – сколь угодно малые строго положительные константы, а i оптимальное действие y*, реализуемое системой стимулирования (5) как единственное равновесие в доминантных стратегиях [56], является решением следующей задачи оптимального согласованного планирования [18, 58]:

n (6) y* = arg max {H(y) – ( yi ) }.

c i yA i=Приведенный результат об оптимальности1 компенсаторных систем стимулирования (5)-(6) получил название принципа компенсации затрат. Значение этого результата трудно переоценить, так как он позволяет сразу определить минимальные затраты центра на стимулирование по реализации вектора действий y A’:

В ходе дальнейшего изложения будем считать, что выполнена гипотеза благожелательности (ГБ), в рамках которой АЭ выбирают из множества P( ) действие, наиболее благоприятное для центра, что позволяет положить = 0. Кроме того, известно, что принцип компенсации затрат (с соответствующими незначительными модификациями) имеет место и в случае, когда необходимо гарантировать АЭ некоторый положительный уровень полезности [30, 59], и в задаче стимулирования первого рода [58], и в АС, в которых целевая функция АЭ представлена в виде «доход минус штрафы» [58].

n (7) (y) = ( yi ), c i i=и сконцентрировать все внимание на решении задач выбора оптимальных для центра реализуемых действий (в простейшем случае эта задача имеет вид (6)); в качестве примеров можно привести АС с неопределенностью [58], многоуровневые АС [53], АС с распределенным контролем [60] и др. Как будет видно из последующего изложения, использование принципа компенсации затрат эффективно и при исследовании динамических активных систем.

Кроме того, результаты анализа статической модели позволяют сделать еще один вывод. Система стимулирования (5) побуждает АЭ выбирать соответствующие действия как доминантные стратегии, то есть осуществляет декомпозицию игры АЭ. Возможность добиться подобной декомпозиции в [59] получила название принципа декомпозиции игры АЭ. Значимость этого принципа заключается в том, что он позволяет не рассматривать взаимодействие агентов, а решать задачи их стимулирования «независимо». Принцип декомпозиции игры АЭ будет, также как и принцип компенсации затрат, широко использоваться в настоящей работе при исследовании динамических АС, поэтому можно ограничиться рассмотрением задач управления одним АЭ, так как переход к аналогичным АС с несколькими взаимодействующими АЭ приводит лишь к количественному росту сложности оптимизационных задач, не привнося при этом никаких качественных эффектов (многоэлементные ДАС рассмотрены в разделе 3.4).

Перейдем к описанию задач стимулирования в динамических АС.

3.2. Динамические активные системы с несвязанными периодами функционирования Рассмотрим простейшую модель одноэлементной ДАС с несвязанными периодами функционирования. Взаимодействие участников в данной модели является совокупностью T повторений их взаимодействия в одноэлементной статической модели, то есть t центр в каждом периоде t = 1,T сообщает АЭ управление ( ) на этот период, после чего АЭ выбирает действие yt, причем ни один из параметров модели АС текущего периода не зависит ни от одного из параметров прошлых периодов.

t + Пусть yt At – стратегия АЭ в периоде t, ( ): At 1 – используемая центром в этом периоде система стимулирования, t = 1,T. Относительно параметров ДАС будем предполагать, что они удовлетворяют предположениям А.1-А.4.

Выигрыш АЭ в периоде t равен t t (1) f t(, yt) = (yt) – ct(yt), t = 1,T, где ct( ) – функция затрат АЭ в этом периоде.

Выигрыш центра в периоде t равен t t t (2) (, yt) = Ht(yt) – (yt), где H t( ) – функция дохода центра в этом периоде, t = 1,T.

Если не оговорено особо, будем считать, что центр должен выбирать такие управления, чтобы в каждом периоде значение целеt вой функции АЭ было неотрицательно, то есть f t(, yt) 0, t = 1,T (условие участия или условие индивидуальной рациональности – Individual Rationality).

Если в каждом периоде целевые функции и допустимые множества удовлетворяют предположениям А.1-А.4, то в соответствии с принципом компенсации затрат1 задача центра заключается в последовательном определении и реализации плановой траектории x1,T = (x1, x2,..., xT) как результата решения следующей совокупности независимых задач оптимального согласованного планирования:

(3) xt = arg maxt {H t(yt) – ct(yt)}, t = 1,T.

ytA При ссылке на принцип компенсации затрат здесь и ниже, если не оговорено особо, по умолчанию предполагается, что при использовании центром компенсаторной системы стимулирования или ее модификаций АЭ выбирают действия, равные планам (все рассуждения по обоснованию этого факта повторяют приведенные в [59, 60] и опускаются – см.

также доказательство теоремы 1 ниже), что требует от центра затрат на стимулирование равных затратам АЭ.

Если целевая функция центра определяется суммой (по всем периодам) значений его выигрышей (2), то задача оптимального согласованного планирования имеет вид:

T (4) x1,T = arg max1,T {Ht(yt) – ct(yt)}, y1,T A t=где A1, = {y1, | yt At, t = 1, } = At, = 1,T.

t=Очевидно, что при несвязанных периодах функционирования решение задачи (3) разбивается на решение T несвязанных однопериодных задач оптимального согласованного планирования, а решения задач (4) и (3) совпадают, что объясняется независимостью периодов.

Если периоды слабо связаны (то есть существует единственное ограничение, связывающее действия, или множества допустимых действий, или затраты, или доходы, или вознаграждения и т.д. – см.

аналогии в задачах стимулирования в многоэлементных АС со слабо связанными АЭ [59]), то задача (4) превращается в задачу условной оптимизации (изменяется множество действий, по которому ищется максимум).

Основная идея решения задачи стимулирования в этом классе моделей заключается в том, чтобы «перенести» все ограничения на множество допустимых траекторий, а затем решать задачу выбора оптимальной (по критерию суммарного выигрыша центра) допустимой (с учетом всех ограничений) траектории в расширенном пространстве состояний1 (см. также [78-80]). Например, если наложено ограничение R на суммарные выплаты АЭ, то, вводя множество P(R) реализуемых при данном ограничении действий T АЭ: P(R) = {y1,T A1,T | ( yt ) R}, получаем, что оптимальной ct t = Под «расширенным пространством состояний» понимают множество A1,T всех допустимых траекторий. При определенных условиях [78-80] последовательность задач выбора стратегий участниками ДАС можно рассматривать как задачу однократного выбора стратегии в статической модели с расширенным пространством состояний.

будет плановая траектория, являющаяся решение следующей задачи:

T (5) x1,T = arg max {H t(yt) – ct(yt)}.

y1,T P(R) t=При этом, очевидно, решение задачи (5) в общем случае не будет являться совокупностью T решений задач (3).

Пример 2. Пусть T = 2, H t(yt) = yt, ct(yt) = (yt)2/2rt, At = 1, + t = 1, 2. Решение задачи (3) имеет вид: xt = rt, t = 1, 2.

T Обозначим RT =. Тогда решение задачи (5) имеет вид:

rt t= rt, R RT / xt =, t = 1,T.

rt 2R, R RT / RT Выигрыш центра при этом равен min {RT/2; 2RRT - R}. Если предположить, что затраты АЭ одинаковы во всех периодах, то есть ct(yt) = (yt)2/2r, то выигрыш центра монотонен по T. Отсюда следует качественный вывод: если суммарный ресурс ограничен и игроки не учитывают будущее, то центру выгодно «растягивать» процесс взаимодействия с АЭ до бесконечности, побуждая его выбирать в каждом периоде как можно меньшее действие. Отметим, что аналогичный результат имел место при решении задачи определения оптимального числа однородных АЭ, включаемых в состав АС (см.

примеры в [53, 59]). • 3.3. Динамические активные системы со связанными периодами функционирования Рассмотрев ДАС с несвязанными периодами, перейдем к последовательному анализу систем, отличающихся наличием одного и только одного из присущих именно динамическим АС параметров. В соответствии с введенной выше системой классификаций такими параметрами являются: стимулирование, затраты АЭ, доход центра и множества допустимых действий АЭ.

Относительно распределения дальновидностей и режимов управления, если не оговорено особо, будем в настоящем разделе предполагать, что центр полностью дальновиден и использует программный режим управления, а АЭ либо недальновиден, либо полностью дальновиден и выбирает свои действия в каждом периоде.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.