WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 15 |

В случае полностью дальновидного центра (реализуется модель ДАС4), оптимальными являются низкие, но одинаковые планы на весь период функционирования предприятия (в качестве которого может быть выбрано характерное время диссипации загрязнений). В рассматриваемом примере такая ситуация может возникнуть только в случае, если точно известен срок жизни предприятия (или администрации) и, более того, центр обладает полной информацией о функциях затрат и дохода на весь этот период. Такие жесткие требования модели ДАС4 говорят о том, что она будет вряд ли может быть реализована на практике.

Рассмотрим другой случай, когда > 0. При 1 / ( – 1) оптимальными являются бесконечно большие планы, которые дают бесконечно большую эффективность. Для случая > > 0 оптимальные планы представлены на рисунке 10.

- x 7.6.5.x1 x2 4.x3 x4 3.2.1.0.t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Рис. 10. Оптимальные планы для моделей ДАС1 – x1, ДАС 2 – x2 ( = 5), ДАС3 – x3 ( = 5, L0 = 4, m0 = 2) и ДАС4 – x0 в случае 1/( – 1) > > 0, T = В этом случае оптимальные планы возрастают во времени.

При этом план для модели с полной дальновидностью (то есть для ДАС4) изначально самый большой. • Случай > 0 может хорошо подходить для описания модели фирмы, выходящей на новый неосвоенный еще ни кем рынок сбыта.

Пример 9 (модель выхода фирмы на новый рынок). Пусть некоторая компания продвигает новый продукт на рынок, и этот продукт является уникальным, то есть у компании нет конкурентов. Проблема заключается в неосведомленности потенциальных покупателей о данном продукте.

Предположим, что спрос определяется осведомленностью покупателей о продвигаемом продукте. Чем больше продано продукта за предыдущие периоды, тем больше о нем осведомленность потребителя, и значит тем больше будет спрос на него в текущем периоде. Такое поведение укладывается в рассматриваемую модель ДАС с > 0, где центром является руководство предприятия, которое назначает план, ориентируясь на потенциальный спрос.

Если руководство недальновидно, то есть не знает, что количество продукта, которое предприятие произведет сегодня и которое будет продано, положительно скажется на спросе в следующем периоде, то оно назначает небольшой план относительно плана, который был бы назначен, если руководство было бы дальновидно (см. рисунок 10). Со временем оптимальный план не уменьшается для всех четырех моделей (в случае ДАС4 он остается постоянным) так как спрос на продукцию растет и, чтобы удовлетворить этот спрос, и, соответственно, получить больший доход, надо увеличивать план.

Основной полученный выше результат о соотношении эффективностей различных моделей ДАС: K1 K3 K2 K4, можно проинтерпретировать следующим образом. Чем больше компания знает о поведении потребителей в будущем (то есть обладает большей дальновидностью), тем она ведет себя более эффективным образом.

Обсудим границы применимости рассматриваемой модели в данном примере. Основное ограничение состоит в том, что функt-цию g( y ), отражающую эффект накопления, на практике =можно полагать линейной только при небольших значениях аргумента, потому что рынок сбыта не является бесконечным и как только продукт заполнит в этом рынке свою нишу, описываемый эффект перестанет действовать. Таким образом, можно говорить что предложенная модель хорошо описывает процесс выхода нового продукта на рынок в начальной стадии освоения этого рынка при условии уникальности и востребованности продукта. • В заключение настоящего раздела отметим, что в рассматриваемой задаче считалось, что коэффициент дисконтирования равен единице, то есть будущий доход для центра для него также важен как и доход в настоящем. На практике коэффициент дисконтирования обычно меньше единицы. В этом случае граница для (см. рисунок 7), начиная с которой оптимальными становятся бесконечно большие действия, сместится вправо.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, в настоящей работе:

- проведен обзор основных результатов теории активных систем, теории иерархических игр и теории контрактов по управлению динамическими активными системами (см. Приложение);

- дана общая постановка и введена система классификаций задач управления ДАС (раздел 1), выделены четыре базовых модели ДАС (раздел 2);

- решена задача стимулирования в многоэлементной детерминированной ДАС (теоремы 1 и 3), охарактеризовано множество планов, согласованных в ДАС (теорема 2);

- классифицированы распределения дальновидностей и горизонты принятия решений участниками ДАС, выявлен и исследован эффект обмена ролями, заключающийся в опережающем принятии решений управляемым субъектом (теорема 4);

- исследовано влияние режимов управления на эффективность управления базовыми ДАС (теоремы 5-6);

- решены задачи управления и получены оценки сравнительной эффективности различных режимов управления двух и трехпериодными ДАС (теоремы 7-8);

- изучены «эффекты накопления» в ДАС (раздел 5), что позволило описать и исследовать ряд прикладных моделей.

Приложение ОБЗОР ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРИИ АКТИВНЫХ СИСТЕМ, ТЕОРИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ИГР И ТЕОРИИ КОНТРАКТОВ ПО УПРАВЛЕНИЮ ДИНАМИЧЕСКИМИ АКТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ Повторяющиеся игры Рассмотрим игру n лиц1, стратегией каждого из которых является выбор yi Ai, i I. Если обозначить функцию выигрыша i-го игрока fi(y), y = (y1, y2,..., yn) A’ = Ai, то однопериодной игрой iI G называется кортеж G = (A1, A2,..., An, f1, f2,..., fn). Динамической игрой G(T) (повторяющейся игрой, суперигрой и т.д.) называется игра G, повторенная T раз. Выигрыш i-го игрока в суперигре есть i среднее значение его выигрышей по всем периодам, то есть Так как ниже приводится обзор основных результатов различных научных школ и направлений по исследованию теоретико-игровых моделей управления динамическими активными системами (теория активных систем, теория игр, теория контрактов и т.д.), а в различных классах моделей для обозначения одних и тех же субъектов используются различные термины, то при описании результатов мы будем использовать терминологию, принятую в соответствующей научной школе. Во избежании путаницы следует отметить, что «равноправные» субъекты в теории игр обозначаются терминами «игрок» («второй игрок» или «производитель» в теории иерархических игр), в теории активных систем – «активный элемент» или просто «элемент», а в теории контрактов – «агент» (agent). Если рассматривается иерархическая система, то игроки, обладающие правом первого хода в рамках каждого периода функционирования, обозначаются: «центр» – в теории активных систем, «центр» или «первый игрок» – в теории иерархических игр, «начальник» (principal) – в теории контрактов. В ходе дальнейшего изложения в целях общности термины, обозначающие одно и то же понятие, будут использоваться как синонимы.

В выражении (1) предполагается, что игроки одинаково учитывают полезности, получаемые в различных периодах. Учет будущего производится введением дисконтирующих множителей (см. ниже).

T (1) (y1,T) = fi ( yt ), i T t =t t t где yt = ( y1, y2,..., yn ) A’ – вектор стратегий игроков в момент времени t, y1,T = (y1, y2,..., yT) – вектор стратегий игроков за периоды с первого по период T. «Стратегией»1 i-го игрока в игре G(T) в t момент времени t является отображение : (A’)t-1 Ai истории i игры y1,t-1, сложившейся к моменту (t – 1), во множество его допустимых стратегий. Следовательно, «стратегия» i-го игрока – вектор 1 2 T = (,,..., ). Набор = (,,..., ) индуктивно опреi 1 2 n i i i деляет в суперигре путь (y1( ), y2( ),..., yT( )), где y1( ) =, t yt( ) = (y1,t-1( )), t > 1.

* Равновесие Нэша определяется следующим образом:

T T 1 * * (2) fi ( yt ( )) fi ( yt (, )), i I.

i -i i T T t =1 t =Обозначим: N(T) – множество равновесных по Нэшу путей в min суперигре (предположим, что N(1) не пусто); – гарантированi ный (максиминный) выигрыш i-го игрока (стратегия, обеспечиmin вающая, называется индивидуально рациональной (IR)), i i – выпуклую оболочку множества возможных значений целевых функций игроков; * – подмножество множества, состоящее из выигрышей игроков, доминирующих максиминные; G(T-t) – подыгру игры G(T), соответствующую последним T – t периодам, где t < T; (y1, ) – стратегию i-го игрока в игре G(T – ) такую, что i 1 + (y1, ) = (y1, ) и t < T –, a1,t = (a1, a2,..., at) i i +1 t+ + (a1,t) = (y1,, a1,t); (y1, ) = ( (y1, ), (y1, ),..., (y1, )).

1 2 n i i Употребление кавычек обусловлено тем, что термин «стратегия» в теории игр используется в двух смыслах – как результат выбора игрока (в рассматриваемой модели – элемент множества Ai) и как используемое им правило принятия решений (в рассматриваемой модели – отображение имеющейся информации во множество Ai).

Стратегия называется согласованным с подыграми равновесием (Subgame Perfect Equilibrium – SPE1) суперигры G(T), если – равновесие Нэша в суперигре и < T, y1, (y1, ) – равновесие Нэша в подыгре G(T- ). Содержательно SPE является усилением концепции равновесия Нэша для случая повторяющихся игр – требуется, чтобы для всех подыгр, заканчивающихся в момент времени T, стратегия была равновесной по Нэшу для любой истории игры, предшествующей рассматриваемой подыгре (идеология близка к принципу оптимальности Беллмана в динамическом программировании [9, 10]). SPE, в частности, обладает следующим свойством: путь, образованный последовательностью равновесных путей, является равновесным в игре, образованной последовательностью соответствующих игр.

Основная идея повторяющихся игр заключается в том, что при многократном повторении однопериодной игры удается добиться того, что выбор игроками индивидуально рациональных стратегий приводит к реализации рационального для всего коллектива исхода. В однопериодной игре это не всегда так: в общем случае, если используется некооперативная концепция равновесия (равновесие Нэша), то в однопериодной игре точка Нэша может оказаться неэффективной (по Парето) с точки зрения всех игроков. В то же время, может существовать оптимальный по Парето набор стратегий, который не является равновесным по Нэшу. Классическим примером является игра двух лиц "дилемма заключенного" (см., например, [66, 82, 107, 128]).

Многократное повторение рассматриваемой игры в некоторых случаях позволяет "оставить" игроков в Парето-оптимальной точке.

Интуитивно понятно, что для этого нужно придумать механизм, который предотвращал бы отклонения, то есть наказывал бы отклонившегося игрока, причем наказывал настолько сильно, чтобы отклонение становилось невыгодным. Этой цели служит вводимая ниже стратегия наказания2.

Иногда SPE переводится как «абсолютное равновесие Нэша» [66], или «совершенное равновесие Нэша».

В иерархических системах «наказание» может осуществляться центром, что иногда позволяет добиться эффективного равновесия в статике [53].

Обозначим через P(T) множество всех SPE в игре G(T), обладающее следующими свойствами [87, 88, 101, 115]: это множество компактно; если некоторый путь принадлежит P(T), то любой подпуть, получаемый из исходного отбрасыванием, начиная с первого момента времени, любого (меньшего T) числа стратегий, также принадлежит P(T). Определим оптимальную k-периодную стратегию наказания i-го игрока:

k (3) Wi1,k = min { fi ( yt ) | y1,k P(k)}.

t =Для того чтобы y1,T P(T) необходимо и достаточно, чтобы i I, t < T T j (4) Wi1,T -t fi ( y ), j=t +то есть наказание должно быть достаточно сильным – полезность при наказании в течение всех оставшихся периодов не должна превышать то, что игрок мог бы получить не будучи наказанным [91, 92, 103, 105].

Содержательно, качественное отличие повторяющихся (многопериодных) игр от "обычных" (статических, однопериодных) заключается в том, что наличие нескольких периодов повышает ответственность игроков за свои действия – если кто-то повел себя не так как следовало, то в следующих периодах он может быть наказан остальными игроками за это отклонение. Для того, чтобы предотвращать отклонения, наказание должно быть достаточно сильным (см. (4)) и компенсировать возможный выигрыш игрока, который тот получает отклоняясь. Переключение с "нормального" режима на наказание (и быть может возвращение к исходному режиму через несколько периодов) получило название триггерной стратегии. Некоторые примеры того, как строить триггерные стратегии и того, как определить наилучший момент переключения (ведь не всегда можно достоверно установить факт отклонения, особенно в условиях неполной информированности), приведены в [108, 122, 131, 134, 145].

Существенной в повторяющихся играх оказывается информированность игроков. Если все игроки наблюдают все стратегии, выбранные партнерами в прошлом, то будем говорить, что имеет место полная информированность (perfect monitoring [133]). Если же стратегии, выбираемые в прошлом, ненаблюдаемы, а есть другая информация, например, если наблюдаемы полезности игроков1, то имеет место неполная информированность (imperfect monitoring).

Основным результатом (группой результатов), полученным при исследовании повторяющихся игр является так называемая "народная теорема" (Folk Theorem (FTh)) [83, 110, 114, 139, 147 и др.]. Приведем серию теорем типа FTh [104]:

FTh1: Если игроки слабо дисконтируют будущее (коэффициенты дисконтирования близки к единице), то для любого вектора * выигрышей * существует равновесие Нэша в бесконечной суперигре, в котором игроки получают выигрыши, в точности * равные.

Интуитивное обоснование этого результата таково. Пусть в многопериодной игре игроки выбирают стратегии y* Ai, i I, i * обеспечивающую выигрыши, до тех пор пока игрок с некоторым номером i не отклонится от соответствующей своей стратегии. В случае его отклонения в периоде k все игроки переключаются на Wik,. Понятно, что в бесконечной игре при достаточно слабом дисконтировании моментальный выигрыш от отклонения компенсируется "вечным" наказанием.

* * FTh2: в бесконечно повторяющейся игре без дисконтирования существует SPE, в котором ожидаемый выигрыш i-го * игрока равен, i I.

i * * FTh3: Если некоторый вектор выплат Паретодоминирует равновесные по Нэшу выплаты в однопериодной игре, то при слабом дисконтировании в бесконечной суперигре сущест* вует SPE, в котором средний выигрыш равен.

Для простоты далее будем считать, что все игроки одинаково учитывают будущее (имеют одинаковый дисконтирующий множитель).

До сих пор мы считали, что при принятии решений о выборе стратегии в каждом периоде каждый игрок одинаково учитывает будущие периоды (см. (1)). Однако, зачастую, будущие периоды учитываются с разными весами – дисконтирующими множителями.

* FTh4: Пусть ( ) множество средних выигрышей игроков в SPE бесконечно повторяемой игры, в которой игроки имеют дисконтирующий множитель. Тогда < 1 соответствие ( ) полунепрерывно сверху (требование полунепрерывности нарушается при = 1 (см. [104])).

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 15 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.