WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 14 |

0 1 + si piQ, > psi Из анализа выражения (13) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (14) s* = d, i I.

i Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым.

При сообщениях (14) ожидаемая полезность страховщика равна (15) E ( ) = p Q 1 +i.

iI i Легко видеть, что ожидаемая полезность страховщика неотрицательна, независимо от априорной неопределенности, причем справедлива оценка:

d D (16) n p Q E ( ) n p Q.

1 + d 1 + D В предельном случае (при D = d, то есть при отсутствии неопределенности и одинаковых страхователях) (16) переходит в выражение (10) раздела 2.1.

Из сравнения выражений (6) и (16) следует, что ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая.

Завершив рассмотрение механизмов выбора нагрузок к неттоставкам, рассмотрим механизмы выбора страхового тарифа, основывающиеся на сообщениях страхователей страховщику о неизвестных ему параметрах.

Механизмы определения страхового тарифа.

Центру неизвестны {pi}. Для простоты будем считать, что все страхователи одинаково относятся к риску ( = ) и характеризуi ются одинаковыми величинами потерь Q при наступлении страхового случая.

Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение страхового тарифа на основании сообщений страхователей si [dp; Dp], i I, (s = (s1, s2,..., sn) [dp; Dp]n) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования = (s), где процедура ( ) определяется в результате решения следующей задачи:

n Q (17) E (, s) = 0 ( - si ) max, 1+ i=m(,s ) (18) m(, s) = min {i I | (1 + ) si }.

0 Подставляя (17)-(18) в целевую функцию страхователя, получаем:

Q, (1 + )si (19) Efi(, s) = g -, i I.

0 1 + piQ, > (1 + )si Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог ГРО:

(20) si pi, i I.

Из анализа выражения (19) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (ср. с (5)) (21) s* = dp, i I.

i Таким образом, механизм определения страхового тарифа оказывается манипулируемым.

При сообщениях (21) ожидаемая полезность страховщика определяется выражением (6), следовательно оценка (7) остается достаточной для «неразорения» страховщика и в случае механизма назначения страхового тарифа.

Таким образом, потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа.

Центру неизвестны {Qi}. Будем считать, что центру известны отношение к риску страхователей { } и вероятности {pi} наступлеi ния страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение (1 + ) pi.

i Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si [dQ; DQ], i I, (s = (s1, s2,..., sn) [dQ; DQ]n) о величинах потерь, то есть центр использует механизм планирования = (s), где процедура ( ) определяется в результате решения следующей задачи:

n si (22) (s) = max [pk (1 + ) – pi].

0 k kI 1+ i i=k Подставляя (22) в целевую функцию страхователя, получаем:

(23) Efi(, s) = g – pi Qi + si [pi - ], i I.

1 + i Как и в задаче выбора нагрузки к нетто-ставке, если истинный размер ущерба становится известным апостериори, то оптимальной стратегией каждого страхователя является сообщение достоверной информации. Если отказаться от этого предположения, то получим, что механизм определения страхового тарифа на основании сообщений о потерях манипулируем.

Центру неизвестны { }. Для простоты будем считать, что все i страхователи характеризуются одинаковыми величинами потерь Q при наступлении страхового случая и одинаковыми вероятностями наступления страхового случая p.

Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si [d ; D ], i I, (s = (s1, s2,..., sn) [d ; D ]n) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования = (s), где процедура ( ) определяется в результате решения следующей задачи:

n - pi (24) E (, s) = Q max, 1 + si i=m(,s ) (25) m(, s) = min {i I | p si }.

0 Подставляя (24)-(25) в целевую функцию страхователя, получаем:

- pi( - si ) 0 i Q, psi (26) Efi(, s) = g -, i I.

0 1 + si piQ, > psi Из анализа выражения (26) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (ср. с (14):

(27) s* = d, i I.

i Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым.

При сообщениях (27) ожидаемая полезность страховщика определяется выражением (15), то есть, как и случае задачи назначения нагрузки к нетто-ставке, эта полезность неотрицательна, независимо от априорной неопределенности, и для нее справедлива оценка (16) и сделанный выше вывод о влиянии неопределенности.

Полученные выше в настоящем разделе результаты исследования механизмов планирования (назначения нагрузки и страхового тарифа) суммируем в виде следующего утверждения.

Утверждение 2.

а) Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми1, причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата;

б) ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая;

в) потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа.

В заключение настоящего раздела исследуем случай, когда страховщик имеет информацию о распределении вероятностейнеопределенного параметра (внутренняя вероятностная неопределенность с асимметричной информированностью в соответствии с классификацией, введенной в [51]) – вероятности наступления страхового случая.

Манипулируемость имеет место в рамках введенного выше предположения о полной компенсации потерь. Если сделать размер возмещения, также как и страховой взнос, гибко зависящим от сообщений страхователей, то, возможно, что удастся снизить искажения информации.

Отметим, что так как в вероятностных моделях используется математическое ожидание по известному распределению, то единственность или множественность страхователей не является принципиальной, поэтому для упрощения рассмотрим случай одного страхователя.

Пусть Fp: [dp; Dp] [0; 1] – известная страховщику непрерывная интегральная функция распределения вероятностей вероятностей наступления страхового случая.

По аналогии с (1) и (17) получаем, что математическое ожидание целевой функции страховщика равно Q (28) Ep E ( ) = [1 – Fp( / )], 0 1 + D Q (29) Ep E ( ) = [ (1 – Fp( /(1+ )) - p dFp( )].

0 0 1+ /( 1+ ) Утверждение 3. В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа.

Доказательство утверждения 3. Покажем, что имеет место (30) max Ep E ( ) max Ep E ( ).

0 [ d ; Dp ] [(1+ )d ;(1+ )Dp ] 0 p 0 p D Обозначим p = p dFp( ) - ожидаемую вероятность наступ d ления страхового случая. Очевидно, что имеет место dp p Dp, а, следовательно, и следующие оценки значений (28) и (29) на границах отрезков допустимых значений аргументов:

(31) Ep E ( = Dp) = Ep E ( = (1 + ) Dp) = 0, 0 Ep E ( = dp) = d Q / (1 + ) Ep E ( = (1 + ) dp) = Q [(1 + ) d - p ] / (1 + ).

Сравним теперь максимальные значения выражений (28) и (29) внутри соответствующих интервалов.

Докажем, что [(1 + ) dP; (1 + ) DP] [ dP; DP]:

0 Ep E ( ) Ep E ( ). Предположим противное, то есть пусть 0 [(1 + ) dP; (1 + ) DP]: [ dP; DP] выполнено 0 Ep E ( ) < Ep E ( ).

0 Запишем последнее выражение используя (28) и (29):

[ dP; DP] D p Q Q (32) [1–Fp( / )] < < [ (1–Fp( /(1+ )) - p dFp( )].

0 0 1 + 1+ /( 1+ ) Так как фиксировано, то вычислим p0 = / (1 + ) и 0 ’ = p0. Очевидно, что, если [(1 + ) dP; (1 + ) DP], то 0 ’ [ dP; DP]. Неравенство (32) должно выполняться и для = ’. После несложных преобразований получаем:

0 Dp (33) p0 (1 – Fp(p0)) > p dFp( ).

pПо известной теореме анализа (интегральная теорема о средDp нем) получаем, что p’ [p0; Dp]: p dFp( ) = p’ (1 – Fp(p0)).

pСравнивая с левой частью (33), получаем противоречие. • Результаты утверждений 1-2 свидетельствуют, что механизмы страхования, основывающиеся на сообщениях страхователей, являются манипулируемыми. Рассмотрим качественно как этот вывод соотносится с практическим опытом.

Параметрами страхователя в рассматриваемой модели являются: его отношение к риску, вероятность наступления страхового i случая pi и потери Qi от наступления страхового случая. Если оценки вероятностей наступления страхового случая, неизвестных страховщику, сообщаются ему страхователями, то последним, при фиксированных условиях выплаты страхового возмещения, естественно, выгодно занизить эти оценки с тем, чтобы заплатить меньший страховой взнос, но получить оговоренное в страховом контракте возмещение, так как при последующих реализациях страховых случаев определяется фактический компенсируемый ущерб. Следовательно, вероятности наступления страховых случаев являются ненаблюдаемыми (и неидентифицируемыми) в рамках механизмов с сообщением информации величинами1.

В частности поэтому, неэффективно использование «конкурсных» механизмов для «однородных» страхователей: если вероятности наступления страховых случаев примерно одинаковы для всех страхователей, то применение механизма, при котором страхователь, сообщивший большую Поэтому на практике параметры страхователей оцениваются косвенным образом: как отмечалось выше величина фактических потерь становится известной апостериори (с этой точки зрения механизмы страхования, в которых величина возмещения зависит от фактических потерь, являются механизмами гибкого планирования [21, 51]), а вероятности наступления страховых случаев оцениваются страховщиком на основании имеющихся статистических данных, экспертных заключений и т.д.

С этой точки зрения экологическое страхование обладает следующей спецификой. Если для, например, страхования жизни в течение столетий накапливалась статистическая информация (таблицы вероятностей дожития и т.д.) и методики ее обработки, то для вероятностей, например, чрезвычайных ситуаций на сложных (а иногда и уникальных!) технологических объектах ретроспективная информация зачастую отсутствует. Поэтому результаты утверждений 1-3 и условия типа выражения (7) несут существенную информацию о влиянии неопределенности (неполной информированности страховщика) на эффективность страхования.

Таким образом, в настоящем разделе рассмотрены механизмы выбора нагрузок к нетто-ставками и механизмы выбора страховых тарифов. Результаты утверждений 1-3 свидетельствуют, что как в случае полной информированности, так и в случае интервальной или вероятностной неопределенности с точки зрения страховщика назначение единой для всех страхователей нагрузки к нетто-ставке не менее выгодно, чем назначение единого страхового тарифа. Тем не менее, в практике экологического страхования чрезвычайно распространены ситуации, в которых страховщик вынужден назначать именно единый страховой тариф. Поэтому полученные в настоящем разделе оценки влияния неопределенности на значение ожидаемого выигрыша страховщика могут рассматриваться как ценность информации о страхователях, то есть как та плата за информацию [19, 51], которую страховщику выгодно «заплатить» за снижение неопределенности.

(или меньшую) оценку, получает выгодные условия страхования, также приводит к искажению информации.

2.3. Взаимное страхование Рассмотрим объединение из n страхователей (которое в моделях взаимного страхования будем считать страховщиком), имеющих целевые функции(1) Efi = gi – ri + pi [hi – Qi], i I.

Для простоты предположим, что все страхователи одинаково относятся к риску, но различаются вероятностями наступления страхового случая и соответствующими потерями. В первой главе настоящей работы обосновано, что перераспределение риска взаимовыгодно только для агентов, отличающихся отношением к риску. Поэтому, с одной стороны, можно считать, что все страхователи нейтральны к риску (и, если необходимо, что страховщик склонен к риску), а, с другой стороны, что основным эффектом, требующим исследования во взаимном страховании2, является манипулирование информацией – так как все страхователи одинаково относятся к риску, то допустимо произвольное его перераспределение между ними при условии, что все страхователи обладают полной информацией друг о друге (если информированность неполная, то есть асимметричная, то возможно нарушение требования сбалансированности взносов и ожидаемых выплат).

В условиях полной информированности суммарный страховой взнос равен R =, а ожидаемое страховое возмещение равно r i iI Для простоты ограничимся описанием взаимодействия страхователей в течение одного промежутка времени, на протяжении которого однократно производится сбор взносов и компенсация ущербов. При этом будем считать, что остатки резервов (разность между собранными взносами и произведенными выплатами) если они положительны, используются в качестве резерва в следующем периоде времени (учет альтернативных способов использования остатков, например, инвестиция их в те или иные проекты, может быть «автоматически» учтен в рамках описываемой ниже модели, поэтому акцентов на задачах управления инвестициями не делается).

Взаимное экологическое страхование может также рассматриваться как совместное резервирование – создание объединением страхователей совместных резервов для возмещения возможных потерь участников.

H = pihi. Так как рассматривается взаимное (некоммерческое1) iI страхование, то в силу условия эквивалентности должно иметь место R = H, то есть (2) = pihi.

r i iI iI Если осуществляется полное возмещение ущерба при наступлении страхового случая2 (hi = Qi, i I, H = piQi ), то в услови iI ях полной информированности можно было бы использовать следующий простой механизм взаимного страхования:

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.