WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 14 |

В заключение настоящего раздела сделаем следующее замечание. Основные «технические» трудности анализа механизмов страхования возникают из-за нелинейности функции полезности страхователя. В то же время, именно эта нелинейность, отражающая его несклонность к риску, делает страхование возможным и взаимовыгодным для страхователя и страховщика. Поэтому для упрощения моделей рассмотрим возможные способы учета несклонности страхователя к риску, не использующие в явном виде функции полезности. Для этого введем в его целевую функцию рисковую премию, отражающую ценность страхового возмещения, получаемого при наступлении страхового случая.

Пусть g – составляющая целевой функции страхователя, независящая от случайных событий, Q – его дополнительные затраты, которые он несет при наступлении страхового случая (в экологическом страховании в качестве Q могут выступать затраты на ликвидацию последствий ЧС, проведение очистных мероприятий, компенсации третьим лицам, пострадавшим в результате загрязнения и т.д.), h(h) – «ценность» страхового возмещения. Тогда ожидаемое значение целевой функции страхователя может быть записано как:

(18) Ef = g - r + p ( h(h) – Q), где p – вероятность наступления страхового случая. Заключение страхового контракта будет выгодно для страхователя, если (19) p h(h) r.

Из принципа эквивалентности следует, что нагрузка к неттоставке есть ( h(h) – h), следовательно, страховой контракт будет выгоден страховщику, если (20) h(h) h.

Например, при h(h) = h e, где 0 – константа, отражающая несклонность страхователя к риску (нейтральности к риску соответствует равенство этой константы нулю), получаем, что при малых из формулы Тейлора следует, что h(h) h + h, то есть может интерпретироваться как максимальная нагрузка к неттоставке. В дальнейшем мы будем использовать более простое выражение, а именно будем считать, что (21) h(h) = h (1 + ).

Рассмотрев проблемы страхования и проведя обзор моделей механизмов страхования, исследуемых в теории контрактов и теории активных систем, перейдем к изложению оригинальных результатов изучения механизмов страхования.

Глава 2. Модели и механизмы страхования В данной главе рассматриваются теоретико-игровые и оптимизационные модели механизмов страхования, основывающиеся на методологии теории активных систем [6, 10-21, 45-53] и теории игр [27, 90, 104, 106]; содержательные интерпретации приводятся на примере экологического страхования. В частности, в разделе 2.описывается модель экологического страхования и формулируется задача управления, в разделе 2.2 исследуются механизмы определения страховых тарифов, в разделе 2.3 – модели взаимного страхования, в разделе 2.4 – механизмы смешанного страхования, в разделе 2.5 изучается предупредительная и мотивационная роль страхования, в разделе 2.6 обсуждается специфика страхования в многоэлементных системах (то есть специфика взаимодействия страховщика с несколькими страхователями, действия и результаты деятельности которых взаимосвязаны). Активность страховщика и страхователей учитывается следующим образом. Во-первых, как отмечалось выше, «в первом приближении» учет активности производится при анализе выгодности условий страхового контракта для всех его участников (условия участия). Во-вторых, в разделах 2.2, 2.3 и 2.4 предполагается, что имеет место неполная информированность страховщика о параметрах страхователей и учитывается возможность манипулирования информацией со стороны последних, то есть решаются задачи синтеза неманипулируемых механизмов планирования. В разделах 2.5 и 2.6 предполагается, что страхователи обладают свободой выбора своих состояний (и целенаправленностью поведения), которые влияют на вероятности наступления страховых случаев и другие параметры модели, то есть, помимо задач перераспределения риска, решаются задачи синтеза согласованных механизмов стимулирования.

2.1. Модели страхования и перестрахования Рассмотрим следующую модель страхования1. Пусть ожидаемое значение целевой функции страхователя имеет вид (см. описание отношения к риску в разделе 1.5):

(1) Ef = H – c – v – r + p [(1 + ) h – Q], где H – доход от хозяйственной деятельности страхователя, c – его затраты на эту деятельность, v – затраты на проведение предупредительных мероприятий, r – страховой взнос, h – страховое возмещение, p – вероятность наступления страхового случая, - коэффициент, отражающий отношение страхователя к риску, Q – потери при наступлении страхового случая.

Пусть ожидаемое значение целевой функции страховщика имеет вид: E = r – p h, а страховой тариф определяется как сумма нетто-ставки (равной в силу принципа эквивалентности – см. выше – вероятности наступления страхового случая p) и нагрузки к нетто-ставке, которую мы обозначим (напомним, что нагрузка к нетто-ставке включает рисковую надбавку, коммерческую надбавку и предупредительную надбавку – см. главу 1), то есть (2) r = (p + ) h.

Условие выгодности страхования для страхователя имеет вид:

(3) r p (1 + ) h, для страховщика:

(4) r p h, условие «морального риска» (отражающее непобуждение страхователя к заинтересованности в наступлении страхового случая):

(5) (1 + ) h Q.

Объединяя условия (2)-(4), получим (6) 0 p.

Содержательно, условие (6) означает, что коммерческая эффективность страхования с точки зрения страховщика ограничена отношением страхователя к риску. Чем выше вероятность наступ Рассматриваемая в настоящем разделе модель страхования является базовой для всей второй главы – в последующих разделах изучаются модификации (усложнения) этой модели, учитывающие те или иные характерные свойства исследуемых классов механизмов страхования.

ления страхового случая и чем более страхователь несклонен к риску, тем более выгодно страхование для страховщика.

Пусть имеет место полная компенсация ущерба, то есть (5) выполняется как равенство. Тогда справедливо:

p + (7) r = Q, 1+ Q (8) h =.

1 + Из (7)-(8) следует, что величина страхового взноса растет с увеличением вероятности наступления страхового случая, потерь и нагрузки к нетто-ставке. В то же время, размер страхового возмещения растет с ростом потерь, убывает с ростом коэффициента и не зависит от вероятности наступления страхового случая и нагрузки к нетто-ставке (что обусловлено введенным выше предположением о полной компенсации ущерба).

Подставляя выражения (7) и (8) в целевые функции страхователя и страховщика и обозначая g = H – c – v, получим:

p + (9) Ef = g – Q, 1+ (10) E = Q.

1 + Из (9)-(10) видно, что полезность страхователя убывает с увеличением потерь, вероятности наступления страхового случая и нагрузки к нетто-ставке, а ожидаемая полезность страховщика не зависит от вероятности наступления страхового случая (что объясняется тем, что он несклонен к риску) и возрастает с увеличением потерь и нагрузки к нетто-ставке.

Выгодность страхования для страховщика оценивается величиной E (см. выражение (10)), так как в отсутствии страхового контракта его полезность равна нулю. Выгодность страхования для страхователя может быть оценена разностью Ef между его полезностью в случае заключения страхового контракта и в случае его отсутствия:

p - (11) Ef = Q.

1+ Сумма (E + Ef), которую мы обозначим может рассматриваться как «мера» взаимовыгодности страхового контракта:

p (12) = Q.

1 + В предельном случае – при нейтральном к риску страхователе (чему соответствует = 0) из (4) следует, что страховой взнос равен ожидаемому страховому возмещению, из (6) следует, что = 0 (коммерческое страхование невыгодно1, то есть = 0 и E = 0 – см. выражения (10) и (12), а ожидаемая полезность страхователя (9) одинакова как при заключении страхового контракта, так и при его незаключении).

Рассмотрев страховой контракт между страховщиком и одним страхователем, перейдем к описанию моделей взаимодействия между одним страховщиком и несколькими страхователями, характеризуемыми отношением к риску { } и потерями {Qi}, i i I = {1, 2,..., n}, где n – число страхователей.

Предположим, что страховщик фиксирует нагрузку к неттоставке. Тогда при различных вероятностях наступления страхового случая страховые тарифы для различных страхователей также 0i будут различны: = pi +. По аналогии с одноэлементной сис0i темой имеем:

pi + 0 Qi pi - (13) ri = Qi, hi =, Efi = Qi i 0, i I.

1 + i 1+ i 1 + i Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в следующем смысле:

(14) p1 p2... pn, 1 2 n тогда из (10), (13) и (14) следует, что ожидаемая полезность страховщика равна n Qi (15) E ( ) =, 0 1 + i i =m( ) где (16) m( ) = min {i I | pi }.

0 i Невыгодность понимается в том смысле, что ни один из участников не получает при заключении страхового контракта строго большей полезности, чем при его незаключении.

Мерой взаимовыгодности страхового контракта будет n pi Qi i (17) =.

1 + i i =m( ) Содержательно, при заданной нагрузке к нетто-ставке в страховании будут участвовать те агенты, для которых величина pi превышает эту нагрузку, то есть те агенты, у которых вероятi ность наступления страхового случая и/или степень несклонности к риску велика относительно нагрузки.

Задачу (18) E ( ) max определения нагрузки к нетто-ставке, которая максимизирует ожидаемую полезность страховщика при условии добровольного участия в страховании страхователей, назовем задачей определения нагрузки к нетто-ставке.

Предположим, что страховщик фиксирует единый для всех страхователей страховой тариф. При известных вероятностях наступления страхового случая (равных в силу принципа эквивалентности нетто-ставкам) можно вычислить «нагрузки к неттоставкам»: = – pi. По аналогии с (13), получаем:

0i Qi Qi pi + pi - (19) ri = 0, hi =, Efi = Qi i, i I.

1 + i 1+ i 1 + i Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в следующем смысле:

(20) p1 (1 + ) p2 (1 + )... pn (1 + ), 1 2 n тогда из (19) и (20) следует, что ожидаемая полезность страховщика равна n Qi (21) E ( ) = ( – pi), 0 1 + i i =m( ) где (22) m( ) = min {i I | pi (1 + ) }.

0 i Мерой взаимовыгодности страхового контракта остается величина, определяемая выражением (17), в которой нижний индекс суммирования равен m( ).

Содержательно, при заданном едином страховом тарифе в страховании будут участвовать те агенты, для которых величина ( + 1) pi превышает этот тариф, то есть те агенты, у которых вероi ятность наступления страхового случая и/или степень несклонности к риску велика относительно тарифа.

Задачу (23) E ( ) max определения страхового тарифа, который максимизирует ожидаемую полезность страховщика при условии добровольного участия в страховании страхователей, назовем задачей определения страхового тарифа.

Выбор страховщиком принципа страхования – с единым тарифом или с единой нагрузкой – будем называть стратегией страхования в рассматриваемой модели.

Отметим, что величина, определяемая выражениями (15) или (17), может интерпретироваться как величина «суммарной прибыли», которую делят между собой стороны, участвующие в контракте. Интересно, что абсолютная величина этой суммарной прибыли не зависит от тарифов и нагрузок, а определяется только параметрами страхователя. Поэтому задачи определения страховых тарифов и нагрузок могут рассматриваться как задачи распределения прибыли [12, 43] (см. также раздел 2.3.). Нагрузка [0; p ] или тариф [0; p (1 + )] при этом есть ни что иное, как «доля» этой прибыли, получаемая страховщиком, то есть p p - 0 = Q = Ef( ) + E ( ) = Q + Q, 0 1 + 1+ 1 + p p + p - - p 0 = Q = Ef( ) + E ( ) = Q + Q.

0 1 + 1+ 1 + Как следует из результатов, приведенных в [33] (см. описание области компромисса и интерпретации процесса заключения трудового контракта как торга между центром и агентом1), выигрыши страховщика и страхователя существенно зависят от последова Общие результаты исследования влияния информированности и последовательности ходов на выигрыши игроков получены в теории иерархических игр [27].

тельности их функционирования в процессе заключения страхового контракта. Поясним последнее утверждение. Рассмотрим два «предельных» случая, соответствующих различной последовательности выбора стратегий при заключении страхового контракта между страховщиком и одним страхователем, параметры которого достоверно известны страховщику. В первом случае первый «ход» делает страховщик, назначая = p (или = (1 + ) p). Тем самым он 0 забирает всю прибыль себе, вынуждая страхователя согласиться с нулевой «прибылью». Во втором случае первый ход делает страхователь, сообщая страховщику, что он готов заключить страховой контракт только при условии, что нагрузка к нетто ставке будет равна нулю (страховой тариф равен вероятности наступления страхового случая). При этом уже страхователь забирает всю прибыль себе, вынуждая страховщика согласиться с нулевой «прибылью». Все случаи (в том числе – все промежуточные между рассмотренными) являются Парето-эффективными по критериям выигрыша страховщика и страхователя, поэтому заключение страхового контракта может рассматриваться как процесс торгов или процесс заключения сделок [12, 43, 104].

Обсудив существенность порядка функционирования, вернемся к рассмотрению задач (18) и (23). Алгоритм их решения тривиален: заметим, что страховщику достаточно ограничиться рассмотрением n возможных значений нагрузки (соответственно – тарифа), равных pi (соответственно - pi (1 + )), i I, следовательно, ему i i достаточно сравнить n значений своего ожидаемого дохода и выбрать управляющий параметр, при котором это значение максимально (в силу отмеченной выше дискретности задачи такой параметр всегда существует). Следующий пример иллюстрирует использование описанного алгоритма решения (таблицы 1, 2 и реализованы в Excel) для пяти страхователей.

Пример 3. Параметры страхователей и ожидаемые значения целевой функции центра при различных нагрузках и тарифах перечислены в таблице 1. Предполагается, что все страхователи одинаково относятся к риску и характеризуются одинаковыми вероятностями наступления страхового случая1, но различными величинами Понятно, что при этом в соответствии с выражениями (18) и (22) оптимальным для страховщика является участие в страховании всех * потерь. Максимумы ожидаемой полезности центра - E ( ) и * E ( ) – при решении соответственно задач (18) и (23) совпадают и равны 0.5 (соответствующие ячейки затенены).

i pi i i i Qi 0 0 * 0 * pi pi( +1) E ( ) E ( ) E ( ) E ( ) 1 0,10 0,50 0,05 0,15 1,00 0,50 0,2 0,10 0,50 0,05 0,15 2,00 0,47 0,0,50 0,3 0,10 0,50 0,05 0,15 3,00 0,40 0,4 0,10 0,50 0,05 0,15 4,00 0,30 0,5 0,10 0,50 0,05 0,15 5,00 0,17 0,Таблица 1. Пример решения задач (18) и (23) В таблице 2 рассмотрена ситуация, в которой вероятности наступления страхового случая у различных страхователей различны.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.