WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |

Следствием утверждения 6 является то, что использование страховщиком нагрузки к нетто-ставке (14) или страхового тарифа (v, y) = (1 + ) p(v, y) исключает моральный риск.

Приведем следующий пример, иллюстрирующий мотивационную роль экологического страхования (отметим, что в примере 7 не ' выполнено введенное выше предположение о том, что p'yy 0).

Пример 7. Пусть y [0; y+], p(y) = (y / y+)2. Вычисляем оптимальное действие y* страхователя в отсутствии страхования (то есть действие, максимизирующее (2)): y* = y+ / 2Q. При страховании с фиксированной нагрузкой к нетто-ставке оптимальное действие y* страхователя в отсутствии страхования (то есть действие, максимизирующее (1)): y* = (1 + ) y+ / 2Q.

Итак, при наличии страхования (и полной компенсации потерь!) страхователю выгодно выбирать большие действия, чем при отсутствии страхования: y* y*. • Завершив рассмотрение предупредительной и мотивационной роли страхования, перейдем к описанию результатов исследования специфики страхования в многоэлементных системах.

2.6. Специфика страхования в многоэлементных системах В предыдущих разделах мы рассматривали механизмы страхования либо в одноэлементных системах (то есть в системах, состоящих из одного страховщика и одного страхователя), либо в многоэлементных системах (то есть в системах, состоящих из одного страховщика и нескольких страхователей), в которых страхователи были независимы. Независимость страхователей проявлялась в первую очередь в том, что вероятность наступления страхового случая у каждого страхователя зависела только от его собственных параметров и действий и не зависела от параметров и действий других страхователей.

На практике распространены ситуации, в которых вероятности наступления страховых случаев взаимозависимы. Примерами причин, обуславливающих такую взаимозависимость являются:

наличие технологических связей между страхователями, их территориальная близость и т.д. Для отражения «взаимодействия» между страхователями будем в формальных моделях, рассматриваемых в настоящем разделе, предполагать, что вероятность наступления страхового случая у каждого из n страхователей зависит от действий всех страхователей, то есть: pi = pi(y), где y = (y1, y2,..., yn), i I.

Последовательность функционирования (порядок получения информации и выбора стратегий участниками системы – страховщиком и страхователями) будем предполагать следующим: страховщик предлагает каждому из страхователей заключить страховой контракт, в соответствии с которым страхователь делает взнос, зависящий от его действий (и в общем случае, быть может, от действий других страхователей) и при наступлении страхового случая получает полное возмещение ущерба, затем страхователи одновременно и независимо выбирают свои действия, в результате чего «определяются» вероятности наступления страховых случаев.

Специфика страхования в многоэлементных системах заключается в том, что страхователи, заключившие страховые контракты с одним страховщиком, оказываются вовлеченными в игру, в которой выигрыш каждого из них зависит не только от его собственных действий, но и от действий других страхователей. Следовательно, для прогноза выбираемых страхователями при заданных страховых контрактах действий, страховщик должен «предсказать» их поведение, то есть определить равновесие игры страхователей.

Системы такого рода в теории активных систем получили название систем с сильно связанными элементами. Общие результаты их теоретического исследования изложены в [52]. Основная идея управления в многоэлементных системах заключается в том, чтобы выбрать управляющие воздействия, декомпозирующие игру управляемых субъектов, то есть позволяющие управляющему органу эффективно предсказывать то состояние системы, в котором она окажется при данном управлении. Вторая задача – задача выбора управления, приводящего систему в состояние, наиболее предпочтительное с точки зрения управляющего органа, как правило, решается гораздо проще, чем задача декомпозиции [52]. Перейдем к исследованию моделей страхования в многоэлементных системах.

Ожидаемая полезность i-го страхователя в отсутствии страхования может быть записана в виде1:

(1) Efi(y) = yi – pi(y) Qi, i I.

i В качестве концепции решения игры выберем равновесие Нэша [106]. По определению y* - равновесие Нэша тогда и только тогда, когда:

(2) i I yi Efi(y*) Efi(yi, y*-i ), где y-i = (y1, y2,..., yi-1, yi+1,..., yn) – обстановка игры для i-го страхователя.

Если функция pi( ) выпукла по yi, то равновесие Нэша удовлетворяет следующей системе уравнений:

Для простоты в настоящем разделе мы не будем акцентировать внимание на постоянных издержках, затратах на предупредительные мероприятия и т.д., считая, что единственной стратегией страхователя является выбор действий, а его ожидаемая полезность, помимо ожидаемых потерь и слагаемых, отражающих взаимодействие со страховщиком, определяется ожидаемой прибылью, которая пропорциональна действию i-го страхователя.

(3) p' (y*) = / Qi, i I.

i iyi Пример 8. Пусть pi(y) = y / 2 Y. Обозначим ij j jI = Y / Qi, i I. Тогда из (3) получаем, что равновесие Нэша i i ii определяется как решение системы линейных уравнений (4) y* j =, i I.

i ij jI Предположим, что имеются два страхователя, тогда, выбирая, например, численные значения Q1 = Q2 = 1, Y = 100, = 3 / 320, = 21 / 1600, получаем: y*1 = 1, y*2 = 2, что приводит к следующим вероятностям наступления страховых случаев: p1(y*) = 1 /128, p2(y*) = 49 / 3200. • Пусть нагрузка к нетто-ставке или страховой тариф для каждого страхователя зависит от вектора действий всех страхователей, то есть:

( y ) + pi( y ) 0i (5) ri(y) = Qi, i I, 1 + ( y ) 0i (6) ri(y) = Qi, i I.

1 + Предположим, что мы хотим разработать механизм страхования, который побуждал бы страхователей выбирать тот же вектор действий, что и в отсутствии страхования1 - y* - как равновесие Нэша. Тогда параметры страхового контракта должны, как минимум, удовлетворять следующим условиям:

(7) (y*) pi(y*), i I, 0i i (8) (y*) (1 + ) pi(y*), i I.

0i i Мотивационная роль экологического страхования обсуждалась в разделе 2.5.

Подставляя выражения (5) и (6) в функции ожидаемых полезностей страхователей и дифференцируя по соответствующим действиям' (9) p' (y*) + (y*) = (1 + ) / Qi, i I, i i iyi 0iyi ' (10) (y*) = (1 + ) / Qi, i I.

i i 0iyi Утверждение 7. Использование страховых тарифов или нагрузок, удовлетворяющих следующим условиям:

(11) (y) = pi(y), i I, oi i (12) (y) = (1 + ) pi(y), i I 0i i исключает моральный риск2.

Справедливость утверждения 7 обосновывается следующим образом: подставляя (11)-(12) в (9)-(10) и сравнивая с (3), получаем, что y* = y*.

Следующее утверждение является следствием общих результатов, приведенных в [52].

Утверждение 8. а) При использовании механизма i pi( y*, y-i ), yi = y* i i (13) (y) =, i I, 0i max, yi y* 0 i max где y* = y*, а = max max pi(y), выбор i-ым страхователем i iI y действия y* является его доминантной стратегией;

i б) При использовании механизма i pi( y*, y*i ), yi = y* i - i (14) (y) =, i I, 0i max, yi y* 0 i max где y* = y*, а = max max pi(y), вектор y* является равновеi iI y сием Нэша игры страхователей;

в) При использовании единой для всех страхователей нагрузки к нетто-ставке (y) или единого страхового тарифа (y) множество 0 Для обеспечения точки максимума можно потребовать, чтобы страховой тариф или сумма нагрузки и вероятности наступления страхового случая были у каждого страхователя выпуклы по его действию.

Использование управлений (11)-(12) при y = y* удовлетворяет (7)-(8).

действий страхователей, реализуемых1 страховщиком не шире, чем при использовании индивидуальных нагрузок или тарифов2.

Приведем качественное обсуждение результатов утверждения 8. В соответствии с принципом декомпозиции игры управляемых субъектов [52], центр, используя механизм (13), предлагает каждому страхователю назначать значение соответствующей нагрузки исходя только из его собственных действий, независимо от действий других страхователей. Угроза использования в противном max случае максимальной нагрузки (невыгодной ни одному из страхователей) делает страхование выгодным для каждого из них и, более того, делает выгодным выбор действия y* ((7) при этом i обеспечивает выгодность страхования по сравнению с равновесными по Нэшу ожидаемыми выигрышами в отсутствии страхования).

Используя механизм (14), центр предлагает каждому страхователю назначать значение соответствующей нагрузки исходя из его собственных действий, предполагая, что остальные страхователи также выбрали рекомендованные центром действия, что приводит к более слабому, чем пункт а), результату – соответствующий вектор действий является уже не равновесием в доминантных стратегиях, а равновесием Нэша.

Пункт в) является следствием доказанной в [52] теоремы о том, что унифицированное управление не более эффективно, чем персонифицированное. Этот результат почти очевиден – так как единые параметры страхового контракта являются частным случаем различных комбинаций параметров, то и эффективность страхования (с точки зрения его мотивационной роли) при этом не выше (кроме того, возможно противоречие с условиями (7)).

Напомним, что реализуемыми данной системой стимулирования называются действия, которые являются равновесными при этой системе стимулирования. Множеством действий, реализуемых центром, называется множество действий, реализуемых всевозможными системами стимулирования из рассматриваемого класса [52].

Более того, при единых параметрах страховых контрактов исключение морального риска (см. утверждение 7) возможно не всегда. Чтобы убедиться в этом, достаточно в данных примера 8, выбрав, например, единую нагрузку равной линейной комбинации действий страхователей, получить противоречие с (7).

Отметим, что для использования механизмов (13) и (14) необходимо, чтобы порядок функционирования был таков, что индивидуальные действия страхователей становятся известными страховщику до момента внесения страховых взносов (иначе параметры страхового контракта не могут зависеть от действий страхователей).

В заключение настоящего раздела, следуя общей идеологии исследования механизмов функционирования систем с агрегированием информации [48, 52], рассмотрим модель страхования, в которой страховщик не наблюдает индивидуальные действия страхователей, а имеет лишь информацию об агрегированном результате их деятельности.

Пусть вероятности наступления страховых случаев pi зависят от агрегированного результата деятельности страхователей z = G(y), наблюдаемого страховщиком и являющегося известной страховщику функцией G( ) их индивидуальных действий.

Страховщик, решая систему уравнений dpi( z( y* )) G( y* ) i (15) =, i I, dz yi Qi может найти множество EN(z) равновесных по Нэшу векторов действий страхователей y* и соответствующий агрегированный результат деятельности z*. Следующий пример иллюстрирует, что равновесие Нэша в рассматриваемом классе задач существует не всегда.

Пример 9. Пусть z = yi, pi(z) = z2 / 2 Yi, i I. Тогда в соот iI ветствии с (15) получаем: yi* = Yi / Qi, i I, то есть при разi iI личных (не полностью совпадающих) страхователях найти равновесие Нэша из системы уравнений (15) невозможно. В подобных ситуациях, быть может, имеет смысл рассчитывать на то, что страхователи выберут одно из эффективных по Парето действий. Однако, множество Парето в задачах экологического страхования, как правило, достаточно «велико»1, что не позволяет центру однозначно определить реализуемый вектор действий страхователей. • Одна из возможных содержательных (экологических) интерпретаций такова: существует предельный уровень суммарного воздействия на Утверждение 9. Если для любого результата деятельности страхователей существует единственный, приводящий к данному результату, вектор равновесных по Нэшу действий, то при использовании механизма i pi( y*, y*i ), z = z* i (16) (z) =, i I, 0i max, z z* max где y* = EN(z*) удовлетворяет (7), а = max max pi(y), векi iI y тор y* является равновесием Нэша игры страхователей.

Справедливость результата утверждения 9 следует из того1, что, наблюдая только агрегированный результат деятельности, центр может (при условии, что данный результат является однозначным следствием выбора страхователями соответствующего равновесия Нэша) побудить страхователей стремиться достичь именно результата деятельности z*, обещая при его достижении назначить параметры страховых контрактов, оптимальные при действиях y* = EN(z*).

В заключение настоящего раздела приведем пример, иллюстрирующий возможности использования предложенного подхода к выбору параметров страхового контракта в условиях ненаблюдаемых действий страхователей.

Пример 10. Пусть z = yi )2, pi(z) = z2 / 4Yi, i I. Тогда в ( iI соответствии с (15) получаем: yi* z* = Yi / Qi, i I. Возводя в i квадрат и суммируя по всем страхователям, вычисляем:

1/ Yi z* = ( i iI Qi )2. Тогда имеет место:

окружающую среду со стороны нескольких страхователей. Если каждый из них заинтересован, например, в максимизации собственного объема производства, а воздействие на окружающую среду растет с ростом объема производства, то множество Парето составят все такие вектора объемов выпуска, что суммарное воздействие равно пороговому.

Качественно, результат утверждения 9, основывается на принципе выявления [49, 106].

1/ Yi yi* = ( Yi / Qi) / i ( i iI Qi )2, i I, то есть равновесие Нэша существует и единственно. Следовательно, результат утверждения 9 применим для рассматриваемой модели. • Заключение Таким образом, в настоящей работе рассмотрены теоретикоигровые и оптимизационные модели механизмов страхования.

Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы (см. утверждения 1-5):

Если страхователи одинаково относятся к риску, то эффективность страхования при использовании единого страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагрузки к нетто-ставке.

Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми, причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата.

Ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая.

Потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа.

В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа.

Механизм скидок обладает следующими свойствами:

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.