WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 14 |

Подробное описание аксиоматики и результатов исследования функций полезности, локальных (дифференциальных) и глобальных мер склонности к риску, рисковых премий и других характеристик функций полезности, приведено в работах [44, 71, 108].

а в случае некоммерческого страхования достаточно выполнения следующего условия:

~ ~ (9) x1 x1 Ex x2 x2.

u(x) ~ U (x) U(x) x ~ ~ Ex 0 x1 x2 xx1 x’’ x’(p) Рис. 7. Полезность и ожидаемая полезность страхователя Рассмотрим для начала простейший случай - некоммерческое страхование. Для некоммерческого страхования (при H = 0) E~ = Ex. Остальные условия системы неравенств (9) также выполx нены, причем для любого механизма (для исключения морального риска, когда наступление страхового случая становится выгодным ~ ~ для страхователя, и обеспечения x1 x2, логично потребовать выполнения условия h x).

Выгодность для страхователя некоммерческого страхования можно обосновать и не прибегая к системе неравенств (8)-(9).

Покажем, что имеет место (7). Действительно, независимо от величины страхового возмещения, в силу вогнутости функции u( ) справедлива следующая оценка:

[u(x1 + ph)- u(x1)](1 - p)+ [u(x2 + h(1- p))- u(x2)]p p(1 - p)h[u (x1 + ph)- u (x2 - h(1 - p))] 0.

Таким образом, мы пришли к следующему выводу: в рамках рассматриваемой модели некоммерческое страхование всегда выгодно для нейтрального или склонного к риску страхователя. Это утверждение вполне соответствует интуитивному пониманию страхования как перераспределения риска: при использовании взаимовыгодного механизма некоммерческого страхования страхователь перекладывает на страховщика часть риска, что выгодно им обоим, так как страхователь не склонен к риску, а страховщик нейтрален к риску.

Определим наиболее выгодное для страхователя значение ве~ личины страхового возмещения. Из анализа зависимости U(h) следует, что, несмотря на то, что r = h (1 - p) и страховой взнос растет с ростом страхового возмещения, оптимальное значение h совпадает с максимально возможным - x. При этом ~ ~ x1 = x2 = E~ = Ex и страхователь, фактически, исключает неопреx деленность и получает ожидаемую полезность, равную u(Ex). Очевидно, что u(Ex) E u(x), то есть страхование действительно выгодно для страхователя, а страховщик безразличен между участием и неучастием в страховом контракте.

Интересно отметить следующие свойства рассмотренного механизма некоммерческого страхования: параметры механизма (ограничения и оптимальные значения) не зависят от функции полезности страхователя; параметры механизма (ограничения и оптимальные значения) зависят только от x и не зависят от величин дохода по отдельности; страховое возмещение не превосходит возможных потерь x от наступления страхового случая; при предельном переходе к детерминированной модели имеем: если x = 0, то h = r = 0, если p = 0, то h = r = x, если p = 1, то h = x, r = 0 (но страховое возмещение выплачивается с нулевой вероятностью); при фиксированном страховом возмещении величина страхового взноса растет с ростом вероятности наступления страхового случая; при фиксированной вероятности страхового случая величина страхового взноса растет с ростом страхового возмещения; если страхователь нейтрален к риску, то страхование (перераспределение риска с нейтральным к риску центром) не имеет смысла: его ожидаемая полезность одинакова при любых значениях страхового возмещения.

Рассмотрим теперь механизм коммерческого страхования.

Система неравенств (8) позволяет найти ограничения на величину страхового возмещения в зависимости от ожидаемого дохода страховщика для случая коммерческого страхования. Последовательно ~ ~ ~ учитывая следующие условия: x1 x1, x1 Ex, Ex x2, получаем:

(10) H p h, (11) H p [h - x], (12) H (1 - p) [ x - h].

Из (11) и (12) следует, что выполнено (13) h x, что исключает моральный риск, причем всегда имеет место:

~ x2 < x2. Более того, к ограничениям (10)-(13) добавляется следую~ щее условие: x1 x' (p) x1 (см. также (8)). В приведенном на рисунке 2 частном случае последнее условие нарушено.

Если функция полезности страхователя линейна, то ~ x' ( p ) = Ex и (8) может иметь место только при x' (p) = x1 = Ex, что в силу (13) приводит к H 0, то есть в случае нейтрального к риску страхователя коммерческое страхование невозможно (нельзя получить прибыль от перераспределения риска).

В [18] показано, что назначение граничных значений параметров механизма оптимально для страховщика (в смысле максимальной эффективности, понимаемой как значение его ожидаемой полезности). Обоснование этого утверждения следующее.

~ ~ Из определений x1 и x2 получаем:

~ Ф = p(x2 - x2)- (1- p)(~1 - x1).

x ~ Видно, что эффективность механизма монотонна по x1 и ~ x2, причем, чем меньше значения этих параметров, тем выше эффективность. С другой стороны, минимально возможные их значения определяются именно (8). Таким образом, достаточно выбрать параметры механизма, удовлетворяющие следующим соотношениям:

~ ~ (14) x1 = x' (p), x2 = Ex.

Вспомним, что условия (8) являются достаточными. Механизм, удовлетворяющий (14) является допустимым, но не гарантирует достижения максимально возможной ожидаемой полезности страховщика на множестве всех допустимых (выгодных для страхователя) механизмов. Содержательно, (14) соответствует тому, что страхователю предлагается вместо исходной лотереи принять участие в новой лотерее, в которой его полезность от минимально возможного дохода не меньше, чем полезность от ожидаемого дохода в исходной лотерее. Понятно, что для страхователя это выгодно. Страховщик при этом получит неотрицательную ожидаемую полезность (строго большую нуля, если p 0, p 1, x 0). Но эта оценка в общем случае улучшаема. То есть использование условий типа (14) упрощает анализ и позволяет найти параметры механизма без трудоемких вычислений, но за простоту приходится «платить» возможной потерей эффективности.

Рассмотрим в качестве иллюстрации частный случай (см. более общую модель во второй главе), в котором доход страхователя при наступлении страхового случая равен нулю, а страховое возмещение при этом равно x2, то есть x1 = 0, h = x2. Обозначим страховую ставку. Страховая ставка складывается из нетто ставки и нагрузки, то есть = (1+ ). Из принципа эквивалентности следует, что = 1 – p. Записывая условия выгодности страхового контракта для страхователя можно получить следующую оценку максимального значения нагрузки (очевидно, что страховщик max заинтересован в максимизации нагрузки):

px2 - u-1( pu( x2 )) (15) =.

max (1 - p )xЛегко видеть, что возрастает по p и x2 и вогнута по x2. Соmax держательные интерпретации такой монотонности очевидны. Если страхователь нейтрален к риску, то = 0, то есть страховщик не max может получить прибыль от заключения страхового контракта со страхователем, который также как и он сам относится к риску. Если функция полезности страхователя строго вогнута, то значение max строго положительно. Например, при u(x) = x из (15) следует, что = p.

max Из проведенного анализа механизма страхования видно, что выгодность перераспределения риска обусловлена различным к нему отношением страхователя и страховщика. Несклонность к риску страхователя достаточно понятна. Поэтому рассмотрим почему страховщик может быть нейтрален к риску и каковы качественные отличия механизмов страхования в многоэлементных системах от описанной выше одноэлементной модели.

Пусть активная система (АС) состоит из n страхователей (индекс i = 1, n соответствует номеру страхователя). Суммарный n страховой взнос элементов равен, ожидаемое страховое возr i i=n мещение - - pi ) hi. Задача синтеза оптимального страхового (i=контракта заключается в поиске допустимого набора {ri, hi}, максимизирующего ожидаемую полезность центра:

n ~ Ф = [pi(x2i - x2i )- (1- pi)(~ - x1i )], x1i i=~ где hi = xi - ~i, ri = x2i - x2i.

x Известно, что страхование выгодно при большом числе страхователей. Это объясняется, во-первых, тем, что с ростом числа страхователей вероятность разорения страховщика уменьшается (при этом, помимо ожидаемой полезности, необходимо анализировать и вторые моменты, то есть целевые функции и ограничения механизма могут отличаться от рассмотренных выше). Во-вторых, даже если страховщик не склонен к риску, страхование может оказаться выгодным для него. Поясним последнее утверждение.

Пусть имеются n одинаковых страхователей, а страховщик имеет ту же функцию полезности (предположим, что функции полезности строго вогнуты), что и страхователи. Если n = 1, то страхование никому не выгодно - перераспределять риск между агентами, одинаково к нему относящимися, бессмысленно. Из рассмотренных выше моделей следует, что страхование выгодно когда премии за риск страхователя и страховщика различаются. С ростом n при строго вогнутой функции полезности страховщика его премия за риск уменьшается, в то время, как у каждого из страхователей остается постоянной (система событий - возможных исходов при этом будет, естественно, более сложной, чем в одноэлементном случае). Иными словами, перераспределение риска между двумя агентами взаимовыгодно, если один из них имеет «менее вогнутую» функцию полезности, чем другой.

Модели взаимного страхования, исследуемые в теории активных систем, описаны в [18]. Рассмотрим кратко основные подходы и результаты. Пусть имеются n страхователей. Результатом деятельности каждого страхователя является случайная величина, принимающая одно из двух значений, соответствующих благоприятной ситуации и неблагоприятной ситуации (страховому случаю).

Вероятность наступления страхового случая у i-го страхователя равна pi и известна «страховщику», которым может являться объединение страхователей (в последнем случае получаем, что все вероятности известны всем страхователям, участвующим во взаимном страховании). Отметим, что рассматриваемая модель непосредственно обобщается на случай любого конечного числа возможных результатов деятельности страхователей. Для простоты пока положим, что страховой случай может наступить у одного и только одного страхователя.

Пусть при наступлении страхового случая у i-го страхователя требуется страховое возмещение в объеме hi, отражающее, например, стоимость восстановительных работ и компенсационных выплат третьим лицам в результате ущерба, нанесенного аварией на предприятии, представленном данным страхователем.

Предположим, что величина hi известна только i-му страхователю и неизвестна остальным. Тогда при разработке механизма страхования придется использовать либо некоторые оценки величин {hi}, восстанавливаемые по косвенной информации (например, в результате проведения экологической экспертизы, или по имеющимся статистическим данным), либо оценки {si}, сообщаемые страхователями. Если требуется обеспечить полное гарантированное покрытие возможного ущерба, то для этого необходимо иметь резерв R’ = max {hi}. Но так как {hi} неизвестны, то будем счиi тать, что резерв (страховой фонд) определяется как R’ = max {si}.

i Рассмотрим целевые функции страхователей. Страхователь с номером i получает доход Hi, выплачивает страховой взнос ri(s), где s = (s1,..., sn) – вектор сообщений страхователей. В благоприятной ситуации страхователь несет затраты Ci, в неблагоприятной (Ci + hi). В неблагоприятной ситуации страхователь получает страховое возмещение si. Таким образом ожидаемое значение целевой функции i-го страхователя определяется выражением:

(16) fi = Hi – ri(s) – Ci + pi (si – hi), i I = {1, 2,..., n}.

Пусть страховщик использует следующую процедуру для определения страхового взноса:

( pisi ) (17) ri( s ) = R, i I, n ( s p ) j j j =то есть каждый страхователь делает в страховой фонд взнос, проn порциональный своей заявке (очевидно, s ( s ) = R, i I r i i=ri(s) - возрастает по si). Легко видеть, что максимум выражения (pi si - ri(s)) по si при фиксированной обстановке s-i = (s1, s2,..., si-1, ~ si+1,..., sn) достигается при si = max{ s }. Очевидно, сообщение j ji достоверной информации в общем случае не будет равновесием Нэша. Более того, равновесной оказывается каждая ситуация игры, в которой все исполнители сообщают одинаковые заявки.

Легко видеть, что вместо (17) достаточно взять ri(s) = pi si. Тогда целевая функция страхователя не будет зависеть от s и в силу гипотезы благожелательности он сообщит si = ri, i I. Итак, каждый страхователь вносит в страховой фонд (фонд взаимного страхования) взнос в точности равный ожидаемой нехватке средств. Но при этом сумма взносов может оказаться меньше требуемых выплат, то есть не исключена ситуация, в которой найдется страховаn телем с номером j, таким, что h > pihi. Такую возможность j i=надо учитывать, и использовать ожидаемые значения следует очень аккуратно.

Перейдем теперь к рассмотрению свойств механизмов страхования, обусловленных активностью их участников. Один аспект активности мы уже учли: страховщик и страхователь не станут заключать страховой контракт, если он не выгоден хотя бы одному из них.

В [18] перечислены перспективные направления исследований механизмов управления, которые в подобных ситуациях может использовать страховщик.

Если центру известна нижняя оценка вероятности наступления страхового случая, то оптимальный страховой контракт может рассчитываться на основании этой оценки, что будет соответствовать использованию страховщиком принципа максимального гарантированного результата. В частности, в упомянутой работе отмечалось, что возможно использование так называемых компенсационных процедур. Так как страхователю выгодно занижать оценку вероятности наступления страхового случая, то «встраивая» в механизм процедуру, снижающую доход страхователя от занижения оценки (то есть, компенсируя эффект от занижения) центр может добиться сообщения страхователем, если не достоверной информации, то, по крайней мере, более точной информации. В случае, когда число страхователей велико и все они работают в одинаковых условиях, можно устроить многоканальный конкурс страхователей [13], результаты которого будут определяться сообщенными страхователями оценками вероятностей наступления страхового случая - сообщивший более «точную» (максимальную, минимальную и т.д.) оценку получает льготные условия страхования. Если условия деятельности различных страхователей отличаются, но все они имеют информацию друг о друге, то за счет сообщения этой информации при использовании механизмов теории реализуемости [16, 49, 51] существующая неопределенность может быть уменьшена, а эффективность страхования - повышена.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.