WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 14 |

yA Отметим, что задача (19)-(20) и содержательно, и формально близка к классической задаче теории контрактов1 и отличается наличием дополнительного управляющего параметра – страховой ставки. Поэтому для ее решения в случае конечных множеств возможных действий страхователя и возможных результатов его деятельности возможно использовать обобщение двушагового метода2 [15, 93], заключающееся в следующем [35].

На первом шаге для фиксированного действия страхователя и для фиксированной ставки ищется минимальная (в смысле, определенном выше) система стимулирования, реализующая это действие.

На втором шаге ищется оптимальное значение ставки (действие С точки зрения специфики страхования, в задаче (19)-(20) учитывается активность страхователя, то есть его возможность влияния на результаты своей деятельности и, в том числе, на наступление страхового случая. Следовательно, предлагая страховой контракт в виде * * (, ( ), y*), центр не только перераспределяет риск, но и управляет деятельностью страхователя, побуждая его, например, принимать меры, направленные на снижение вероятности и неблагоприятных последствий страхового случая, что соответствует учету такого свойства страхования как моральный риск (moral hazard), заключающийся в возможном изменении поведения страхователя после заключения страхового контракта (см. качественное обсуждение и формальные модели в [38, 40, 43, 72]). Если действия страхователя наблюдаются страховщиком, то (19)-(20) превращается в детерминированную задачу стимулирования (решение которой хорошо известно и подробно описано в [10, 17]) с параметром, определение оптимального значения (или, в более общем случае - зависимости от действий страхователя) которого является стандартной задачей оптимизации [49, 51].

Если и страховщик, и страхователь нейтральны к риску, то решение задачи (19)-(20) неоднозначно (см. также пример 1 выше), что качественно объясняется бессмысленностью перераспределения риска между субъектами, одинаково к нему относящимися.

страхователя по прежнему фиксировано). И, наконец, на третьем шаге ищется оптимальное реализуемое действие страхователя.

Недостатком данного метода является, во-первых, возможность его использования только для дискретных задач, во-вторых высокая вычислительная сложность (если возможны k действий и l значений ставок, то необходимо решать k l задач выпуклого программирования), в-третьих, отсутствие возможности анализа зависимости оптимального страхового контракта от параметров модели (см. также обсуждение преимуществ и недостатков методов решения задач теории контрактов в [15, 50, 51]).

В [35] доказана единственность решения, получаемого в результате применения описанного выше подхода, а также рассмотрены возможности обобщения предложенной модели на случай взаимодействия одного страховщика с несколькими независимыми страхователями. В частности, для случая однородных (описываемых одинаковыми параметрами) страхователей доказаны следующие соответствующие практическому опыту свойства модели: с ростом числа страхователей происходит снижение страховых ставок (обеспечивающих фиксированную стабильность страхового портфеля), а с ростом вероятности наступления страховых случаев происходит увеличение страховых ставок.

1.5. Модели страхования в теории активных систем Рассмотрим некоторые свойства механизмов страхования, возникающие как следствие активного поведения страхователей (активных элементов (АЭ)) и/или страховщика (центра) и изучаемые в теории активных систем [18, 20, 47].

Основная цель страхования заключается в перераспределении рисков - если у нескольких экономических объектов/субъектов существует небольшой риск возникновения страхового случая, при котором они несут существенные издержки, то им может оказаться выгодным «объединить усилия» - создать фонд, используемый для возмещения (как правило, частичного) потерь. В роли аккумулятора могут выступать сами экономические объекты (взаимное страхование, имеющее наименьшую коммерческую направленность – см. простейшие механизмы в [18] и главу 2 настоящей работы), государство (государственное страхование) или частные страховые компании (коммерческое страхование).

Страховой случай является недетерминированной величиной, и даже при известном распределении вероятностей, несмотря на использование в моделях страхования ожидаемых значений, вероятность разорения страховщика при работе с малым числом однородных страхователей выше, чем при страховании многих. Это очевидное свойство - увеличение стабильности страхового портфеля с ростом числа страхователей у одного и того же страховщика, лежит, фактически, в основе всего страхового дела.

В работах [18, 20] был получен вывод, совпадающий с выводом, сделанным при анализе моделей теории контрактов (см. выше), и заключающийся в том, что при нейтральных к риску страховщике и страхователе страхование, как таковое, теряет смысл страхователь отдает в страховой фонд столько, сколько из него и получает (при этом может нарушиться требование обязательной полной компенсации ущерба и необходимо использовать другие механизмы определения страхового взноса). Приведем иллюстрирующий это утверждение пример.

Пример 2. Рассмотрим набор I = {1, 2,..., n} страхователей у которых страховые случаи независимы и происходят с вероятностями {pi}. Соответственно может произойти один страховой случай, два и т.д. до n.

Обозначим Hi - доход i-го страхователя в благоприятной ситуации, доход равен нулю при страховом случае, ri - страховой взнос, hi - страховое возмещение, pi - вероятность наступления страхового случая, ci - затраты.

Тогда ожидаемое значение целевой функции i-го страхователя имеет вид:

(1) fi = (1 - pi )Hi + pihi - ci - ri, i I.

n Страховщик получает в свой фонд сумму = R и выплаr ~ i i =n чивает в среднем R = pihi. Определим, каким требованиям i=должен удовлетворять механизм страхования.

1. Система страхования не должна побуждать страхователя «способствовать» наступлению страхового случая (например, страховое возмещение в случае пожара не должно превышать стоимости сгоревшего объекта и т.д.). Это значит, что в благоприятном случае целевая функция страхователя должна принимать большее значение, чем в страховом, то есть hi Hi, i I.

Введенное ограничение отражает свойство морального риска (moral hazard), учет которого необходим при исследовании механизмов страхования. Действительно, людям свойственно изменять свое поведение, избавившись от риска (точнее - переложив его на плечи других людей или организаций). Так, например, человек, застраховавший свою машину от угона, станет менее внимателен к ее безопасности; человек, застраховавший свою дачу от пожара, вряд ли будет покупать новые огнетушители и т.д.

Второе свойство, характерное для механизмов страхования проблема некорректного отбора (adverse selection): потенциальные страхователи могут обладать информацией, недоступной для страховщика. Так, например, страхование от несчастного случая гораздо более привлекательно для человека рассеянного и забывчивого, чем для аккуратного и внимательного (см. также описание механизмов страхования во второй главе настоящей работы).

2. Страхование должно иметь смысл для страхователя, то есть (более слабое условие суммарного баланса приведено ниже):

ri pi hi, i I.

3. Потребуем, чтобы значения целевых функций страхователей в любой ситуации были неотрицательны:

Hi – сi – ri 0, hi – сi – ri 0, i I.

4. Страхование должно иметь смысл для страховщика, то есть:

n n (2) - pi 0.

r h i i i=1 i=Последнее условие означает, что ожидаемые страховые выплаты не должны превосходить суммы страховых взносов. Это, однако, не гарантирует защищенности страховщика от разорения (см.

модели и показатели финансовой устойчивости страховых компаний выше и в [34]). К четвертому ограничению можно добавить условие того, что вероятность выплат, превосходящих страховой фонд не должна превышать некоторой, наперед заданной, достаточно малой величины. Отметим также, что нулевое значение в правой части неравенства соответствует взаимному страхованию (нагрузки к нетто-ставкам минимальны - равны нулю). В случае коммерческого страхования страховщик должен обеспечить средства для собственной деятельности, то есть получить ненулевой ожидаемый доход.

Если страховщик, как это часто делается на практике, устанавливает единые для всех страхователей условия страхования, то можно ввести норматив 0 отчислений в страховой фонд:

ri hi и норматив 0 страхового возмещения hi = Hi, i I.

Тогда ограничения пунктов 1 - 4 примут вид:

ci -1 Hi ci (3) 1 - max.

i Hi min{pi} i n n Hi pihi i =1 i =В [18] показано, что для рассматриваемого класса механизмов область допустимых механизмов страхования, описываемая системой неравенств (3), может оказаться пуста. Кроме того, если взять, например, двух страхователей с одинаковыми доходами, но с существенно разными рисками, то и взносы и возмещение будут одинаковы, что вряд ли справедливо по отношению к страхователю с меньшим уровнем риска. Значит следует рассмотреть механизм, в котором страховой взнос зависит и от риска. • Рассмотренные выше модели объединяет одно свойство: в целевых функциях страхователя и страховщика используются ожидаемые значения, и неявно предполагая, что все участники активной системы (АС) (страховщик и страхователи) при выборе стратегии своего поведения ориентируются именно на усредненные значения. Откажемся от этого предположения и рассмотрим случай, когда страхователи несклонны к риску.

Опишем модель с одним страхователем и одним страховщиком [18]. Пусть страхователь не склонен к риску и имеет строго монотонно возрастающую непрерывно дифференцируемую вогнутую функцию полезности u( ), а страховщик нейтрален к риску и имеет линейную функцию полезности.

Предположим, что возможны два значения дохода x R1 страхователя: 0 < x1 < x2, реализующиеся, соответственно, с вероятностями (1 - p) и p (p [0; 1]), т.е. вероятность наступления страхового случая (который заключается в получении страхователем меньшего дохода) равна (1 - p). Ожидаемая полезность центра имеет вид:

(4) Ф = r - h(1- p), где r 0 - страховой взнос, h 0 - страховое возмещение. В случае заключения страхового контракта страхователь либо получает ~ доход: x1 = x1 - r + h - при наступлении страхового случая, либо ~ доход: x2 = x2 - r - если страхового случая не происходит.

Ожидаемая полезность страхователя без заключения страхового контракта равна: U = u(x1)(1 - p)+ u(x2) p, а при заключении ~ страхового контракта: U = u(~1)(1 - p)+ u(~2) p.

x x Будем считать, что центр заключает страховой контракт только в том случае, если этот контракт обеспечивает ему некоторую неотрицательную ожидаемую полезность H, то есть Ф = H > (условие участия).

Под некоммерческим страхованием будем понимать страхование, при котором ожидаемая полезность страховщика в точности равна нулю, то есть H = 0. Под коммерческим страхованием будем понимать страхование, обеспечивающее страховщику строго положительное значение ожидаемой полезности.

Страховой контракт в рассматриваемой модели описывается кортежем {h, r, H ; x, x, p, u( )}, причем параметры x, x, p, u( ) являются параметрами собственно страхователя, а h, r и H (или, что ~ ~ тоже самое x1 и x2 ) - параметры механизма страхования, выбираемые страховщиком.

Под допустимым страховым контрактом понимают такой набор неотрицательных чисел {h, r, H}, что выполняется Ф H и страхование выгодно для страхователя, то есть допустимым является страховой контракт, выгодный и для страховщика, и для страхователя. Последнее условие означает, что в случае заключения страхового контракта, предлагаемого страховщиком, ожидаемая полезность страхователя будет не меньше, чем без участия в данном контракте (или в более общем случае, чем при участии в другом контракте).

Найдем ограничения на параметры страхового контракта, то есть область возможных значений (h, H), при которых страхование выгодно для страхователя. Подставляя условие Ф = H в целевую функцию центра, выразим величину страхового взноса через страховое возмещение и ожидаемый доход страховщика. Получим ~ (5) x1 = x1 + ph - H, ~ (6) x2 = x2 - (1 - p) h - H.

Вычислим ожидаемые значения дохода страхователя:

Ex = (1 - p)x1 + px2 - без заключения страхового контракта;

E~ = (1- p)~1 + p~2 - при заключении страхового контракта.

x x x Легко видеть, что E~ = Ex - H. Введем в рассмотрение слеx дующие функции и величины (при x = x1 - x2 = 0, как и при h = x задача вырождается):

[u(x2)- u(x1)]x + u(x1)x2 - u(x2)xU(x) =, x [x1,x2];

x2 - x[u(~2)- u(~1)]x + u(~1)~2 - u(~2)~1, x [~1,~2];

x x x x x x ~ U(x) = x x ~ ~ x2 - xx' ( p ) = max{x R1 u(x) U(Ex)}= u-1(U), где u-1( ) - функция, обратная к функции полезности страхователя. Так как Ex [x1; x2], то в силу вогнутости функции полезности p [0; 1] x’(p) [x1; Ex]. Содержательно, при x = Ex (соответственно, при ~ x = E~ ) U(x) (U (x)) - ожидаемая полезность страхователя от учаx ~ ~ стия в лотерее между альтернативами x1 и x2 ( x1 и x2 ) с вероятностями (1 - p) и р, соответственно.

Величина u = u(x) - U(x) 0 может интерпретироваться как премия за риск1, измеренная в единицах полезности и характеризующая минимальную величину дополнительных гарантированных выплат страхователю, при которой он будет безразличен (с точки зрения ожидаемой полезности) между участием в лотерее и безусловным получением дохода, равного Ex. Положительность u обусловлена неприятием риска страхователем. Для нейтрального к риску страхователя премия за риск тождественно равна нулю. Если же страхователь склонен к риску, то есть имеет выпуклую функцию полезности, то, повторяя приведенные выше рассуждения, можно сделать вывод, что премия за риск будет неположительна, то есть такой страхователь готов заплатить за возможность участия в лотерее (в общем случае дифференциальной мерой склонности к риску может считаться, например, логарифмическая производная функции полезности). Поэтому x’(p) - действие, эквивалентное (с точки зрения ожидаемой полезности) для страхователя участию в лотерее (см. рисунок 7).

Условие выгодности для страхователя заключения страхового контракта имеет вид:

~ (7) U(E~) U(Ex).

x Условие (7), совместно с Ф H, является критерием допустимости страхового контракта. Однако, его использование при решении задачи синтеза оптимального страхового контракта достаточно затруднительно - ограничения, накладываемые на параметры механизма могут оказаться чрезвычайно громоздкими. Поэтому приведем простые конструктивные и содержательно интерпретируемые достаточные условия.

Из свойств вогнутых функций следует, что достаточным для выполнения (7) в случае коммерческого страхования является следующая система неравенств:

~ ~ (8) x1 x' (p) x1 Ex x2 ;

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.