WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 14 |

Стратегией центра является выбор функции ( ) от результата деятельности агента, которая в зависимости от содержательных трактовок модели может интерпретироваться как функция стимулирования (трудовые контракты [84-89, 92, 95-98, 105, 110]), величина страхового возмещения (страховые контракты [99-103, 109]), величина задолженности или выплат (долговые контракты и т.д.

[91, 111]) и т.д. Стратегией агента является выбор действия при известной стратегии центра. Под контрактом понимается совокупность стратегий центра и агента (различают как явные, то есть зафиксированными с юридической точки зрения (большинство страховых и долговых контрактов являются явными), так и неявные, то есть не заключаемые формально или подразумеваемые (в ряде случаев трудовые контракты являются неявными), контракты [80, 88, 94].

Оптимальным является контракт, который наиболее выгоден для центра (максимизирует его целевую функцию), при условии, что агенту взаимодействие с центром также выгодно. Последнее означает, что с точки зрения агента одновременно должны выполняться следующие два условия.

Первое условие, называемое условием участия (или условием индивидуальной рациональности, или ограничением пособия по безработице – (individual rationality – IR, reservation wage constraint RWC)), заключается в том, что, выполняя условия контракта, агент гарантированно получает некоторый минимальный уровень полезности, например, не меньший, чем он мог бы получить не заключая контракта (часто в качестве такого уровня полезности выступает полезность, соответствующая получению пособия по безработице).

Вторым условием является условие согласованности (incentive compatibility (IC)), отражающее тот факт, что выбор именно того действия (или достижение именно того результата деятельности), которое оговорено в контракте, является наиболее выгодным для агента (по сравнению с выбором любого другого допустимого действия).

Исторически первые работы по теории контрактов (см. ABGмодель [82, 83, 92]) появились в начале 70-х годов как попытка объяснения в результате анализа теоретико-игровых моделей наблюдаемого противоречия между результатами макроэкономических теорий и фактических данных по безработице и инфляции в развитых странах.

Одно из «противоречий» заключалось в следующем. Существуют три «типа» заработной платы: рыночная заработная плата (резервная полезность, на которую может рассчитывать данный работник [33, 88]), эффективная заработная плата (та заработная плата, которая максимизирует эффективность деятельности работника с точки зрения предприятия; в большинстве случаев эффективная заработная плата определяется из условия равенства предельного продукта, производимого работником, и предельных затрат этого работника) и фактическая заработная плата (та зарплата, которую получает работник). Понятно, что эффективная заработная плата должна быть не меньше рыночной, иначе производство убыточно и предприятие не сможет привлечь работников. С другой стороны, фактическая заработная плата должна лежать между рыночной и эффективной, причем с точки зрения центра фактическая зарплата должна быть равна эффективной (что обеспечивает максимальную прибыль производства). Статистические данные свидетельствовали, что фактическая зарплата не равна эффективной заработной плате (этот и подобные выводы делались исходя из анализа данных по уровню безработицы и уровню инфляции).

В первых моделях по теории контрактов рассматривались задачи определения оптимального числа нанимаемых работников при учете только ограничения участия и фиксированных стратегиях центра, затем появились работы, посвященные методам решения задач управления (задач синтеза оптимальных контрактов), сформулированных с учетом и ограничения участия, и условия согласованности, затем акцент сместился на изучение более сложных моделей, описывающих многоэлементные и динамические модели, возможность перезаключения контрактов и т.д. (см. обзоры в [15, 46, 90, 104, 106, 107]).

С точки зрения эффектов страхования (перераспределения риска) интересен следующий сделанный в теории контрактов вывод: различие между эффективной и фактической зарплатой качественно может быть объяснено тем, что нейтральный к риску центр страхует несклонных к риску работников (см. обсуждение отношения к риску выше) от изменений величины заработной платы в зависимости от состояния природы: стабильность заработной платы обеспечивается за счет того, что в благоприятных1 ситуациях величина вознаграждения меньше эффективной заработной платы, зато в неблагоприятных ситуациях она выше той, которая могла бы быть без учета перераспределения риска2. Приведем пример, иллюстрирующий это утверждение.

p 1 - p Пример 1. Пусть A = {y1, y2}, A0 = {z1, z2}, P =, 1 - p p < p 1. Содержательно, результат деятельности агента в большинстве случаев (так как p > ) «совпадает» с соответствующим На деятельность предприятий и, следовательно, на величину заработной платы, оказывают влияние как внешние макропараметры (сезонные колебания, периоды экономического спада и подъема, мировые цены и т.д.), так и внешние микропараметры (состояние здоровья работника и т.д.).

Быть может, именно важностью этого вывода обусловлено то, что в работах по теории контрактов рассматриваются практически только модели с внешней вероятностной неопределенностью (в детерминированном случае, или в случае неопределенности при нейтральном к риску агенте, эффекты страхования, естественно, пропадают и фактическая заработная плата равна эффективной).

действием. Возможные «несовпадения» могут рассматриваться как страховые случаи.

Обозначим затраты агента по выбору первого и второго действия c1 и c2 соответственно, c2 c1; ожидаемый доход центра (стимулирование) от выбора первого и второго действия – H1 и H2 ( и ) соответственно; целевую функцию центра, представляющую собой разность между доходом и стимулированием – ; целевую функцию агента, представляющую собой разность между стимулированием и затратами – f.

Задача центра заключается в назначении системы стимулирования, которая максимизировала бы ожидаемое значение его целевой функции E при условии, что выбираемое агентом действие максимизирует ожидаемое значение Ef его собственной целевой функции.

Предположим, что агент нейтрален к риску (его функция полезности линейна) и рассмотрим какую систему стимулирования центр должен использовать, чтобы побудить агента выбрать действие y1. В предположении равенства нулю резервной полезности задача поиска минимальной системы стимулирования, реализующей1 действие y1, имеет вид:

(1) p + (1 – p) min 1 (2) p + (1 – p) – c1 p + (1 – p) – c2 (IC) 1 2 2 (3) p + (1 – p) – c1 0. (IR) 1 Множество значений стимулирования, удовлетворяющих условиям (2) и (3), заштриховано на рисунке 3, его подмножество, на котором достигается минимум выражения (1), выделено жирной линией (линия уровня функции (1), отмеченная на рисунке 3 пунктирной линией, имеет тот же наклон, что и отрезок А1B12). Для определенности в качестве решения выберем из отрезка A1C1 точку С1 (см. рисунок 3), характеризуемую следующими значениями:

Система стимулирования реализует некоторое действие агента, если выбор этого действия максимизирует его целевую функцию (в задачах теории контрактов – ожидаемую полезность) [49-53].

Отметим, что наличие множества решений при нейтральных к риску центре и агенте является характерной чертой задач теории контрактов. В то же время, введение строго вогнутой функции полезности агента (отражающей его несклонность к риску) приводит к единственности решения – см. ниже и [88, 94, 107].

(4) = [p c1 – (1 – p) c2] / (2p – 1), (5) = [p c2 – (1 – p) c1] / (2p – 1).

` Aс1 /(1-p) C(c2 - с1)/(2p-1) Bс1 /p Рис. 3. Реализация центром действия y1 в примере при нейтральном к риску страхователе Легко проверить, что ожидаемые затраты центра на стимулирование1 E (y1) по реализации действия y1 равны c1, то есть (6) E (y1) = с1.

Предположим теперь, что центр хочет реализовать действие y2.

Решая задачу, аналогичную (1)-(3), получаем (см. точку С2 на рисунке 4):

(7) = [p c1 – (1 – p) c2] / (2p – 1), (8) = [p c2 – (1 – p) c1] / (2p – 1), (9) E (y2) = с2.

На втором шаге центр выбирает какое из допустимых действий ему выгоднее реализовать, то есть какое действие максимизирует разность между доходом и ожидаемыми затратами центра на стимулирование по его реализации. Таким образом, ожидаемое значение целевой функции центра при заключении оптимального кон* тракта равно = max {H1 – c1, H2 – c2}.

Минимальными затратами центра на стимулирование называется решение задачи (1) [33, 49].

` Aс2 /p C(c2 - с1)/(2p-1) Bс2 /(1-p) Рис. 4. Реализация центром действия y2 в примере при нейтральном к риску страхователе Исследуем теперь эффекты страхования в рассматриваемой модели. Пусть агент не склонен к риску, то есть оценивает неопределенные величины в соответствии со строго возрастающей строго вогнутой функцией полезности u( ). Так как от случайной величины – результата деятельности агента – зависит его вознаграждение (значение функции стимулирования), то предположим, что целевая функция агента имеет вид:

(10) f( ( ), z, y) = u( (z)) – c(y).

Обозначим1 v1 = u( ), v2 = u( ), u-1( ) – функция, обратная к 1 функции полезности агента. Пусть центр заинтересован в побуждении АЭ к выбору действия y1. Задача стимулирования в рассматриваемой модели примет вид:

(11) p u-1(v1) + (1 – p) u-1(v2) min (12) p v1 + (1 – p) v2 – c1 p v2 + (1 – p) v1 – c2 (IC) (13) p v1 + (1 – p) v2 – c1 0. (IR) Заметим, что неравенства (12)-(13) совпадают с неравенствами (2)-(3) с точностью до переобозначения переменных. На рисунке заштрихована область допустимых значений переменных v1 и v2.

Подобная замена переменных, позволяющая линеаризовать систему ограничений, используется в двушаговом методе решения задачи теории контрактов [15, 93].

Линия уровня функции (11) (которая является выпуклой в силу вогнутости функции полезности агента) обозначена пунктиром.

v` Aс1 /(1-p) C(c2 - с1)/(2p-1) vBс1 /p Рис. 5. Реализация центром действия y1 в примере при несклонном к риску агенте В случае строго вогнутой функции полезности агента (при этом, очевидно, целевая функция (11) строго выпукла) внутреннее решение задачи условной оптимизации (11)-(13) единственно и имеет следующий вид (в качестве примера используется функция полезности u(t) = ln(1 + t), где и - положительные константы):

(14) v1 = c1 + (c1 – c2) (1 – p) / (2p – 1), (15) v2 = c1 + (c2 – c1) p / (2p – 1).

Легко проверить, что в рассматриваемом случае при использовании системы стимулирования (14)-(15) ожидаемая полезность агента от выплат со стороны центра равна затратам агента по выбору первого действия, то есть (16) Ev = c1.

Аналогично можно показать, что, если центр побуждает агента выбирать второе действие, то ожидаемая полезность агента от выплат со стороны центра в точности равна затратам агента по выбору второго действия.

Из (14)-(15) видно, что в случае несклонного к риску агента, побуждая его выбрать первое действие, центр «недоплачивает» в случае реализации первого результата деятельности (v1 c1) и «переплачивает» в случае реализации второго результата деятельности (v2 c2), причем при предельном переходе к детерминированному случаю1 (чему соответствует p 1) имеет место: v1 c1, v2 c2.

` v ua( ) un( ) B vD E F cA C vE E 1 a n Рис. 6. Эффект страхования при реализация центром действия y1 в примере Графически эффект страхования в рассматриваемой модели для случая реализации первого действия отражен на рисунке 6, на котором изображены линейная (определенная с точностью до аддитивной константы) функция полезности агента и его строго вогнутая функция полезности. Так как отрезок AB всегда лежит выше и/или левее отрезка CD, а ожидаемая полезность агента в обоих случаях равна c1, то при несклонности агента к риску ожи Отметим, что все модели с неопределенностью должны удовлетворять принципу соответствия [48, 51]: при «стремлении» неопределенности к «нулю» (то есть при предельном переходе к соответствующей (в смысле, оговоренном в [51]) детерминированной системе) все результаты и оценки должны стремиться к соответствующим результатам и оценкам, полученным для детерминированного случая. Например, выражения (4)-(9) при p = 1 переходят в решения, оптимальные в детерминированном случае.

даемые выплаты E меньше, чем ожидаемые выплаты E, соотa n ветствующие нейтральному к риску агенту (см. точки E и F на рисунке 6). •Завершив рассмотрение примера, иллюстрирующего эффекты страхования в моделях теории контрактов (в вероятностных задачах стимулирования несклонных к риску агентов), перейдем к описанию задачи синтеза оптимального страхового контракта (в терминах теории контрактов, следуя результатам, приведенным в [35, 45]2).

Пусть целевая функция несклонного к риску страхователя f( ( ), y, z) (активного элемента (АЭ)) представляет собой сумму детерминированного дохода h(y), зависящего от его действия и получаемого им за рассматриваемый промежуток времени, отчислений в страховой фонд, пропорциональных доходу: h(y), где страховая ставка3, затрат c(z), зависящих от случайного результата деятельности, и полезности u( (z)) от страхового возмещения (z), зависящего от результата деятельности страхователя, то есть (17) f( ( ), y, z) = (1 - ) h(y) – c(z) + u( (z)).

Целевая функция нейтрального к риску страховщика ( ( ), y, z) (центра) представляет собой разность между страховым взносом и страховым возмещением:

(18) ( ( ), y, z) = h(y) - (z).

Задача синтеза оптимального страхового контракта, описывае* * мого кортежем (, ( ), y*), заключается в поиске такой страховой ставки и такой зависимости страхового возмещения от результатов деятельности страхователя, которые максимизировали бы ожидаемое значение целевой функции страховщика при условии, что страхователь в рамках заключенного страхового контракта выбира Символ « » здесь и далее обозначает окончание примера, доказательства и т.д.

Данные работы могут быть отнесены как к теории активных систем, так и в теории контрактов. В настоящем разделе они приводятся в методических целях.

Используемое в описываемом классе механизмов страхования понимание термина «страховая ставка» несколько отличается от традиционного (обычно под страховой ставкой понимается отношение страхового взноса к страховому возмещению или страховой сумме).

ет действие, максимизирующее ожидаемое значение его собственной целевой функции, то есть:

(19) E ( ( ), z, y*) max, ( ), (20) y* = arg max Ef( ( ), z, y).

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.