WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |

Содержательно это утверждение означает, что в квазидинамическом случае все шкалы оплаты труда эквивалентны, поэтому рассмотрим более общий случай.

Введем «техническое» предположение (которое имеет прозрачные содержательные интерпретации). А именно, предположим, что функция затрат непрерывна и lim c(x) / x =.

x В [2] доказано, что если функции дохода и затрат не зависят от времени и дисконтирование отсутствует, то для любой траектории y( ) агента найдется постоянное его действие xy( ), обеспечивающее ему ту же полезность.

Действительно, в рассматриваемых условиях целевая функция агента примет вид:

T ( y()) t [С '( y( )d ) - c( y(t))]dt, следовательно, в силу непрерывности функции затрат, найдется xy( ) 0, такой что:

T ( y()) (15) c(xy( )) / xy( ) = c( y(t))dt.

Условие (15) позволяет вычислить постоянное действие агента xy( ), обеспечивающее ему (при произвольной шкале!) ту же полезность, что и траектория y( ).

Из приведенных рассуждений следует, что при любой фиксированной сумме договора и выполнении условия участия (13) агент выберет действие (12). Значит, следствием является тот факт, что в рамках введенных предположений при решении задачи выбора шкалы оплаты труда можно ограничиться классом постоянных траекторий (то есть классом квазидинамических задач).

В рамках введенных предположений для существования ymin 0, удовлетворяющего (13), достаточно, чтобы функция затрат была выпуклой и имела в нуле строго положительную производную.

Таким образом, если функции дохода и затрат не зависят от времени и дисконтирование отсутствует, то все шкалы оплаты труда эквивалентны.

Очевидно, различие эффективностей шкал проявится, если ввести дисконтирование и зависимость от времени доходов и затрат. Исследование подобных моделей (то есть общей постановки задачи (8)-(9)), в том числе, с учетом риска, представляется перспективным направлением дальнейших исследований.

12. РАНГОВЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ Во многих моделях стимулирования вознаграждение агентов зависит от абсолютных значений их действий и/или результата деятельности (см. выше). В то же время, на практике достаточно распространены ранговые системы стимулирования (РСС), в которых величина вознаграждения агента определяется либо принадлежностью показателя его деятельности некоторому наперед заданному множеству – так называемые нормативные РСС, либо местом, занимаемым агентом в упорядочении показателей деятельности всех агентов – так называемые соревновательные РСС [8, 14].

Преимуществом ранговых систем стимулирования является в основном то, что при их использовании центру иногда не обязательно знать достоверно значения всех действий, выбранных агентами, а достаточна информация о диапазонах, которым они принадлежат, или об упорядочении действий. Однако возникает вопрос: так как РСС являются подклассом систем стимулирования, то в каких случаях использование РСС не приводит к потерям эффективности управления (стимулирования), а если приводит, то какова величина этих потерь Приведем основные результаты, следуя [14].

Нормативные РСС (НРСС) характеризуются наличием процедур присвоения рангов агентам в зависимости от показателей их деятельности (выбираемых действий и т.д.). Введем следующие предположения, которые будем считать выполненными на протяжении настоящего раздела.

Во-первых, будем считать, что множества возможных действий агентов одинаковы и составляют множество A неотрицательных действительных чисел. Во-вторых, предположим, что функции затрат агентов монотонны и затраты от выбора нулевого действия равны нулю.

Пусть = {1, 2,... m} – множество возможных рангов, где m – размерность НРСС, {qj}, j = 1, m – совокупность m неотрицательных чисел, соответствующих вознаграждениям за «попадание» в различные ранги; : Ai, i = 1, n – процедуры классификации.

i Тогда НРСС называется кортеж {m,, { }, {qj}}.

i Известно, что для любой системы стимулирования существует НРСС не меньшей эффективности. Основная идея обоснования этого утверждения заключается в том, что для любой системы стимулирования и для любого агента всегда можно подобрать индивидуальную процедуру классификации его действий так, чтобы он при использовании НРСС выбирал то же действие, что и при использовании исходной системы стимулирования. Однако на практике использование для каждого агента собственной процедуры классификации нецелесообразно, а зачастую и невозможно.

Поэтому рассмотрим случай, когда процедура классификации одинакова для всех агентов – так называемая унифицированная НРСС (УНРСС) – см. также обсуждение проблем унификации систем стимулирования в девятом разделе.

Унифицированные нормативные ранговые системы стимулирования. При использовании УНРСС агенты, выбравшие одинаковые действия, получают одинаковые вознаграждения.

Введем вектор Y = (Y1, Y2,..., Ym), такой, что 0 Y1 Y2... Ym < +, который определяет некоторое разбиение множества A. Унифицированная НРСС задается кортежем {m, {Yj}, {qj}}, причем вознаграждение i-го агента определяется i m следующим образом: (yi) = qj I(yi [Yj, Yj+1)), где I(.) – функi j =ция-индикатор, Y0 = 0, q0 = 0. Унифицированная НРСС называется прогрессивной, если вознаграждения возрастают с ростом действий: q0 q1 q2... qm. Эскиз графика прогрессивной УНРСС приведен на рисунке 53.

qm qqy Y1 Y2 Y3 Ym Рис. 53. Пример прогрессивной УНРСС Так как УНРСС кусочно-постоянна, то в силу монотонности функций затрат очевидно, что агенты будут выбирать действия с минимальными затратами на соответствующих отрезках. Иначе говоря, условно можно считать, что при фиксированной системе стимулирования множество допустимых действий равно Y = {Y1, Y2,..., Ym}, причем, так как ci(0) = 0, то q0 = 0. Действие yi*, выбираемое i-ым агентом, определяется парой векторов (Y, q), то * есть имеет место yi (Y, q) =, где Yki (1) ki = arg max {qk – ci(Yk)}, i I.

k =0,m * * * Обозначим y*(Y, q) = ( y1 (Y, q), y2 (Y, q),..., yn (Y, q)). Задача синтеза оптимальной УНРСС заключается в выборе размерности УНРСС m и векторов q и Y, удовлетворяющих заданным ограничениям, которые максимизировали бы целевую функцию центра:

(2) (y*(Y, q)) max.

Y,q Фиксируем некоторый вектор действий y* A' = An, который мы хотели бы реализовать с помощью УНРСС.

Из того, что при использовании УНРСС агенты выбирают действия только из множества Y, следует, что минимальная размерность системы стимулирования должна быть равна числу попарно различных компонент вектора действий, который требуется реализовать. Следовательно, использование УНРСС размерности, большей, чем n, нецелесообразно. Поэтому ограничимся системами стимулирования, размерность которых в точности равна числу агентов, то есть положим m = n.

Для фиксированного вектора действий y* A' положим * Yi = yi, i I, и обозначим cij = ci(Yj), i, j I. Из определения реализуемого действия (см. (1)) следует, что для того, чтобы УНРСС реализовывала вектор y* A' (то есть, побуждала агентов выбирать соответствующие действия) необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

(3) qi – cii qj – cij, i I, j = 0, n.

Обозначим суммарные затраты на стимулирование по реализации действия y* УНРСС n (4) (y*) = (y*), УНРСС qi i=где q(y*) удовлетворяет (3). Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключается в минимизации (4) при условии (3).

Предположим, что агентов можно упорядочить в порядке ' ' убывания затрат и предельных затрат ( y A c1 (y) c2 (y)...

' cn (y)), и фиксируем некоторый вектор y* A', удовлетворяющий следующему условию:

* * * (5) y1 y2... yn, то есть чем выше затраты агента, тем меньшие действия он выбирает.

Введенным предположениям удовлетворяют, например, такие распространенные в экономико-математическом моделировании функции затрат агентов, как: ci(yi) = ki c(yi), ci(yi) = ki c(yi/ki), где c( ) – монотонная дифференцируемая функция, а коэффициенты (отражающие эффективность деятельности агентов) упорядочены:

k1 k2... kn (частными случаями являются линейные функции затрат, функции затрат типа Кобба-Дугласа и др.).

В [14] доказано, что:

1) унифицированными нормативными ранговыми системами стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют (5);

2) оптимальная УНРСС является прогрессивной;

3) для определения оптимальных размеров вознаграждений может быть использована следующая рекуррентная процедура: q1 = c11, qi = cii + max {qj – cij}, i = 2, n ;

j

i (6) qi = (cj( y* ) – cj( y*-1)).

j j j =Выражение (6) позволяет исследовать свойства УНРСС – вычислять оптимальные размеры вознаграждений, строить оптимальные процедуры классификаций, сравнивать эффективность УНРСС с эффективностью компенсаторных систем стимулирования и т.д.

– см. свойства ранговых систем стимулирования ниже.

УНРСС единичной размерности. Отметим, что выше исследовались УНРСС размерности n. Частым случаем УНРСС являются унифицированные системы стимулирования С-типа (УНРСС единичной размерности)]. Поэтому рассмотрим задачу синтеза унифицированной системы стимулирования, в которой центр назначает общий для всех агентов план и использует унифицированную систему стимулирования С-типа с одним «скачком»:

C, yi x (7) (x, yi) = 0, yi < x, где С – некоторая неотрицательная величина (размер «премии»), x – общий для всех агентов план.

Обозначим P(x, С) – множество тех агентов, у которых затраты в точке x не превышают С, то есть таких агентов, которым выгодно выполнение плана x: P(x, С) = {i I | ci(x) С}.

Из введенных предположений следует, что P(x, С) = {k(x, C),..., n}, где k(x, C) = min {i I | ci(x) C}.

Агенты из множества Q(x, C) = {1, 2,..., k(x, C) – 1} выполнение плана x при вознаграждении С невыгодно, и они выберут действия, минимизирующие затраты, то есть действия, равные нулю.

* Тогда действия { yi }i I, реализуемые системой стимулирования (7), удовлетворяют:

x, i k(x,C) (8) yi* (x,С) = 0, i < k(x,C).

Суммарные затраты центра на стимулирование при использовании центром системы стимулирования (7), в силу (8), равны (9) (x,С) = С (N – k(x, C) + 1).

* Как показано в [9, 14], зависимость yi (x, С) не является непрерывной. Поэтому для каждого x A существует конечное число минимальных затрат центра на стимулирование, при которых изменяется число агентов, выполняющих план x:

{c1(x), c2(x),..., cn(x)}. Аналогично, для фиксированного ограничения C при непрерывных и строго монотонных функциях затрат агентов существует конечное число планов { ci-1 (C)}i I (где «-1» обозначает обратную функцию), при которых изменяется число агентов, которые их выполняют.

Сравним минимальные затраты на стимулирование при использовании центром компенсаторной системы индивидуального стимулирования и УНРСС единичной размерности. Фиксируем произвольный план x A. Для того чтобы все агенты выбрали действия, совпадающие с планом, необходимо, чтобы k(x, C) = 1, то есть C = c1(x). Тогда из (8)-(9) получаем, что минимальные затраты на стимулирование равны (напомним, что индекс «U» соответствует унифицированным системами стимулирования) (x) = n c1(x).

UQK Следовательно, потери в эффективности (по сравнению с системами стимулирования QK-типа) составляют:

n (10) (x) = (n – 1) c1(x) – ci(x).

i=Соревновательные системы стимулирования. Рассмотрим кратко известные свойства соревновательных ранговых систем стимулирования (СРСС), в которых центр задает число классов и число мест в каждом из классов, а также величины поощрений агентов, попавших в тот или иной класс. То есть в СРСС индивидуальное поощрение агента не зависит непосредственно от абсолютной величины выбранного им действия, а определяется тем местом, которое он занял в упорядочении показателей деятельности всех агентов.

В [14] доказано, что:

1) необходимым и достаточным условием реализуемости вектора действий агентов y* A в классе СРСС является выполнение (5);

2) данный вектор реализуем следующей системой стимулирования, обеспечивающей минимальность затрат центра на стимулирование:

i (11) qi(y*) = {cj-1( y* ) – cj-1( y*-1 )}, i = 1,n.

j j j =Выражение (11) позволяет исследовать свойства СРСС – вычислять оптимальные размеры вознаграждений, строить оптимальные процедуры классификаций, сравнивать эффективность СРСС с эффективностью компенсаторных систем стимулирования и с эффективностью УНРСС и т.д.

Свойства ранговых систем стимулирования. Одним из типовых решений [2] является использование ранговых систем стимулирования, в которых либо множество возможных результатов деятельности разбивается на равные отрезки («расстояния» между нормативами одинаковы), либо на равные отрезки разбивается множество вознаграждений («расстояния» между размерами вознаграждений за выполнение нормативов одинаковы). Поэтому исследуем последовательно эти два случая для нормативных и соревновательных РСС. Кроме того, зачастую на практике предполагается, что существуют нормативы затрат, не зависящие от объемов работ, что в рамках рассматриваемой модели стимулирования приводит к предположению о линейности функций затрат агентов.

Пусть множество A = [0; A+] разбито на n равных отрезков [Yi, Yi+1], i = 0,n -1, Y0 = 0, Yn = A+, то есть Yi = i A+ / n, i I.

Тогда из выражения (6) получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению [2]:

(12) q1 = с1(A+/n), qi = qi-1 + [ci(i A+/n) – ci((i – 1) A+/n)], i = 2, n.

В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i I, получаем:

(13) q1 = k1 A+/n, = qi – qi-1 = ki A+ / n, i = 2, n.

i Таким образом, справедлив следующий вывод: если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат агентов УНРСС является прогрессивной и вогнутой функцией (см. также свойства шкал оплаты труда в разделе 11).

Возникает предположение – может быть всегда УНРСС являются монотонными и вогнутыми (или монотонными и вогнутыми).

На самом деле, оптимальные УНРСС всегда являются монотонными, однако никаких однозначных суждений относительно выпуклости/вогнутости сделать нельзя – в зависимости от функций затрат и соотношения типов агентов УНРСС может быть вогнутой, линейной, выпуклой или ни вогнутой, ни выпуклой. Приведем иллюстративный пример.

Пример 11. Пусть агенты имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (12) следует, что = (A+)2(2 i – 1) / 2 n2 ri, i I.

i Получаем, что «вторая производная» равна (A+ )2 -1)ri-1 - (2i - 3)ri, i =.

(2i – = 2, n i i-2n2 ri-1ri Учитывая, что ri > ri-1, i = 2, n, имеем, что при ri2i - < ri < ri-1, i = 2, n, УНРСС является прогрессивной и вы2i - 2i -1 2i - пуклой, при ri > ri-1, i = 2, n – вогнутой, а при ri = ri-1, 2i - 3 2i - i = 2, n – линейной.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.