WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 17 |

n Из (4) видно, что чем больше премиальный фонд, тем большие действия выбирают агенты. Из (5) следует, что эффективность линейно растет при увеличении как премиального фонда (то есть, не существует оптимального размера премиального фонда, максимизирующего эффект K1 / R его использования), так и квалификации агентов. Если действия агентов ограничены сверху, то существует оптимальный размер премиального фонда, который при известном ограничении может быть вычислен из выражения (4).

Кроме того, легко показать (см. подробности в [16]), что разбиение однородного коллектива на более мелкие коллективы и соответствующее дробление премиального фонда не приводит к росту эффективности его использования. Также можно показать, что при постоянном размере фонда сокращение однородного коллектива приводит к уменьшению эффективности и увеличению действий, выбираемых агентами.

Рассмотрим следующую задачу: возможно ли повысить суммарный показатель эффективности однородного коллектива, не увеличивая фонд премирования R, но по-другому формируя КТВ агентов Для этого рассмотрим следующую процедуру формирования КТВ, которая более чувствительна к различию агентов, чем (2):

yi n (6) =, i I, 1.

i y j n - jI Тогда равновесные по Нэшу действия агентов имеют вид:

Rr(n -1) (7) yi* =, i I, nчто превышает (4) n Ограничение 1 позволяет констатировать, что исn -пользование процедуры (6) формирования КТВ позволяет увеличить эффективность по сравнению с процедурой (2) на 1 / (n – 1) процентов. Например, если коллектив состоит из 11 человек, показатель эффективности можно увеличить максимум на 10%.

Неоднородный коллектив. Из (2) и (3) следует, что в неоднородном коллективе ситуации равновесия Нэша соответствуют следующие действия агентов и эффективность1:

1/ rj - (n -1) / ri jI (8) yi* = R(n -1), i I, ( rj )1/ jI R(n -1) (9) K2(R, r, n) = y* =.

j jI 1/ rj jI Предположим, что коллектив состоит агентов двух типов – m агентов-лидеров, имеющих эффективность r+, и (n – m) «рядовых» агентов, элементов, имеющих эффективность r-, причем r+ > r-.

Тогда ri = m / r+ + (n – m) / r-.

1/ iI Используя выражение (8), найдем действия, выбираемые в равновесии лидерами:

R(n -1) 1 (n -1) (10) y+ = [1 – ], m / r+ + (n - m) / r- r+ m / r+ + (n - m) / rи рядовыми агентами:

R(n -1) 1 (n -1) (11) y- = [1 – ].

m / r+ + (n - m) / r- r- m / r+ + (n - m) / rИспользуя выражение (9), найдем значение эффективности R(n -1) (12) K2(R, m, n) =.

m / r+ + (n - m) / rИз выражений (8), (10), (11) видно, что появление в коллективе лидеров (более квалифицированных агентов) вынуждает рядовых (менее квалифицированных) выбирать меньшие действия.

Понятно, что это влечет за собой уменьшение значений их целевых функций.

Отметим, что в случае однородных агентов (8) переходит в (4), а (9) – в (5).

Из (11) получаем, что, если количество лидеров в коллективе 1/ rтаково, что m, то рядовым агентам вообще не вы1/ r- -1/ r+ годно увеличивать выбираемые ими действия. Однако при m = 1, то есть, если в коллективе есть только один лидер, то рядовым агентам всегда выгодно увеличивать действия. В то же время легко показать [16], что появление в коллективе лидеров приводит к повышению эффективности всего коллектива, несмотря на выбор меньших действий рядовыми элементами.

Исследуем, возможно ли дальнейшее увеличение показателей эффективности работ в коллективе в рамках того же премиального фонда R. Для этого разобьем неоднородный коллектив на два однородных подколлектива. Пусть первый состоит из m лидеров, а второй состоит из (n – m) рядовых агентов. Соответственно разобьем премиальный фонд R всего коллектива, именно: R = R+ + R-.

Тогда в равновесии Нэша эффективность первого подколлектива R+r+(m -1) R-r-(n - m -1) равна, а второго –.

m n - m Соответственно, общий показатель эффективности всего коллектива из n агентов равен R+r+(m -1) R-r-(n - m -1) (13) K3(R, m, n) = +.

m n - m Выше отмечалось, что разбиение однородного коллектива на несколько подколлективов не приводит к увеличению суммарного показателя эффективности. Для неоднородного коллектива это не всегда так. Например, из сравнения (12) и (13) следует, что, если в коллективе имеется половина лидеров, эффективность деятельности которых в два раза выше эффективности рядовых агентов, то выделение лидеров в отдельный подколлектив повысит суммарную эффективность только если в исходном коллективе было не более шести агентов. В противном случае возможно снижение суммарной эффективности в результате разбиения неоднородного коллектива на два однородных подколлектива, даже при оптимальном распределении премиального фонда между подколлективами.

Индивидуальное и коллективное стимулирование. В заключение настоящего раздела сравним эффективности индивидуального и коллективного стимулирования для ряда практически важных частных случаев (см. также [16]).

Пусть функции затрат агентов линейны: ci(yi, ri) = yi / ri, i I, и пусть существует одинаковое для всех агентов ограничение ymax на максимальную величину выбираемого действия: Ai = [0; ymax], i I.

Перенумеруем агентов в порядке убывания эффективностей деятельности:

(14) r1 r2 … rn.

* Предположим, что ограничение ymax таково, что действие y1, определяемое (8) при i = 1, является допустимым. Тогда допустимыми являются и действия всех остальных агентов при использовании системы коллективного стимулирования (2), основанной на КТВ. Эффективность коллективного стимулирования K2(R, r, n) при этом определяется выражением (9).

Вычислим эффективность индивидуального стимулирования, при котором центр может стимулировать агентов независимо за индивидуальные результаты деятельности при условии, что сумма вознаграждений не превышает фонд R. Для этого воспользуемся принципом компенсации затрат (см. второй раздел) и результатами решения задачи стимулирования слабо связанных агентов (см.

седьмой раздел).

Получим, что при использовании центром квазикомпенсаторных систем стимулирования оптимальной является компенсация затрат первым в упорядочении (14) k агентам (или (k + 1) агенту – в зависимости от соотношения параметров), где j j+(15) k = min {j I | ymax ri R, ymax ri > R}.

1/ 1/ i =1 i =Содержательно выражение (15) означает, что центру следует в первую очередь задействовать агентов, эффективность деятельности которых максимальна. Другими словами, отличное от нуля стимулирование получат первые k или (k + 1) агентов, а остальным следует назначить нулевое вознаграждение (их использование нецелесообразно). Таким образом, эффективность индивидуального стимулирования равна k (16) K4(R, r, n) = k ymax + rk+1 (R – ymax ri ).

1/ i =Выражения (9) и (16) позволяют проводить сравнительный анализ эффективностей коллективного и индивидуального стимулирования.

Как правило, индивидуальное стимулирование оказывается более эффективным (см. также разделы 8 и 9). Например, в случае однородных коллективов справедлива следующая оценка:

K4(R, r, n) / K1(R, r, n) n / (n – 1) 1.

Близкими к бригадным формам оплаты труда являются так называемые ранговые системы стимулирования, в которых для коллективного стимулирования используются процедуры соревнования, установления системы нормативов и т.д. Этот класс коллективных систем стимулирования рассматривается в разделе 12, а в следующем разделе анализируются системы стимулирования, учитывающие динамику процесса деятельности агентов.

11. ШКАЛЫ ОПЛАТЫ ТРУДА В настоящем разделе рассматриваются модели оплаты труда, отражающие временной аспект взаимодействия центра и агентов, то есть учитывающие динамику процесса выполнения работ агентом [2, 13].

При расчетах центра с агентами – работодателя с работниками, заказчика – с исполнителями работ по договору, а также во многих других реальных ситуациях, размер оплаты, получаемой агентом, зависит от процента завершения работ. В качестве «процента завершения», в частности, могут выступать показатели освоенного объема [6].

Предположим, что сумма договора, или стоимость работы или пакета работ согласована центром и агентом и равна C ( напомним, что в скачкообразных системах стимулирования, которые могут интерпретироваться как аккордная форма оплаты труда, величина C являлась ФЗП). Шкалой оплаты труда называется кумулятивная зависимость размера вознаграждения (доли от стоимости договора), выплаченного центром агенту, от процента завершения.

Обозначим через [0; 1] процент завершения, через [0; 1] – процент от суммы C, выплаченный агенту. Тогда шкалой оплаты труда будет зависимость ( ). Эта зависимость обладает следующими свойствами (содержательные интерпретации которых очевидны):

- функция ( ) – неубывающая и непрерывная справа;

- (0) = 0;

- (1) = 1.

Если ввести зависимость ( ) размера вознаграждения, получаемого агентом (а не уже полученного за весь выполненный текущий объем работ) от процента завершения, то, очевидно, что этот размер вознаграждения с точностью до мультипликативной константы (стоимости договора C) совпадает со скоростью изменения уже полученных агентом сумм, то есть, если ( ) – кусочнодифференцируемая1 функция, тоd ( ) (1) ( ) = C, [0; 1].

d Верно и обратное соотношение:

(2) ( ) = (w)dw.

C Из выражений (1) и (2) следует, что на участках возрастания () функция () является «выпуклой», на участках убывания () функция () является «вогнутой», а в точке максимума () функция () имеет «перегиб». Кроме того, очевидно, выполняется «условие нормировки»:

(3) (w)dw = C.

Перечислим некоторые типовые шкалы оплаты труда.

Условимся считать, что значение производной в точке скачка равна -функции Дирака, умноженной на амплитуду скачка.

Интуитивно можно интерпретировать ( ) как интегральную функцию некоторого вероятностного распределения, а ( ) – как соответствующую ей плотность распределения (если последняя существует).

Во-первых, это – равномерная оплата, при которой вознаграждение агента за каждую единицу процента завершения одинаково (см. рисунок 46). Отметим, что именно равномерной оплате соответствуют все статические модели стимулирования.

Во-вторых, это – аккордная оплата, при которой вся сумма договора C выплачивается только в момент полного завершения работ (см. рисунок 47).

В-третьих, это -процентная предоплата ( [0; 1]), при которой сумма C выплачивается в момент начала работ, а сумма (1 – ) C – в момент полного завершения работ (см. рисунок 48).

Возможны и другие варианты – любой определенной на отрезке [0; 1] измеримой функции соответствует некоторая шкала оплаты труда. Например, на рисунке 49 приведена так называемая квартильная оплата, при которой за четверть объема работ выплачивается четверть стоимости договора. На рисунках 50-52 приведены, соответственно, варианты выпуклых шкал, вогнутых шкал и шкал с перегибом.

( ) ( ) 1 0 Рис. 46. Равномерная шкала ( ) ( ) ( -1)С 1 0 Рис. 47. Аккордная оплата ( ) ( ) ( -1)(1- )С ( ) С 1 0 Рис. 48. -процентная предоплата ( ) ( ) 3/ ( -i/4)С/4, i=1,1/1/1/2 1/0 1/4 3/4 1/4 3/4 Рис. 49. Квартильная оплата ( ) ( ) 1 0 Рис. 50. Выпуклая шкала ( ) ( ) 1 0 Рис. 51. Вогнутая шкала ( ) ( ) 1 0 Рис. 52. Шкала с перегибом Введем действие y(t) агента в момент времени t 0, характеризующее объем работ, выполняемый им в единицу времени в момент времени t 0. Функцию y( ) назовем траекторией. Очевидно, что время T = T(y( )) завершения работы можно определить как минимальное время, такое, что T ( y()) (4) y( )d = 1.

При заданной траектории y( ) можно определить зависимость процента завершения от времени:

t (5) (t, y( )) = y( )d.

Из (5) следует, что (0) = 0, (T(y( )) = 1.

Имея шкалу ( ) и зная зависимость (5) процента завершения от времени, можно найти зависимость от траектории и времени величины процента завершения:

(6) (t, y( )) = ( (t, y( ))) и зависимость от траектории и времени размера вознаграждения, получаемого агентом:

d ( (t, y()) (7) (t, y( )) = C.

d Отметим, что в каждый «момент» агент чувствует себя тем уверенней, чем большая доля вознаграждения ему уже выплачена.

При этом невыплаченная часть вознаграждения может рассматриваться как характеристика риска с точки зрения агента.

Введем функции дохода центра H(t, ) и затрат агента c(t, y), а также показатели дисконтирования и, отражающие степень учета будущего, соответственно, центром и агентом.

Теперь имеется все необходимое для того, чтобы сформулировать теоретико-игровую задачу управления.

Стратегией центра является выбор стоимости работ C 0 и шкалы оплаты труда ( ) из множества функций, удовлетворяющих введенным выше требованиям. Он выбирает ее и сообщает агенту, стратегией которого является выбор траектории y(), принадлежащей множеству положительнозначных кусочнонепрерывных функций. Агент выбирает траекторию, которая в соответствии с выражениями (4)-(7) определяет продолжительность работ, динамику процента завершения и выплат. Целью центра является максимизация дисконтированной разности между доходом и выплатами агенту:

T ( y()) (8) (, (, y())) - (, y())] e- d max, [H (), C при условии, что агент (при известных ему стоимости работ и шкале) выбирает траекторию, максимизирующую дисконтированную разность между вознаграждением, получаемым от центра, и своими затратами:

T ( y()) (9) (, y()) - c(, y())] e- d max, [ y() Задачу (8)-(9) назовем задачей выбора шкалы оплаты труда.

Приведем решение этой задачи для различных частных случаев (на сегодняшний день общих методов решения задачи (8)-(9) не известно).

Начнем с простейшего случая, соответствующего, статической задаче стимулирования, то есть будем считать, что объем работ y 0, выполняемый агентом в единицу времени, постоянен, функции дохода H(y) и затрат c(y) не зависят от времени, дисконтирование отсутствует. Соответствующую задачу назовем квазидинамической.

Если центр использует шкалу ( ), то из (1)-(7) следует, что:

T(y) = 1 / y, (t, y) = y t, (t, y) = (y t), (t, y) = C ’(y t). Следовательно, задача (8)-(9) выбора шкалы оплаты труда в рассматриваемом (квазидинамическом) случае примет вид:

H (y) / y - C max, C (10) C - c( y) / y max y при ограничениях участия, которое отражают выгодность взаимодействия центра и агента (не вступая во взаимодействие друг с другом, и центр, и агент могут получить нулевую полезность):

H (y) / y - C (11).

C - c( y) / y Обратим внимание на то, что выражения (10) и (11) не зависят от шкалы ( ). Поэтому решение задачи (10)-(11) тривиально. Обозначим (12) ymin = arg min c(y) / y.

yТогда, если (13) H(ymin) c(ymin), то (14) C* = c(ymin) / ymin, иначе центру и агенту взаимодействовать невыгодно1.

В [2] доказано, что в квазидинамической задаче поиска шкалы оплаты труда при выполнении условия участия (13) оптимальное решение (12), (14) не зависит от шкалы и функции дохода центра.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.