WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 23 |

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory (выбираемых действий и т.д.). Введем следующие предположения, которые будем считать выполненными на протяжении настоящего раздела.

А.5.1. Множества возможных действий АЭ одинаковы: Ai = A = 1, i I.

+ А.5.2. Функции затрат АЭ монотонны.

А.5.3. Затраты от выбора нулевого действия равны нулю.

Пусть ={1,2,...m} - множество возможных рангов, где m размерность НРСС, {qj}, j=1, m - совокупность m неотрицательных чисел, соответствующих вознаграждениям за "попадание" в различные ранги; : Ai, i=1, n - процедуры классификации. Норi мативной ранговой системой стимулирования (НРСС) называется кортеж {m,, { }, {qj}}.

i В работе [55] доказано, что для любой системы стимулирования существует НРСС не меньшей эффективности. Идея доказательства этого факта заключается в следующем. Пусть имеется произвольная допустимая система стимулирования, которая реализует некоторый вектор действий АЭ с некоторыми суммарными затратами на стимулирование. Легко показать, что, можно подобрать вектор вознаграждений q=(q1, q2,..., qm) и совокупность процедур классификации { } - в общем случае различных для различi ных АЭ, таких, что соответствующая НРСС будет реализовывать тот же вектор действий с теми же затратами на стимулирование, что и исходная система стимулирования (см. детали в [55]). Ключевым при этом является то, что процедуры ( ) классификаций i показателей деятельности АЭ могут быть различны.

То, что центр использует различные процедуры присвоения рангов, может показаться не "справедливым" с точки зрения АЭ.

Действительно, например, выбирая одинаковые действия, два АЭ могут иметь различные ранги и, следовательно, получать различные вознаграждения. Более "справедливой" представляется НРСС, в которой процедура классификации одинакова для всех АЭ, то есть так называемая универсальная НРСС, при использовании которой элементы, выбравшие одинаковые действия, получают одинаковые вознаграждения.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Введем вектор Y = (Y1, Y2,..., Ym), такой, что 0 Y1 Y2...

Ym < +, который определяет некоторое разбиение множества A.

Универсальная НРСС задается кортежем {m, {Yj}, {qj}}, причем вознаграждение i-го активного элемента определяется следуюi m щим образом: (yi) = qj I(yi [Yj,Yj+!)), где I(.) - функцияi j =индикатор, Y0 = 0, q0 = 0. Универсальная НРСС называется прогрессивной, если q0 q1 q2... qm. Пример прогрессивной универсальной НРСС приведен на рисунке 5.

qm qqy Y1 Y2 Y3 Ym Рис. 5. Пример прогрессивной универсальной НРСС.

Универсальная нормативная ранговая система стимулирования (УНРСС) принадлежит к классу унифицированных кусочнопостоянных систем стимулирования (см. классификацию выше).

Исследуем ее эффективность.

Так как УНРСС кусочно-постоянна, то в силу монотонности функций затрат очевидно, что АЭ будут выбирать действия с минимальными затратами на соответствующих отрезках. Иначе говоря, условно можно считать, что при фиксированной системе стимулирования множество допустимых действий равно Y = {Y1, Y2,..., Ym}, причем, так как ci(0) = 0, то следует положить q0 = 0. Действие, выбираемое i-ым АЭ, определяется парой (Y,q), то есть * имеет место yi (Y,q) =, где Yki (1) ki = arg max {qk - ci(Yk)}, i I.

k =0,m PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory * * * Обозначим y*(Y,q) = ( y1 (Y,q), y2 (Y,q),..., yn (Y,q)). Задача синтеза оптимальной УНРСС заключается в выборе размерности УНРСС m и векторов q и Y, удовлетворяющих заданным ограничениям, которые максимизировали бы целевую функцию центра:

(2) (y*(Y,q)) max.

Y,q Фиксируем некоторый вектор действий y* A', который мы хотели бы реализовать универсальной нормативной системой стимулирования. Известно, что минимально возможные (среди всех систем стимулирования) затраты на стимулирование по реализации этого вектора соответствуют использованию квазикомпенсаторной системы стимулирования (см. выше и [44]) и равны:

n (3) (y*) = ( yi ).

QK c * i i=Из того, что при использовании УНРСС АЭ выбирают действия только из множества Y, следует, что минимальная размерность системы стимулирования должна быть равна числу попарно различных компонент вектора действий, который требуется реализовать. Следовательно, использование УНРСС размерности, большей, чем n, нецелесообразно. Поэтому ограничимся системами стимулирования, размерность которых в точности равна числу АЭ, то есть положим m = n.

* Для фиксированного y* A' положим Yi= yi, i I, и обозначим cij=ci(Yj), i,j I. Из определения реализуемого действия (1) следует, что для того, чтобы УНРСС реализовывала вектор y* A' необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

(4) qi - cii qj - cij, i I, j = 0,n.

Запишем (4) в виде (5) qj - qi, i I, j = 0, n, ij где = cij - cii. Обозначим суммарные затраты на стимулирование ij по реализации действия y* УНРСС n (6) (y*) = ( y*), УНРСС q i i=где q(y*) удовлетворяет (4).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключается в минимизации (6) при условии (5).

Из того, что qi cii, i I, немедленно следует, что y* A' выполнено: (y*) (y*), то есть минимальные затраты на УНРСС QK стимулирование по реализации любого вектора действий АЭ при использовании универсальных нормативных систем стимулирования не ниже, чем при использовании квазикомпенсаторных систем стимулирования. Следовательно, для эффективностей стимулирования справедлива следующая достаточно "грубая" оценка:

KУНРСС KQK. Потери от использования УНРСС обозначим (УНРСС, QK) = (y*) - (y*) 0.

УНРСС QK Таким образом, исследование УНРСС свелось к необходимости ответа на следующие вопросы - какие векторы действий АЭ могут быть реализованы в этом классе систем стимулирования (иначе говоря, для каких действий система неравенств (5) имеет решение) и в каких случаях УНРСС являются оптимальными во всем классе допустимых систем стимулирования (иначе говоря, при каких условиях (УНРСС, QK) = 0).

Введем в рассмотрение n-вершинный граф G (y*), веса дуг в котором определяются || (y*)||. Задача минимизации (6) при услоij вии (5) является задачей о минимальных неотрицательных потенциалах вершин графа G, для существования решения которой необходимо и достаточно отсутствия контуров отрицательной длины [5]. Таким образом, справедлива следующая Лемма 5.1.1. Для того чтобы вектор y* A' был реализуем в классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы граф G (y*) не имел контуров отрицательной длины.

Рассмотрим следующую задачу о назначении:

n (7) min c x ij ij { } x i, j=1 ij Напомним, что компенсаторная (К-типа) и квазикомпенсаторная (QKтипа) системы стимулирования оптимальны, то есть имеют максимальную эффективность. Поэтому имеет смысл сравнивать эффективность исследуемой системы стимулирования с эффективностью именно этих систем стимулирования.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory n n (8) xij {0;1}, i, j, I; = 1, j I; = 1, i I.

x x ij ij i=1 j=Лемма 5.1.2. Для того чтобы в решении задачи (7)-(8) выполнялось xii = 1, i I, xij = 0, j i, необходимо и достаточно, чтобы граф G (y*) не имел контуров отрицательной длины.

Доказательство. Пусть (i1, i2,..., in) - решение задачи (7)-(8), то есть назначение * * * (9) yi1 = y1, yi2 = y2,..., yin = yn минимизирует (7).

Предположим, что j I ij = j и в графе G (y*) имеется контур отрицательной длины. Тогда существует такое переназначение (перестановка вершин графа, входящих в этот контур), которое уменьшит суммарные затраты (7), следовательно, исходное назначение не является решением задачи (7)-(8) - противоречие.

Пусть граф G (y*) не имеет контуров отрицательной длины.

Предположим, что решение (i1, i2,..., in) не является оптимальным решением задачи (7)-(8). Пусть (j1, j2,..., jn) – оптимальное решение.

Тогда решение (j1, j2,..., jn) можно получить из решения (i1, i2,..., in) путем переназначений, которым в графе G (y*) соответствуют один или несколько контуров отрицательной длины. Однако, при этом суммарные затраты могут только увеличиться. Таким образом, (i1, i2,..., in) – оптимальное решение. • Следствием лемм 5.1.1 и 5.1.2 является следующая теорема, характеризующая множество всех действий, реализуемых универсальными нормативными ранговыми системами стимулирования.

Теорема 5.1.1. Для того чтобы вектор y* A' был реализуем в классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы он являлся решением задачи о назначении (7)-(8).

Из теории графов известно [5], что в оптимальном решении задачи (5)-(6) минимальна не только сумма потенциалов вершин графа G (суммарные затраты на стимулирование), но и минимальны все потенциалы вершин (индивидуальные вознаграждения). То есть решение задачи о назначении (7)-(8) и двойственной к ней задачи (5)-(6) минимизирует не только суммарные выплаты АЭ со PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory стороны центра, но обеспечивает минимальные значения всем индивидуальным вознаграждениям.

Приведенные выше результаты характеризуют множество действий, реализуемых УНРСС. Исследуем теперь эффективность этого класса систем стимулирования.

Имея результат теоремы 5.1.1, мы имеем возможность предложить алгоритм вычисления минимальных потенциалов, и, следовательно, количественно оценить потери в эффективности.

Рассмотрим задачу (7)-(8). Перенумеруем АЭ таким образом, чтобы оптимальным было диагональное назначение j I ij = j (xii = 1). Поставим в соответствие ограничению (7) двойственную переменную uj, j I, а ограничению (8) - двойственную переменную vi, i I. Ограничения двойственной к (7)-(8) задачи имеют вид:

(10) uj - vi, i, j, I.

ij Заметим, что так как xii = 1, i I, то ui - = = 0, а значит ui i ii - = qi. Используя этот факт, определим следующий алгоритм:

i Шаг 0. uj = cjj, j I.

Шаг 1. vi:= max {uj - }, i I.

ij jI Шаг 2. uj:= min {vi + }, j I.

ij iI Последовательное повторение шагов 1 и 2 алгоритма конечное число (очевидно, не превышающее n) раз даст оптимальное решение задачи (5)-(6):

(11) qi = ui = vi, i I.

Приведенный выше алгоритм позволяет решать задачу поиска минимальных потенциалов графа G, удовлетворяющих условию (5), то есть реализующих заданный вектор действий АЭ. С одной стороны доказанный выше критерий реализуемости заданных действий и алгоритм синтеза оптимальной УНРСС применимы в широком классе активных систем, так как при их доказательстве не вводилось практически никаких предположений о свойствах элементов АС. С другой стороны, для ряда более узких классов АС, рассматриваемых ниже, существуют более простые алгоритмы синтеза оптимальных УНРСС.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Обозначим dci ( yi ) (12) ci' (yi) =, i I.

dyi и введем следующее предположение:

А.5.4. Существует упорядочение АЭ элементов, такое, что ' ' ' (13) y A c1 (y) c2 (y)... cn (y).

Фиксируем некоторый вектор y* A', удовлетворяющий следующему условию:

* * * (14) y1 y2... yn.

Предположениям А.5.2-А.5.4 удовлетворяют, например, такие распространенные в экономико-математическом моделировании функции затрат АЭ, как: ci(yi) = ki c(yi), ci(yi) = ki c(yi/ki) где c( ) монотонная дифференцируемая функция, а коэффициенты упорядочены: k1 k2... kn (частными случаями являются линейные функции затрат, функции затрат типа Кобба-Дугласа и др.).

Лемма 5.1.3. Если выполнены предположения А.5.1, А.5.2 и А.5.4, то в задаче (7)-(8) оптимально диагональное назначение.

Справедливость утверждения леммы следует из того, что любая перестановка диагонального назначения в силу предположения А.4 увеличивает суммарные затраты (отметим, что при этом предположения А3 не требуется).

Таким образом, лемма 5.1.3 дает простое решение задачи о назначении (7)-(8): в случае, когда выполнено предположение А.4.

АЭ, имеющим большие удельные затраты, должны назначаться меньшие действия. Необходимые и достаточные условия реализуемости действий УНРСС и лемма 5.1.3 позволяют охарактеризовать множество действий, реализуемых УНРСС в рамках предположения А.4.

Следствие. Если выполнены предположения А.5.1, А.5.2 и А.5.4, то универсальными ранговыми системами стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют (14).

В активных системах, удовлетворяющих предположениям А.5.1-А.5.4 (включая А.5.3!), для определения оптимальных потенциалов может быть использована следующая рекуррентная процеPDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory дура, являющаяся частным случаем (соответствующим А.5.3-А.5.4) общего приведенного выше алгоритма:

q1 = c11, qi = cii + max {qj - cij}, i = 2, n.

j

j

i (15) qi = (cj( y* ) - cj( y*-1 )).

j j j =Подставляя (15) в (6), получаем, что потери от использования универсальных нормативных ранговых систем стимулирования (по сравнению с квазикомпенсаторными) равны:

(16) (УНРСС, QK) = (y*) - (y*) = УНРСС QK n i * = {{ (cj( y* ) - cj( y*-1 ))} - ci( yi-1 )}.

j j i=1 j =Совокупность полученных выше результатов сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 5.1.2. Если выполнены предположения А.5.1 - А.5.4, то:

а) в классе универсальных нормативных ранговых систем стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют условию (14);

б) оптимальное решение задачи стимулирования при этом определяется выражением (15);

в) превышение затратами на стимулирование минимально необходимых определяется выражением (16);

г) оптимальная УНРСС является прогрессивной.

Утверждение пункта г) теоремы обосновывается следующим образом: из (15) следует, что qi+1 ci+1,i+1 + (qi - ci+1,i). В силу моноPDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory тонности затрат и (14): ci+1,i+1 - ci+1,i 0, следовательно i =1,n-qi+1 qi, то есть система стимулирования также монотонна (прогрессивна).

Отметим, что выше исследовались УНРСС размерности n.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.